解同余方程17x+6≡0(mod24)

解同余方程18≡30（mod24）~

两端同乘以 -7 ，得 -7*17x+6*(-7)≡0 (mod 24) ，
所以 x-42≡0 (mod 24) ，
移项得 x≡ 42≡18 (mod 24) 。

{x=6(mod b). x=7(mod24))}
解：
当b,24互质时，即gcd(b,24)=1时，有解。
此时不妨设x=24p+bq,易见当p,q取整数时，x可能取遍所有整数，故此设定可行。
代入原同余式即有：24p==6 mod b, bq==7 mod 24，视具体情况求解。
或者利用欧拉缩系计数函数得到通解，过程如下：
gcd(b,24)=1,故gcd(b,4)=1，gcd(b,6)=1，故
4p=1 mod b, p==4^(φ(b)-1) mod b
q==7*b^(φ(24)-1)=7*b^7 mod 24.
于是 x=24*4^(φ(b)-1)+7*b^8 mod (24*b) == 6*4^φ(b)+7*b^8 mod (24*b)

当b,24不互质，即gcd(b,24)>1时，
有24=b*t, 由x==7 mod 24得x==7 mod b，又x==6 mod b，于是7==6 mod b, 1==0 mod b, 则必有b=1，此时gcd(b,24)=1，与gcd(b,24)>1矛盾。

综上，此同余式组仅当b,24互质时有解x== 6*4^φ(b)+7*b^8 mod (24*b)，当b,24不互质时无解。

方法一：
17x==-6 mod 24
-7x==-6
注意只能乘以与24互质的数，如5,7,11之类。
乘-7得 49x==42==18
即x==18

方法二：
另： 乘5得 85x==-30即 13x==-6
与原式相减得4x==0.从而12x==0
故x==13x-12x==-6==18.

类似以上二者，还有多种过程可以求得正解。

方法三：用不定方程。
17x+6=24y
（两边模6取余，）易见，可设x=6z
（代入原式简化得）17z+1=4y
（再模4取余，）易见z=-1+4w
于是x=6z=-6+24w==18 mod 24

两端同乘以 -7 ，得 -7*17x+6*(-7)≡0 (mod 24) ，
所以 x-42≡0 (mod 24) ，
移项得 x≡ 42≡18 (mod 24) 。

17x=-6
x=-6/17

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