请问“存在极限”、“数列收敛”、“有界性”有什么关系？
收敛数列有界性证明及其证明技巧。
极限的性质：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……
3、保号性：若 （或0，使n>N时有xn＞m （相应的xn＜m ）。
4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn，则
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 {xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
1、数列收敛与存在极限的关系：
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
2、数列收敛与有界性的关系：
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！
例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。数列收敛<=>数列存在唯一极限。
设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
扩展资料
收敛数列性质：
1、唯一性
如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性
定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。
定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。数列收敛<=>数列存在唯一极限。
设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
扩展资料：
收敛数列与其子数列间的关系：
1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
3、如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
数列收敛当然存在极限，这两个说法是等价的；数列若是收敛则数列必然有界，反过来不一定成立！
例如：Xn=1,-1,1,-1,.....
|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛
对于收敛的数列，他的极限小于等于界；这里的界有很多的，可以很大的，界不是唯一的，一般讨论最大（最小）的界比较有意义。
(n->∞)lim xn 存在 那么我们就说数列{xn}收敛
收敛必有界 但有界不一定收敛
没有关系 丨M丨≥丨A（limf(x)=A）丨 可以看作值域是[-M,M]的子集
函数极限的存在性问题?
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。3、保号性。4、保不等式性：设数列{xn}与{yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有xn≥yn。5、...
极限是否存在问题
1、【我们强行规定】：某点处的左右极限各自存在且相等，该点的极限存在。.2、【这种说法带来的暗示性误导】：A、以为只要左右极限有一个不存在，极限就不存在；B、以为左右极限不相等，就没有极限。.3、【反例】：A、所有的暇积分，所有的广义积分，通通、统统建立在单侧极限上，能不算？谁敢不算...
极限存在问题
存在啊！有极限计算法则lim（AB）＝limA×limB，lim（A+B）＝limA+limB，可知。
有关极限是否存在的问题
存在。简要证明一下：设limf(x)=f(x0),limg(x)=g(x0),当x趋于x0时。那么，|f(x)g(x)-f(x0)g(x0)|=|f(x)g(x)-f(x0)g(x)+f(x0)g(x)-f(x0)g(x0)|<=|f(x)-f(x0)|g(x)+f(x0)|g(x)-g(x0)|,因为g(x)在x0处有极限。那么它在x0的一个邻域内有界。
函数极限存在问题 问题是这样:函数左右极限相等为常数(不为无穷...
网上说的是错误的，极限存在要有三个条件：1、左极限右极限存在 2、左极限右极限相等 3、极限值等于函数值。网上说的不包括第三点，是错误的。
想问一下极限存在和函数连续到底存在什么关系还和可导存在什么关系...
在这一点上，函数的极限有可能存在，也有可能不存在。存在的例子：f(x)=\/x\/，x_0=0处，极限值为0；不存在的例子：f(x)=1,x>=0；f(x)=0，x<0，x_0=0处，左右极限不等，从而极限不存在。 若函数f(x)在一点x_0处可导，则有f(x_0+Δx)-f(x_0)=f'(x_0)*Δx+o(Δx)。
求教极限存在问题
1 limu(x)存在，limv(x)不存在，lim(u(x)±v(x))一定不存在。limu(x)*limv(x)可能存在，也肯能不存在。比如u(x)=x-x0，v(x)=sin[1\/(x-x0)]那么 limu(x)*limv(x)=limu(x)*v(x)=0 2 limu(x)不存在，limv(x)不存在，lim(u(x)±v(x))可能存在，也肯能不存在。比...
关于求极限存在的问题,xn≤√a+1是怎么来的?√a+1可否换成下面A=的...
首先因为根号a+a< (根号a+1)^2,所以 根号(根号a+a)<根号 (( 根号a+1 )^2)= 根号a+1 再用数归法可证.其次，因为数列得每一项是正数，所以极限值为正，故求出。望采纳
考研数学:函数极限存在的一个小问题~谢谢
f(x) x→x0存在，当f（x）在f（x）=0处单调且连续可导时，|f(x)|在此处连续，左极限等于右极限等于0，左导数等于负的右导数。其他情况下|f(x)|也为连续可导函数。f(x) x→x0存在，当f（x）在f（x）=0处连续但不可导时，|f(x)|在此处连续，左极限等于右极限等于0，仍旧不可导；...
