三角形的内心、外心、旁心、重心、垂心的公式有哪些

三角形中旁心外心内心重心垂心各几个~

三角形内心是其内切圆圆心，即三条角分线交点，只有一个;
三角形外心是其外接圆圆心，即三条边的垂直平分线交点，只有一个;
三角形重心是三条中线的交点，只有一个;
三角形垂心是三条高线交点，只有一个;
三角形旁心是一条内角平分线和另两角外角平分线交点，即和其中一条边及另两条边之延长线相切的圆的圆心，有三个旁心。

三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的重心的性质
　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 　　
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 　　
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。


三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的外心的性质
　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 　　
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 　　
4.OA=OB=OC=R 　　
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 　　
6.S△ABC=abc/4R

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质
　　1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 　　
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 　　
3.r=2S/(a+b+c) 　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 　　
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的垂心的性质
　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 　　
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 　　
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 　　
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 　　
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 　　
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 　　
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 　　
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 　　10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 　　
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.

圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)

圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)

圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2

三、垂心

三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角
三角形的垂心在三角形外。
四、内心
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.

张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

五、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.

例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.

三角形有三个旁切圆，三个旁心.

重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理 三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理 三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

重心是三角形三边中线的交点
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心到三边距离相等（为内切圆半径）
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
到外心到三角形的三个顶点距离相等

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雄县17520687858： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
藩芝丹芎： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

雄县17520687858： 三角形中心,重心,外心,内心,垂心分别指什么?对了,还有旁心是什么?> - ？
藩芝丹芎：[答案] 重心:中线的交点 垂心:高(垂线)的交点 外心:三角形的外接圆的圆心,即边的垂直平分线的交点 内心:三角形的内接圆的圆心,即角平分线的交点 中心:即几何中心,主要是在中心对称图形中提旁心:三角形任意两角的外角...

雄县17520687858： 谁能把三角形中各个“心”的定义归纳下来?(重心、垂心、旁心、内心、外心等! - ？
藩芝丹芎：[答案] 重心:三角形三边中线的交点 垂心:三角形三条边上的高交于一点 旁心:旁切圆的圆心叫做三角形的旁心 内心:三个角的角平分线的交点 外心:三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

雄县17520687858： 三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么 - ？
藩芝丹芎：[答案] 三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简...

雄县17520687858： 什么是三角形外心,垂心,重心,内心,中心 - ？
藩芝丹芎： 外心:三角形外接圆的圆心 垂心:三角形三边高的交点 重心:三角形三条中线的交点 内心:三角形内切圆的圆心 中心【好像没这个概念】

雄县17520687858： 有关三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的知识总结包括与向量、球等有关的内容,越详细越好 - ？
藩芝丹芎：[答案] 一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种,半径相等) 圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵. 90‵圆周角所对弦是直径. (常用...

雄县17520687858： 什么叫三角形的重心、内心、外心、垂心、中心?有什么特点么? - ？
藩芝丹芎：[答案] 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等. 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似. 旁心是一个内...

雄县17520687858： 三角形的三心(重心、中心、垂心)的定义是什么? - ？
藩芝丹芎：[答案] 三角形“五心歌” 三角形有五颗心;重、垂、内、外和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混.重心三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌...

雄县17520687858： 请问三角形的各个“心”之间有何关系吗?内心、外心、重心、垂心、旁心. - ？
藩芝丹芎：[答案] 重心:三角形三边中线的交点 垂心:三角形三条边上的高交于一点 旁心:旁切圆的圆心叫做三角形的旁心 内心:三个角的角平分线的交点 外心:三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

雄县17520687858： 三角形有五心(重心、外心、内心、垂心、旁心)问怎样做出这五心? - ？
藩芝丹芎：[答案] 重心三条边的中线交点 外心三条边的垂直平分线交点 内心三个角的平分线交点 垂心三条边上的高的交点 旁心三角形旁切圆的圆心叫做三角形的旁心