数学三角形内心外心结论是什么？

数学三角形内心外心关系是什么？~

三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点． 常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径r（2）△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则S
abc
； 2
1lr 2

三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。它是三角形内切圆的圆心。
三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个角的距离相等，它是三角形外接圆的圆心。

三角形的内心就是三内角角平分线的交点；三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心就是三边中垂线的交点。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等

内心定理

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
三角形“四心”的向量形式：

一、三角形重心定理
　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）　　重心的性质： 　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　外心的性质： 　　1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。　　2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。　　4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　垂心的性质： 　　1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　定理证明 　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　证明： 　　连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　内心的性质： 　　1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).　　4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．　　6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．　　7、（内角平分线分三边长度关系） 　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
五、三角形旁心定理
　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　旁心的性质：　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　2、每个三角形都有三个旁心。 　　3、旁心到三边的距离相等。 　　如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
　　三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．　
外心 三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　
垂心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 　　直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　
内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”。五心性质别记混。

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富锦市15723105514： 数学三角形内心外心结论? - ？
家砌骨友：[答案] 三角形的内心就是三内角角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点. 常见结论:(1)Rt△ABC的三条边分别为:a、b、c(c为斜边),则它的内切圆的半径r(2)△ABC的周长为l,面积为S,其内切...

富锦市15723105514： 数学中的三角形的外心与内心有什么区别? - ？
家砌骨友：[答案] 外心:是三角形三边垂直平分线的交点,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等. 内心:是三角形三个内角平分线的交点,也就是三角形内切圆的圆心,它到三角形的三边距离相等.

富锦市15723105514： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
家砌骨友： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

富锦市15723105514： 三角形的内心和外心是怎么回事? - ？
家砌骨友： 一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题. 三、垂心 三角形三条高的交战,称为...

富锦市15723105514： 垂心,内心,外心等心的和向量有关的结论?三角形的这几个心有哪些和向量结合在一起的结论~ - ？
家砌骨友：[答案] 重心G GA+GB+GC=0垂心H HA*HB=HB*HC=HC*HA 内心P a(PA)+b(PB)+c(PC)=0外心O OA^2=OB^2=OC^2

富锦市15723105514： 数学中三角形的重心,垂心,中心,内心,外心都是什么,有什么性质?…谢啦 - ？
家砌骨友：[答案] 百度百科三角形五心定律http://baike.baidu.com/view/1611086.htm 一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理 三角形的重心,外心,垂心,内心和...

富锦市15723105514： 三角形内心外心是什么 - ？
家砌骨友： 三角形的内心,是内切圆的圆心,是三条内角平分线的交点 到三边的距离相等 三角形的外心,是外接圆的圆心,是三条边的垂直平分线的交点 到三顶点的距离相等

富锦市15723105514： 数学三角形里重心中心垂心内心外心分别是什么? - ？
家砌骨友：[答案] 重心:三角形的三条中线交点. 外心:三角形的三边的垂直平分线交点. 垂心:三角形的三条高交于一点. 内心:三角形的三内角平分线交于一点. 中心:没有具体概念,是以上四个心的重合一点以后的名称,只有正三角形才有

富锦市15723105514： 三角形的中心,重心,外心,内心分别是什么的交点 - ？
家砌骨友：[答案] 垂心是三角形三条高的交点 内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心 重心是三角形三条中线的交点 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交...

富锦市15723105514： 三角形垂心内心外心分别是什么? - ？
家砌骨友：[答案] 三条高的交点为垂心 三个角的角平分线的交点为内心 三条边上垂直平分线的交点为为外心 三边中线的交点是重心 正边三角形重心、内心 、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心 四心合一 只有正三角形才有中心