高等数学极限问题。有界函数乘以无穷大是什么?有可能是无穷小吗?有哪...
有界函数可以是一个存在极限的函数（这个极限可以是0也可以是任意非零数），也可以是无穷大，也可以是有界但不存在极限且不是无穷大，这样拆分为：无穷小乘以无穷大，无穷大乘以无穷大，有非零极限的函数乘以无穷大，极限不存在也不是无穷大的函数乘以无穷大。其中的“无穷大乘以无穷大，有非零极限的...
班梅止喘： 数列的极限存在与收敛是一回事, 按定义,数列的极限存在时称数列收敛,极限不存在时,称极限发散.互为充分必要条件.怎么举例呢.
甘南县19449079935： 数列一个子列的极限存在 那么该数列收敛吗 - ？
班梅止喘： 可以.并且所有的子列都收敛到A任意e,当n充分大时及存在一个N,当,所有的n>N,有|xn-A|
甘南县19449079935： 有极限的数列一定是收敛数列吗 有界不一定有极限吗 - ？
班梅止喘：[答案] 有极限的数列一定是收敛数列吗:是 有界不一定有极限吗:是 e.g |sin(1/x)| 0) sin(1/x) 不存在
甘南县19449079935： 数列的极限与数列收敛的关系?主要是两者的关系, - ？
班梅止喘：[答案] 数列收敛是指数列存在极限,但不需知道是几,只需知道存在即可 数列极限可以是一个值,也可以不存在 证明数列收敛的题目不需要求出数列极限,只需要证明极限存在即可,所以这两者还是有点差别的
甘南县19449079935： 高数,数列收敛与有界与极限三者的关系 - ？
班梅止喘：[答案] 答: 数列收敛,即: 存在 N∈N+,使得n>N时,对于任意ε(ε>0),恒有:|Xn-a| < ε 成立,其中a就是该数列的极限 由此可知:数列收敛则数列极限存在,反之也是一样. 数列有界,即: 若 存在M > 0,使得一切自然数n,恒有:|Xn| < M 成立,则称数...
甘南县19449079935： 数列收敛和数列极限存在两者有无区别, - ？
班梅止喘：[答案] 数列收敛是指数列存在极限,但不需知道是几,只需知道存在即可 数列极限可以是一个值,也可以不存在 证明数列收敛的题目不需要求出数列极限,只需要证明极限存在即可,所以这两者还是有点差别的
甘南县19449079935： 是不是有极限就可以说是收敛数列 - ？
班梅止喘： 有极限且为0是收敛的必要条件并非充分条件!比如1+1/2+1/3+1/4+...+1/n的极限是0,但它发散的.
甘南县19449079935： 高数数列收敛性问题 - ？
班梅止喘： 概念有点乱啊!首先要分清数列收敛{xn}和级数Σxn收敛,这是两种不同的概念,当然它们之间有关系.数列{xn}收敛就是数列有极限,也就是limxn存在,当然极限只是存在有限,不一定为0;级数收敛Σxn收敛的定义是它的部分和数列{Sn}有极限,也就是limSn存在.级数收敛的必要条件是通项数列的极限limxn=0.你问的问题好像是级数Σ(x(n+1)–xn)收敛,那那么应该有linxn=0.这是错的!这是因为Σ(x(n+1)–xn)绝对收敛,并不能保证Σxn收敛,楼上有高手举了例子,你可以看一下,只能得到lin[x(n+1)–xn]=0,得不到linxn=0,所以题目中并没有矛盾.
甘南县19449079935： 怎样的数列才算是收敛数列?数列有极限就等同于收敛吗?收敛即有极限么?什么条件下函数才存在极限啊?希望能有精确而又详细点的回答,(还有我不太... - ？
班梅止喘：[答案] 怎样的数列才算是收敛数列?数列有极限就等同于收敛吗?收敛即有极限么?什么条件下函数才存在极限啊? 数列收敛及图像不能同时有正无穷和负无穷 是 不一定 要左右极限相等 用 lim的公式 来算啊
甘南县19449079935： 数列在无穷大时存在极限 但不单调 那么此数列收敛么? - ？
班梅止喘： 数列存在极限, 就意味着数列收敛. 注意课本上有一句, 数列的极限为a,也称数列收敛于a
