在平行四边形ABCD中,E是AB上的一个点,BE﹕EA=1﹕2.BD与CE相交于点F,则EF﹕CF=.....

如图，在平行四边形ABCD中，已知：AE交BC与点E，交BD于点F，且BE²=EF×EA。求证：AB²=BF×BD~

∵BE²=EF×EA
∴BE/EF=EA/BE
∵∠BEF=∠AEB
∴△BEF ∽△AEB
∴ ∠EBF=∠EAB
∵AD∥BC
∴∠EBF=∠ADB
∴∠EAB=∠ADB
∵∠ABF=∠DBA
∴△ABF∽△DBA
∴AB/BD=BF/AB
∴AB²=BF×BD

因为AE=CF,ABCD为平行四边形，所以AECF为平行四边形。同理，BFDE也是平行四边形。所以BE//DF,AF//CE即FG//HE,EG//HF。所以四边形EGFH为平行四边形。所以EF与GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）。

1、∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD
AB∥CD
∴∠FDC=∠FBE
∠BEF=∠CDF
∴△EBF∽△CDF
∴BE/CD=EF/CF
∵BE/AE=1/2
∴BE/AB=1/3
即BE/CD=1/3
∴EF/CF=1/3
即EF∶CF=1∶3
2、△EBF∽△CDF
∴S△EBF/S△CDF=(EF/CF)²=(1/3)²=1/9
∴S△CDF∶S△EBF=9∶1
3、∵△EBF∽△CDF
∴EF/CF=BF/DF=1/3
∵△BCF和△DCF等高
∴S△BCF/S△DCF=BF/DF=1/3
∴S△BCF∶S△DCF=1∶3

因为BE：EA=1:2，所以BE：BA=1:3，有因为BA=CD，所以BE：CD=1:3
因为三角形BEF相似于三角形DCF，所以EF：FC=BE：CD=1:3
三角形CDF与三角形EBF的面积之比为9:1
因为三角形BCF和三角形DCF的高相等，且BF：FD=1:3，所以两三角形的面积之比为1:3

---

宝山区17397974057： 如图,平行四边形ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF=1/2FD,EF交AC于点G,则AG:AC=? - ？
江畏怡方： 如图 ∵平行四边形ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF=1/2FD ∴AF=1/3·AD 取FD的中点为M,CD的中点为K,N、H为BC上三等分点.连接BM,ND,HK ∵AE=SB,AF=FM ∴EF∥BM ∵AD=BC ∴AF=FM=ND,BN=NH=HC ∴AF=FM=ND=BN=NH=HC ∵AD∥BC, 有ND∥BN ∴四边形BMDN是平行四边形 ∴BM∥ND ∵AF=FM=ND ∴AG=GP=PQ 同理可得∶PQ=QR=RC ∴AG:AC=AG∶﹙AG+GP+PQ+QR+RC﹚=1∶5

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB上一点,F是CD上一点,且角ADE=角CBF,求证四边形BFDE是平行四边形. - ？
江畏怡方：[答案] 证明: ∵平行四边形ABCD ∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD ∵∠ADE=∠CBF ∴△ADE≌△CBF (ASA) ∴AE=CF ∵BE=AB-AE,DF=CD-CF ∴BE=CF ∴平行四边形BFDE (对边平行且相等)

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB上一点,DE的延长线与CB的延长线交于点F,试说明AE乘以CF=AD乘以AB - ？
江畏怡方：[答案] 在平行四边形ABCD中 AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C ∴∠ADF=∠CFD ∴⊿ADE∽⊿CFD ∴AE:CD=AD:CF 即AE乘以CF=AD乘以AB

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E为AB上一点,DE与AC交于点F,AF:FC=3:7,则AE:EB=______. - ？
江畏怡方：[答案] ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴△AEF∽△CDF, ∴ AF FC= AE DC= 3 7, 又∵AB=DC, ∴ AE AB= 3 7, ∴ AE EB= 3 4. 故答案为3:4.

宝山区17397974057： 在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,点F在AD上,且AF:AD=1:3,EF交AC于点G.若AC=20,求AG的长? - ？
江畏怡方： 取AC中点O,连接OE,由OE=1/2BC,OE∥BC,∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∵AF:AD=1:3,∴AF:OE=AF:1/2AD=2AF:AD=2:3,∵OE∥AD,∴ΔAFG∽ΔOEG,∴AG/OG=AF/OE=2/3,又AF+OG=1/2AC=10,∴AG=4.

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB上的一点,F是CD上的一点,且∠ADE=∠CBF,四边形BFDE也是平行四边形吗? - ？
江畏怡方：[答案] 证明:∵平行四边形ABCD ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,AB∥CD ∵∠ADE=∠CBF ∴△ADE≌△CBF (ASA) ∴AE=CF ∵BE=AB-AE,DF=CD-CF ∴BE=CF ∴平行四边形BFDE (对边平行且相等)

宝山区17397974057： 在平行四边形ABCD中,当E点是AB上一点,F是CD上一点,且AE=CF,如图所示,求证:AF=CE,∠EAF=∠EAF - ？
江畏怡方： 在平行四边形ABCD中,AB∥CD,因为AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF=CE,∠EAF=∠ECF

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB的延长线上的一点,DE与边BC相交于点F,BEAE=27,那么BFFC的值为 - ----- - ？
江畏怡方： 四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CD=AB,∴△BEF∽△CDF,∵,∴,∴==. 故答案为:.

宝山区17397974057： 已知在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,AF=二分之一DF,EF交AC于G.求证AG=五分之一AC - ？
江畏怡方：[答案] 作EH//BC交AC于H AE=EB 所以EH=1/2BC AH=1/2AC 又三角形AGF与三角形HGE相似 且AF=1/3AD=1/3BC EH=1/2BC 所以 AG/GH=AF/EH=2/3 AG/AH=2/5 又AH=1/2AC 所以AG/AC=1/5

宝山区17397974057： 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB上一点,DE的延长线与CB的延长线交于点F,试说明 - ？
江畏怡方： 在平行四边形ABCD中 AD∥BC,AB=CD,∠A=∠C ∴∠ADF=∠CFD ∴⊿ADE∽⊿CFD ∴AE:CD=AD:CF 即AE乘以CF=AD乘以AB