拓扑学很难?
世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题,但这些问题又与传统的几何学不同,而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。
什么是拓扑学?
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念。比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价。
应该指出,环面不具有这个性质。比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790~1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍。
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。
其它数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学
拓扑学:研究空间、维度与变换等概念的学科
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。
拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念。比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价。
应该指出,环面不具有这个性质。比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790~1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍。
拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。总的来说拓扑学很难。
简单介绍一下拓扑学
另一方面,研究图形面积的几何就不是拓扑学,因为在连续变换下,面积可以变化。同样的道理,图形的大小、平行、对称、垂直等等都不是拓扑学的研究领域。可以看到,拓扑学研究的性质对图形的要求很低(一定程度变了形都没关系),所以它的应用范围也就十分广泛,因而成为现代数学的基础之一。以至于许多看起...
我为什么学不会扑克?
应该为心理因素。不如找个知心朋友耐心地教你一小时我相信你在放松的环境里能上手。但千万别脑子里总想着“我一定学不会”。做任何事需要的都是信心,克服自己的心理障碍即可。另外自己学扑克是很难上手的,或者随便看看人家玩根本是学不会的,在这个情况只能说你不是天才,和我们一样都需要认真学习。...
点集拓扑和泛函分析哪个难
泛函分析多难。1、点集拓扑:拓扑学主要是应用在运筹学中的理论,图论,线性规划,排队论,决策。拓扑学是研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性,它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。简单地说,拓扑就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变。2、泛函分析...
大学最难学的专业是什么
其中,艺术专业最少,每周 26 节;医学专业最高,每周达到了 40 节。榜单引发网友热议,微博转发已超过 4 万次。有赞同的,也有表示不同意见的。的确,有些专业比较难学,有些比较容易。一、计算机专业 程序员真不好当,吃青春话而且工资低,还得没日没夜地干,所以很多程序员自嘲是『程序猿』和『...
简单的讲讲什么是拓扑学
在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每个图形的大小、形状中以改变。里斯丁以后,黎曼把拓扑学的概念引入复变函数论中,发展成黎曼曲面论。早期的拓扑学明显地分为两支:一是点集拓扑,以康托的贡献为起点;另一支是组合拓扑,由上世纪末庞加莱所首创。庞加莱平时行支迟缓、笨拙,视力很差,常常给人心...
数学系哪门课最难学
在数学系:实变函数,泛函分析和拓扑学,抽象代数(近世代数)很多同学也认为比较难.这几门应该说是数学系在学完数学分析、高等代数的基础上(基础课程)的提升,算是高阶课程.适不适合读数学,看你数学分析掌握的如何就略知一二了,如果数学分析的基础没有打好,后面的学习无异于痴人说梦....
为什么要使用拓扑学?
使用拓扑学有以下几个原因:拓扑学提供了一种描述复杂系统的方法。在许多科学和工程领域,例如生物学、物理学、化学、计算机科学等,都需要处理复杂的系统。这些系统往往包含大量的元素,这些元素之间有着复杂的相互作用。拓扑学提供了一种描述这些复杂系统的方法,使得我们能够更好地理解和分析这些系统。拓...
通过打扑克的方式来学习,有哪些利弊呢?还有什么方法解压呢?
通过打扑克的方式来学习,有哪些利弊呢?打扑克学习知识的好处——灵活学习,寓学于乐 这种特殊的扑克,其实算是一种学习性质的娱乐,因为扑克上写的是化学有关的方程式,有时候,单纯的死记硬背一些知识点非常难,算记住了也很容易忘掉。同学在一起玩耍的同时还能互相交流,这也是一种非常有效...
拓扑学是什么
我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线...
请问学习拓扑学需要什么基础?
当然可以,一般来说,只要学过分析学,如数学分析,泛函分析来说,学习点集拓扑学就没什么问题。如果要学习代数拓扑,还应该具有近似代数的基础。个人建议先从点集拓扑开始看
毋砌高特: 数学专业涵盖了许多不同的课程,每个课程的难度都因个人的背景、兴趣和准备程度而异.然而,普遍来说,以下课程通常被认为是数学专业中较为困难和具有挑战性的:实分析(Real Analysis...
绍兴县18490805120: 高中毕业数学基础学拓扑学听得懂吗 - ?
毋砌高特: 大体应该没问题.只是很多细节,比如概念开闭集,运算集合的交、并,邻域等等虽然都是在基础拓扑学里面给出明确定义的,但初次接触的话还是不容易掌握好的,如果学过数学分析、实变函数的话会好理解的多;后面的同胚、商空间、基本群等概念更加抽象,如果学过抽象代数会好些;再后面的同调神马的要对几何有很好的感觉,学过复变函数更好些;总之,拓扑学是数学系大三才开的一门课是有他的道理的.所以听得懂理论上是可以做到的,但是非常困难.
绍兴县18490805120: 近世代数和拓扑学哪个难 - ?
毋砌高特:[答案] 拓扑学难一些,需要空间思维,近世代数主要用逻辑理解
绍兴县18490805120: 数学系最难的课程是哪几门? - ?
毋砌高特: 数学系最难学的课程因人而异,但一般来说,拓扑学和抽象代数常常被认为是数学系中最具挑战性的课程之一.拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质和关系的学科...
绍兴县18490805120: 数学中最难学的科目是什么? - ?
毋砌高特: 概率拓扑学
绍兴县18490805120: 请过来人谈谈自学数学(高等数学,如抽象代数、泛函分析、拓扑学等)应注意的事项有哪些? - ?
毋砌高特:[答案] 高等数学是指对大学数学的一个泛称(相对于中学里面学的初等数学).其它专业的高等数学我不知道是什么内容,工科里面的高等数学涉及到:微积分(数学分析)、常微分方程、解析几何等.而泛函分析、抽象代数、拓扑学是数学专业要学的内容. ...
绍兴县18490805120: 数学中的几何 - ?
毋砌高特: 拓扑学,是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支.中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译.Topology原意为地貌,于19世纪中期由科学家引入,当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题.发展至今,拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量. 拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支.起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形,形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形,但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支.
绍兴县18490805120: 拓扑学和泛函分析哪个好学,有用,研究方向是什么 - ?
毋砌高特: 感觉拓扑学容易些,泛函分析完全是在听天书 ,量子力学这种玄幻的东西可不是盖的,不过要修这几门的话数学分析一定要过硬拓扑学主要是应用在运筹学中的理论,图论,线性规划,排队论,决策等等;而泛函分析则主要是应用在电子,通信等领域.如果是学经济学的,建议学拓扑学.拓扑学是研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性,它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小.简单地说,拓扑就是研究有形的物体在连续变换下,怎样还能保持性质不变. 泛函分析主要是研究由函数构成的空间(如巴拿赫空间,希尔伯特空间),量子力学的一个数学基础,需要很好的分析学基础.希望对你有帮助
绍兴县18490805120: 数学小论文之拓扑学 - ?
毋砌高特: 打击你一下,我觉得拓扑学对于初一的孩子来说太难了…… 不过要是真想写,还是可以写一些东西的.以初一的知识很难接触到拓扑学的核心内容,所以你可以写的就只有比较直观的那些东西了 最开始可以写写拓扑学的历史:七桥问题等等的...
绍兴县18490805120: 偏微分方程,初等数论,概率论与数学统计,复变函数论,拓扑学,微分几何,实变与泛函分析初步哪个难?希望大家能帮忙排下难度. - ?
毋砌高特:[答案] 以我们数学系的同学感觉 从难到易 拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论 逗号表示差不多 但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧 这是一个平均的参考