高数：收敛，有界，有极限 之间的联系与区别到底是什么？
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答：
1.
数列收敛，即：
存在
N∈N+，使得n>N时，对于任意ε（ε>0），恒有：|Xn-a|
< ε 成立，其中a就是该数列的极限
由此可知：数列收敛则数列极限存在，反之也是一样。
2.
数列有界，即：
若 存在M
>
0,使得一切自然数n,恒有：|Xn|
<
M
成立，则称数列xn有界
有界数列不一定存在极限，如：xn=sinnx，显然，该数列
|sinnx|≤1，但是该数列没有极限，因为该数列在（-1,1）之间，没有收敛
综合：由上可以看出，数列收敛等价于数列存在极限；而数列有界和数列极限没有必然关系；作为拓展，这里可以告诉你：
当数列存在单调性（在取值内只有单调递增或递减）且有界时，该数列收敛。
上述定理可以用夹逼定理证明的。
收敛是指会聚于一点，向某一值靠近。如数列收敛，函数收敛的定义。
数列收敛
令{a n}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|a n-A|<b恒成立，就称数列{a n}收敛于A（极限为A），即数列{a n}为收敛数列。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。
如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
函数极限
设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x0-x∣<δ时，对应的函数值f(x）都满足不等式：
那么常数A就叫做函数f(x）当x－﹥x0时的极限。
函数有界，但不一定收敛。比如函数y=sinx此类的三角函数是发散的。
函数收敛，但不一定有界，比如函数y=1/n，n为自然数，y=1/n是无界的。
函数极限存在，根据单调有界准则，函数必定收敛。
函数极限存在，根据极限的有界性，函数必定有界。
函数有界，但不一定存在极限；根据单调有界准则，函数极限应存在上界和下界才能成立。此外函数有界有存在单侧有界的情况。
扩展资料:
函数极限存在准则
1、夹逼定理
当x0在δ的去心邻域时，有g（x）－﹥x0=A，h（x）－﹥x0=A成立，且∣a m-a n∣<ξ，那么，f(x)极限存在，且等于A。
2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。
一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
3、柯西准则
数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有极限值为A成立。
参考资料来源：百度百科-函数极限
参考资料来源：百度百科-函数的有界性
参考资料来源：百度百科-收敛
收敛就是有极限
单调有界必收敛
收敛必有界
收敛即有极限
收敛可以推出有界，但有界未必收敛
有界不一定有极限，但是单调有界必有极限
数列:有极限一定有界,有界不一定有极限(如数列:1,-1,1,-1……则有界但无极限).无穷小则极限为0;(n趋于无穷大时)极限为0则为无穷小.无穷小(n趋于无穷大时)则有界;有界则不一定无穷小(如数列:an=1+(1/n)有界但不是无穷小 )
涵数【自变量在同一变化范围内】:(在这一范围内)有极限则有界;有界且有单调性则有极限.(在某一范围内)若极限为0则在这一范围内为无穷小;反之成立.(在某一范围内)若是无穷小则在这范围内有界;在某一范围内若有界且单调则有极限但不一定是无穷小
收敛和有界什么关系?
“收敛”和“有极限”是一个意思，完全等价。收敛一定有界，有界不一定收敛。根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。
请问“存在极限”、“数列收敛”、“有界性”有什么关系?
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。数列收敛<=>数列存在唯一极限。设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果...
收敛、连续、有界的关系?
比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|
数列收敛和有界性
2、数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！例如：Xn=1，-1，1，-1，...|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。收敛数列与其子数列间的关系：1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M 2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数...
什么是收敛高数?收敛函数和有界函数的区别?
收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的。函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值。有界函数：对于定义域中的任意一个值，相应的函数值都在一个区间内变化（也就是函数值的绝对值总小于某一个固定值），那函数就是有界的。收敛函数...
如何理解数列收敛有界的定义?
数列收敛有界的定义是：如果一个数列的项逐渐趋近于一个确定的实数，并且这个数列的所有项都在一个确定的实数范围内，那么我们就说这个数列是收敛的且有界的。首先，我们来理解什么是收敛。在数学中，如果一个数列的项逐渐趋近于一个确定的实数，那么我们就说这个数列是收敛的。这个确定的实数被称为这个...
级数有界和收敛有哪些关系?
