收敛、连续、有界的关系？

收敛、连续、有界的关系是什么？~

有界不一定收敛,收敛一定有界。单调有界连续函数一定收敛单调函数不一定连续，也不一定有界，比如y=1/x，单调减， x=0时间断，无界。
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)
记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0

有界不一定收敛 收敛一定有界

收敛必然有界，反之不一定；连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系。

比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就称数列{an}收敛于A（极限为A），即数列{an}为收敛数列。

扩展资料

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

关于函数的有界性，应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

参考资料来源：百度百科-收敛

收敛必然有界，反之不一定；连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系，比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c，有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

扩展资料：

连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

参考资料来源：百度百科——有界

参考资料来源：百度百科——连续

参考资料来源：百度百科——收敛

首先，收敛和有极限是一个概念。其次，函数收敛能推出它是局部有界的。【关于这个局部，如果已知的是x→x0时函数有极限，则这个局部是指x0的某个δ临域；如果已知的是x→∞时函数有极限，则这个局部指的是x>+∞或x<-∞】但是有界不一定能推出收敛（有极限）【如函数F(x)=sinx,它是有界的，但当x→∞时它并不收敛。】 综上，收敛<=>有极限 收敛=>有界

收敛必然有界，反之不一定；
连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系，比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

收敛是指函数有极限，极限乃微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

PS1：有界集：
设在R中有一个集合A，如果存在正数M<∞：
|x-y|≤M，其中任意x,y∈A；
就称A为有界集，即A是有界的
函数的有界性与其他函数性质（函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。）之间的关系
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
极限和导数关系密切,而关于函数的导数和连续有比较经典的四句话：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.（比如y=|x|）
所以
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导
或者说，每个函数的特性不一样，就又有各种各样的极限和有界，在这个前提下，连续才可以被讨论和测定

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郾城区15965777723： 收敛、连续、有界的关系? - ？
张侵曲克： 收敛必然有界,反之不一定;连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线.与收敛、有界,没有必然关系. 比如,数列是典型的不连续函数,但是,可以收敛、有界;y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数. 令{an}为一个数列,且A为一...

郾城区15965777723： 函数收敛,有界,连续,可导,可微的几种相互关系 - ？
张侵曲克： 可微一定可导,可导一定连续,在二元函数中可微能够推出偏导数存在,但偏导数存在不能推出可微.收敛可以推出有界,但有界不能推出收敛,必须使单调有界函数才收敛.

郾城区15965777723： 高数中有界和收敛的关系和区别? - ？
张侵曲克：[答案] 首先,楼上说的“收敛一定有界,有界当然不一定收敛.”是它们的关系之一……之二是“单调有界数列必然收敛”.注:楼上说得很好,单调有界序列收敛一般的度量空间中不成立,比如有理数列,不过这是指这样的有理数列不一定...

郾城区15965777723： 高数,数列收敛与有界与极限三者的关系 - ？
张侵曲克：[答案] 答: 数列收敛,即: 存在 N∈N+,使得n>N时,对于任意ε(ε>0),恒有:|Xn-a| < ε 成立,其中a就是该数列的极限 由此可知:数列收敛则数列极限存在,反之也是一样. 数列有界,即: 若 存在M > 0,使得一切自然数n,恒有:|Xn| < M 成立,则称数...

郾城区15965777723： 数列收敛和有界的关系是什么? - ？
张侵曲克： 数列收敛一定有界,有界的数列不一定收敛.如数列:1,2,1,2……2有界,但其不收敛.收敛是指无限接近于某个数,而该数列并不接近某一个数.又如数列:1,1.2,1.3……1.9,1.99,1.999……该数列有界并接近于2所以有界的数列不一定收敛,而收敛的数列一定有界.

郾城区15965777723： 函数的有界性和收敛性间存在怎样的关系 - ？
张侵曲克： 连续性要求当自变量逼近某个值是,函数值也逼近对应的极限.为了满足这点,在一个有限的邻域里,函数不可能变成无穷大,否则在那个区间里它不可能连续,因为你无法找到对应的极限

郾城区15965777723： 函数的有界性和收敛性间存在怎样的关系?怎样判断一个函数具有收敛性? - ？
张侵曲克：[答案] 收敛函数必然有界 但是有界不一定收敛 比如说y=sinx 至于怎么判断收敛性则用 单调有界必收敛

郾城区15965777723： 高数极限和连续中为什么说数列收敛则必定有界 可是有界数列不一定收敛 具体点说明一下 - ？
张侵曲克：[答案] 收敛的数列最后都挤到一起了,那当然有界了 有界不收敛的例子:1,-1,1,-1,1,.

郾城区15965777723： 函数有极限,有界,收敛三者是这样的关系? - ？
张侵曲克：[答案] 首先,收敛和有极限是一个概念.其次,函数收敛能推出它是局部有界的.【关于这个局部,如果已知的是x→x0时函数有极限,则这个局部是指x0的某个δ临域;如果已知的是x→∞时函数有极限,则这个局部指的是x>+∞或x有极限 收敛=>有界