如图,已知△ABC为圆O的内接三角形,I为内心.若外接圆半径为R,内切圆半径r,求证AI·ID=2Rr
（1）
证明：
∵内心I是角平分线的交点，
∴∠ANB=∠CBN=30°，
∠BAI=∠CAI，
∵∠CAN=∠CBN=30°（同弧所对的圆周角相等），
∴∠NAI=∠CAN+∠CAI=30°+∠CAI，
∵∠AIN=∠ABN+∠BAI=30°+∠BAI，
∴∠NAI=∠AIN，
∴AN=IN，
∵OA=ON=R，
∠AON=2∠ABN=60°（同弧所对的圆心角等于2倍的圆周角），
∴△AON是等边三角形，
∴AN=R，
∴IN=AN=R.
（2）
∵∠BAC=θ，
∴∠BAN=∠BAC+∠CAN=θ+30°，
∠ANB=180°-∠BAN-∠ABN=180°-（θ+30°）-30°=120°-θ，
∠ONI=∠ANB-∠ANO=120°-θ-60°=60°-θ；
∵∠BAM=180°-θ，
AE平分∠BAM，
∴∠BAE=90°-θ/2，
∠EAN=∠EAB+∠BAN=90°-θ/2+θ+30°=120°+θ/2，
∠OAE=∠EAN-∠OAN=120°+θ/2-60°=60°+θ/2.
（3）
连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=60°+θ/2，
∴∠AOE=180°-∠OAE-∠OEA=60°-θ，
∴∠ONI=∠AOE，
又∵1N=ON=OA=OE，
∴△ONI≌△AOE（SAS），
∴OI=AE.
楼主图呢???有图有真相哦
如图： 证（1）
∵I是△ABC的内心,
∴∠1=∠2,弧BD=弧CD,BD=CD
同理∠3=∠4,
∵∠1=∠5
∴∠2=∠5
∴∠6=∠2+∠3=∠4+∠5
∴BD=ID
∴BD=CD=ID
如图：证（2）
在△AEB和△DEC中,
∵∠2=∠7,∠AEB=∠DEC,
∴△AEB∽△DEC
∴AB/CD=BE/DE
∵∠2=∠5 (已证)
BD=CD (已证)
∴AB/BD=BE/DE
∴△AEB∽△BED
∴∠AEB=∠BED=90度
∴∠ABD=∠3+∠4+∠5=∠3+∠4+∠2=90度
∴AD是直径,AD=2R,
作点I到AB的距离IF,垂足F
则 IF=IE=r,∠AFI=90度
∵∠2=∠2,∠AFI=∠ABD=90度,
∴△AFI∽△ABD
∴IF/BD= AI/ AD,
∵BD= DI (已证)
∴r/ DI= AI/2R
即AI·ID=2Rr
这有何难
作过I的直径PQ,由相交弦定理得PI*QI=AI*DI
又PI=PO+OI=R+d(d=OI),QI=QO-OI=R-d
∴AI*DI=(R+d)(R-d)=R²-d²=2Rr
R²-d²=2Rr叫做欧拉定理(几何)
(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连...
（2）BE=CD，理由与（1）同理。（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长。解：（1）完成图形，如图所示： 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD...
已知,如图,△ABC的三边长为AC=5,BC=6,AB=7,圆O与△ABC的三边相切于D...
解：1、设AE＝X，BD＝Y，CF＝Z 因圆O与△ABC的三边相切于D,E,F 则AF＝AE＝X，BE＝BD＝Y，CD＝CF＝Z X+Y＝AB＝7 1）X+Z＝AC＝5 2）Y+Z＝BC＝6 3）由1）+2）得 2X+Y+Z＝12 4）将3）代入4）中，得 2X+6＝12 X＝3 将X＝3代入1）中，得 Y＝4 将X＝3...
已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,求b的取值...
结果为：5\/4 ＜b＜ 15\/4 解题过程如下：由题意得：b+c-2a=0，b+c-5=0 解得：b+c=5 把b+c=5代入b+c-2a=0中得：5-2a=0 解得：a=2.5 那么c=5-b 根据三角形的三边关系：|5-b-2.5|＜b且b＜5-b+2.5 即2.5-b＜b＜2.5+5-b 解得： 5\/4 ＜b＜ 15\/4 所以b的...
已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C...
（1）：由题旨知tan角BAC=BC\/AC=3\/4,AC=4,所以BC=3.所以B点坐标（1,3）或（1，-3）因为B点坐标可以是第一象限或是第四象限。（2）：根据两点直线公式的：（Y-Y1）\/（X-X1）=（Y2-Y）\/（X2-X）得：3X+4Y+9=0,3X-4Y+9=0.(3):由题知三角形ABC是直角三角形，D点在X轴上，...
探索,在图1至图3中,已知△ABC的面积为a。
（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF= S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的...
如图,已知等边△ABC的边BC为底,向形外作等腰△BCD,∠BDC=120°以D为顶...
MN=BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD...
已知:在△ABC中,∠ACB为锐角,D是射线BC上一动点(D与C不重合).以AD为一...
（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，△ABC为等边三角形，等边△ADE，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，∴∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，∴直线BD与直线CE所夹锐角为 60°； （2）仍然...
