二项式定理
什么是二项式、二项式定理
二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。
该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。
发现历程
在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等。对于(a＋b)12，人们显然希望不必经由(a＋b)十几次自乘的冗长计算，就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中，每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此，根据帕斯卡三角，下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如，表值56就等于其上左右两个数字21＋35之和。
帕斯卡三角与（a＋b）8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数，即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到（a＋b）12展开式中a7b5的系数为792。所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且，他对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如(a＋b)2或(a＋b)3
这种形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。我们知道，在初等
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）。牛顿写道：
项式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看，
出
也许，这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如，在展开(1＋x)3时，
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且，由于我们的原指数是正整数3，所以，展开式到第四项结束。
但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如，展开(1＋x)－3，根据牛顿公式，我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这一貌似奇特的公式，其结果如下：
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们求
现在，将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项，当然，此处要用29替换原公式中的x，因而，我
了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，等等，
续演算。
别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB＝x，
BD＝y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则：
到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则，这一图形的面积为
按照牛顿公式，面积为12x2，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，曲
那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老问题进行研究，并取得了辉煌的成就。
二项式定理指的是：
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定。
二项式定理的意义：
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分，其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。这个定理在遗传学中也有其用武之地。
具体应用范围为推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。
什么是二项式、二项式定理
二次项公式
二次项定理公式的回答如下：二次项定理公式，也称为二次方程求根公式或根的公式，是解决二次方程的方法之一。它的数学表示形式如下：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其解可以通过以下公式求得：x=(-b±√(b^2-4ac))\/(2a)其中，±表示取两个解，b^2-4ac称为判别式。下面将...
高中数学二项式定理
二项式定理的公式和通项公式书上有。如果求第n项,例如求第r+1项，就将r代入k。求常数项时，先写出通项公式，再令X=0，得出X=0时k等于几，最后将k代入，算出常数项。求中间项：对于展开式的中间项，若n是偶数，则二项展开式的中间项为（n\/2)+1 项；若n是奇数，则二项展开式的中间项有...
如何用数学归纳法证明二项式定理
证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b 右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边 假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立;则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十...
什么是二次项定理?
②Tr+1仅指(a+b)n这种标准形式而言的，(a-b)n的二项展开式的通项公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr.③系数Cnr叫做展开式第r+1次的二项式系数，它与第r+1项关于某一个(或几个)字母的系数应区别开来.特别地，在二项式定理中，如果设a＝1,b＝x，则得到公式：(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+...
有关数学的二项式定理。对公式的推导过程我真的相当不理解
可以这样理解：你摆上n个盒子，每个里面一个a，一个b a的n-k次方和b的k次方的乘积相当于 从n个盒子中挑出k个，里面全部取b 其余盒子全部取a 每一种取法对应一个a的n-k次方·b的k次方 所以，a的n-k次方·b的k次方共有 C（k，n）个 所以，这一项就是 C（k，n）·a的n-k次方·b的k...
何为牛顿二项公式?
牛顿二项公式：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!\/(n-i)!i!牛顿二项式定理：(a+b)^n,对于a^i*b^(n-i)来说,a要从a+b里面正好挑i个,这时b也挑了n-i个,而n...
二项展开式的通项公式是什么?
二项式定理公式tk+1=Cnkan-kbk。二项展开式的特点 1、项数展开式有共n+1项；系数：都是组合数，依次为Cn°，Cn，Cn2，Cn3等，指数的特点：a的指数由n一0（降幂）；b的指数由0一n（升幂）；a和b的指数和为n；利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、...
两项式定理的定理
两项式（a+b)^n(n为正整数）的展开式为：（a+b)^n=a^n+C1nba^(n-1）+C2nb^2a^(n-2）+……+Cknb^ka^(n-k)+……+Cn-1nb^(n-1）a+b^n其中Ckn=n(n-1）（n-2）……（n-k+1）\/k！为组合数公式。把各项系数对比一下杨辉三角形，应该都是对应的。
拜托哪位能给我详细的讲下 二项式定理 很详细的 我才高一
+C a n － r b r +…+C b n （n∈ N * ） 2.通项公式： T r +1 =C a n － r b n （r=0,1,…,n） （二）能力训练要求 1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式. 2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项. （三）德育渗透目标...
(a- b)^ n的展开式可以使用二项式定理来求解吗?
(a-b)^n的展开式可以使用二项式定理来求解。根据二项式定理，展开式中的每一项可以表示为组合数的形式。展开式的通项公式为：C(n, k) * a^(n-k) * (-b)^k 其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，a^(n-k)表示a的指数为(n-k)，(-b)^k表示(-b)的指数为k。展开...
吁趴惠博：[答案] 二项式定理,又称为牛顿二项式定理.它是由艾萨克·牛顿(Newton,Isaac,1642-1727)于1665年发现的. (a+b)^n=Cn^0*an+Cn^1*an-1b1+…+Cn^r*an-rbr+…+Cn^n*bn(n∈N*) 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开...
息县17661141323： 二项式定理是什么 - ？
吁趴惠博：[答案] (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n 以上就是的呀~
息县17661141323： 什么是二项式定理?？
吁趴惠博： 二项式定理 binomial theorem二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出.此定理指出:其中,二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式.二项展开式的通项公式为:...其i项系数可表示为:...,即n取i的...
息县17661141323： 二项式定理是什么,表达的越易懂越好!有没有简单点的,我记得就一个公式就可以了有没有简单点的,我记得就一个公式就可以了有没有简单点的,我记得... - ？
吁趴惠博：[答案] 学习二项式有一点很重要就是要把公式写对. (1)二项式定理 (a+b)n=cn0an+cn1an-1b+…+cnran-rbr+…+cnnbn(这里的显示有点出路,相信你能看懂),其中r=0,1,2,……,n,n∈N. 其展开式的通项是: Tr+1=cnran-rbr(r=0,1,…n), 其展开式的二...
息县17661141323： 关于二项式定理请具体结合公式讲解一下二项式定理的推导及用途 - ？
吁趴惠博：[答案] 二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学...
息县17661141323： 二项式定理 - ？
吁趴惠博： 6个.先用二项式定理找到通式,整理最简形式.系数为C40r 7^(40-r)\2 * 2^r\3 ,系数为有理数即让(40-r)\2和r\3都为整数,计算可得,共有6 个
息县17661141323： 什么是二项式定理?具体的,谢谢 - ？
吁趴惠博： 学习二项式有一点很重要就是要把公式写对. (1)二项式定理 (a+b)n=cn0an+cn1an-1b+…+cnran-rbr+…+cnnbn(这里的显示有点出路,相信你能看懂),其中r=0,1,2,……,n,n∈N. 其展开式的通项是: Tr+1=cnran-rbr(r=0,1,…n), 其展开式的...
息县17661141323： 二项式定理及其来历,证明,例子, - ？
吁趴惠博：[答案] 二项式定理的由来二项式定理[Binomial Theorem]是指(a+b)n在n为正整数时的展开式.古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民,通过了以下的几何图形,认识了这个公式(a+b)2=a2+2ab+b2.它是公式(a+b)n的特殊...
息县17661141323： 二项式定理有什么具体应用意义 - ？
吁趴惠博：[答案] 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学.求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计...