级数的有界性和收敛性是数学分析中非常重要的概念，它们之间存在着密切的联系。首先，我们需要明确什么是级数的有界性和收敛性。级数的有界性是指级数的部分和序列是有界的，即存在一个实数M，使得级数的部分和序列的所有项都小于等于M。级数的收敛性是指级数的部分和序列存在极限，即存在一个实数L，当...
函数有界,无界,收敛,发散,有极限 无极限,这些关系之间是什么关系...
函数单调有界必有极限，有极限即必收敛 无界函数当然发散不存在极限了 方便的话就去查查高数书 那里很详细
收敛和有界的关系是什么?
无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件；但是有界数列不一定收敛。例如数列{(-1)^n}，显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。有界数列 有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分...
收敛和有界到底怎么区分,可不可以给一个函数例子解释一下,我真的不明 ...
显然这个数值就是其界限，或者说是其边界、端点或顶点，也就是到头了。因此，收敛的必有界；但是有界的不一定收敛。例如（-1）的n次方，肯定有界，其边界就是-1和1，但却不收敛，因为n取奇数和偶数的不同，在-1和1两者之间取值，没有一个稳当劲，并不趋向于某一个数值。因此是不收敛的。
才旦崔银杏：[答案] 答: 数列收敛,即: 存在 N∈N+,使得n>N时,对于任意ε(ε>0),恒有:|Xn-a| < ε 成立,其中a就是该数列的极限 由此可知:数列收敛则数列极限存在,反之也是一样. 数列有界,即: 若 存在M > 0,使得一切自然数n,恒有:|Xn| < M 成立,则称数...
常州市13976614647： 函数有极限,有界,收敛三者是这样的关系? - ？
才旦崔银杏：[答案] 首先,收敛和有极限是一个概念.其次,函数收敛能推出它是局部有界的.【关于这个局部,如果已知的是x→x0时函数有极限,则这个局部是指x0的某个δ临域;如果已知的是x→∞时函数有极限,则这个局部指的是x>+∞或x有极限 收敛=>有界
常州市13976614647： 数列收敛 数列有极限 数列有界的区别的联系是不是收敛不一定有极限,收敛一定有界有极限一定收敛,有界不一定收敛有界不一定有极限,有极限一定有界... - ？
才旦崔银杏：[答案] 数列收敛就是有极限,数列收敛于极限值 有界不一定收敛,如:1,-1,1,-1…… 但收敛一定有界 1,-1/2,1/4,-1/8…… 这个数列就是收敛于0,他的极限是0
常州市13976614647： 收敛与有界,有极限是什么关系 - ？
才旦崔银杏： 收敛 → 有界 收敛 = 极限 有界 ← 极限
常州市13976614647： 数列收敛 数列有极限 数列有界的区别的联系 - ？
才旦崔银杏： 数列收敛就是有极限,数列收敛于极限值 有界不一定收敛,如:1,-1,1,-1…… 但收敛一定有界 1,-1/2,1/4,-1/8…… 这个数列就是收敛于0,他的极限是0
常州市13976614647： 高数中有界和收敛的关系和区别? - ？
才旦崔银杏：[答案] 首先,楼上说的“收敛一定有界,有界当然不一定收敛.”是它们的关系之一……之二是“单调有界数列必然收敛”.注:楼上说得很好,单调有界序列收敛一般的度量空间中不成立,比如有理数列,不过这是指这样的有理数列不一定...
常州市13976614647： 函数的极限和有界有什么联系? - ？
才旦崔银杏： 在A点有极限,那么在A点附件的δ邻域内是有界的.
常州市13976614647： 函数有界,无界,收敛,发散,有极限 无极限,这些关系之间是什么关系? - ？
才旦崔银杏：[答案] 函数单调有界必有极限,有极限即必收敛 无界函数当然发散不存在极限了 方便的话就去查查高数书 那里很详细
常州市13976614647： 高数中的一个问题,有界、有极限、无界、无极限、无穷大及无穷小,这些定义之间的关系是怎样?(关系描述比如:互推、充分条件、必要条件等) - ？
才旦崔银杏：[答案] 有界不一定有极限(例子:sinx,x->无穷大), 有极限一定有界, 无界一定无极限, 无极限不一定无界(例子:sinx,x->无穷大) 不知道你说的无穷大与无穷小怎么比较 无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大
常州市13976614647： 收敛、连续、有界的关系? - ？
才旦崔银杏： 收敛必然有界,反之不一定;连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线.与收敛、有界,没有必然关系. 比如,数列是典型的不连续函数,但是,可以收敛、有界;y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数. 令{an}为一个数列,且A为一...