已知abc分别为三角形ABC内角ABC的对边,sin平方B=2sinAsinC
∵(sinB)^2=2sinAsinC ==>(sinB)^2=2sinBsinC=4cosB(sinB)^2 ==>(4cosB-1)(sinB)^2=0 ==>4cosB-1=0 ∴cosB=1\/4。2.∵B=90°，(sinB)^2=2sinAsinC ==>2sinAsinC=1 ==>2sinAsin(90°-A)=1 ==>2sinAcosA=1 ==>sin(2A)=1 ==>2A=90° ==>A=45° ∴△ABC是...
如图,已知△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点. (1)如果点...
(1)中的第一问：全等，理由：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C ∵D是AB中点 ∴BD＝AB的一半＝6CM ∵点P与点Q的速度都是3CM\/秒，运动1秒，∴BP＝CQ＝3CM ∴BD＝CP＝6CM ∴ΔBPD≌ΔCQP 第二问的思路：因 为BD＝6cm是确定的，若CP＝6cm，同第一问，因此不可能是CP＝6CM，因此应CQ＝6CM 那么这时...
阅读下列解题过程已知abc为△ABC的三边,且满足a²c²–b²c²=...
已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a²c²-b²c²=a4-b4.试判断△ABC的形状。a²c²-b²c²=a4-b4 (a²-b²)c²-(a²-b²)(a²+b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=...
底庾前列：[答案] 因为角B=1/2弧AC 角B=52度 所以弧AC=104度 因为角AOC=弧AC 所以角AOC=104度 因为OA=OC 所以角ACO=角CAO 因为角ACO+角CAO+角AOC=180度 所以角ACO=38度
赫山区19487616809： 如图,已知三角形ABC是圆O的内接三角形,AB=AC,点P是 - ？
底庾前列：[答案] (1)∵∠BPC=60°,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴∠APC=∠ABC=60°,而点P是AB 的中点,∴∠ACP=12 ∠ACB=30°,∴∠PAC=90°,∴tan∠PCA= PAAC ...
赫山区19487616809： 已知:如图,△ABC是圆O的内接三角形,且AB=AC=4根号5,BA=8,求圆O的直径长.【用9年级(上)的知识解答】. - ？
底庾前列：[答案] 是BC=8吧. 底边BC上的高为根号(AB^2-(BC/2)^2)=根号(80-16)=8 设内接圆半径为r,则有8x8=(4根号5 + 4根号5 + 8)x r r=8/(1+√5)=2(√5 -1) 直径为2r=4(√5 -1)
赫山区19487616809： 如图三角形abc是圆o的内接三角形角bac等于45度bc等于五,则圆o的直径为. - ？
底庾前列： 三角形abc是圆o的内接三角形角bac等于45度bc等于五,则圆o的直径为.角boc=2角bac=90度 ob^2+oc^2=bc^2 由bc=5得ob=oc=5√2/2 圆o的直径为5√2
赫山区19487616809： 已知,如图,△ABC是圆O内接三角形,AF是圆O的直径,AD⊥BD于D,交圆O于点E 求证:BF=CE - ？
底庾前列： 我估计应是AD⊥BC于D,D在BC上,∵AF是圆直径,∴〈ABF=90度,(半圆上圆周角是直角),∵〈ADC=90度,(已知),∵〈BFA=〈BCA,(同弧圆周角相等),〈BAF=180度-90度-〈BFA,〈DAC=180度-90度-〈ACD,∴〈BAF=〈EAC,∴BF弧=CE弧,∴BF=CE.
赫山区19487616809： 如图,已知三角形ABC是圆O的内接三角形,AB=AC,点P是弧AB中点,连接 - ？
底庾前列：[答案] (1)∵∠BPC=60°,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴∠APC=∠ABC=60°,而点P是AB 的中点,∴∠ACP=12 ∠ACB=30°,∴∠PAC=90°,∴tan∠PCA= PAAC =tan30°= √3...
赫山区19487616809： 三角形abc是圆o的内接三角形 - ？
底庾前列： 三角形ABC是圆O的内接三角形,AC=BC,D为圆O中弧AB上一点,延长DA至点E,使CE=CD,1.求证AE=CD;2.若AC⊥BC,求证AD+BD=√2CD1.连接BD因为 AC=BC所以 角B=角CAB因为 CE=CD所以 角CDE=角CED因为 角CDE=角B ...
赫山区19487616809： 初三数学题已知:如图,三角形ABC为圆O的内接三角形,圆O1过点 ？
底庾前列： 缺少AB=AC 证明:连接DC,所以∠CEF=∠CDF 又因为∠CDF=∠ABC 所以∠CEF=∠ABC 而AB=AC,所以∠ABC=∠ACB 所以∠CEF=∠ACB 所以EF∥CG
赫山区19487616809： 如图所示,已知△ABC为圆O内接三角形,BC=1,∠A=60°,求圆O的半径 - ？
底庾前列： 连接OB,OC,则OBC为顶角120°的等腰三角形,又因为BC=1,所以OB=OC=√3/3
赫山区19487616809： 1)已知:如图1,三角形ABC是圆O的内接正三角形,点P为弧BC上一动点,求证PA=PB+PC.. - ？
底庾前列：[答案]以P为圆心,PB为半径画圆,交AP于D,连接BD 则:△PBE为正三角形 即:PD=PB ∵∠ADB=180-60=120º,∠CPB=60+60=120º ∴∠ADB=∠CPB ① ∵∠BAD=∠BCP(对应同一段圆弧) ② 由①②得:∠ABD=∠CBP ③ ∵△ABC是正三角...
