已知抛物线经过A(1,0),B(3.0),C(0,-3)顶点为D。

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D，连接B~

（1）根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值；
（3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．根据勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三边后，再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长，已知点C的坐标，只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上．
解：（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1，4）．（5分）

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得 {3k+b=0k+b=4，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线AD解析式为y=-2x+6．（7分）
s= 12PE•OE= 12xy= 12x（-2x+6）=-x2+3x，（8分）
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+ 94）+ 94=-（x- 32）2+ 94．（10分）
∴当 x=32时，s取得最大值，最大值为 94．（11分）

（3）当s取得最大值， x=32，y=3，
∴ P(32，3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．
在Rt△P′MC中，由勾股定理， (32)2+(3-m)2=m2．
解得m= 158．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H= 910．
由△EHP′∽△EP′M，可得 EHEPʹ=EPʹEM，EH= 65．
∴OH=3- 65=95．
∴P′坐标 (-910，95)．（13分）
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴ CMMH=MHPM=12．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k= 32，k= 310．
由三角形中位线定理，PN=8k= 125，P′N=4k= 65．
∴CN=PN-PC= 125- 32= 910，即x=- 910．
y=PF-P′N=3- 65=95
∴P′坐标（- 910， 95）．（13分）
把P′坐标（- 910，95）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）

（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c,
将点A、B、C的坐标代入，可求得解析式为y=x²-2x-3
∴顶点D的坐标是（1，-4）

（2）△BCD是直角三角形．
由题意得CD=√2，BD=2√5，BC=3√2，
∵CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形.

（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似.


由(2)可知，△BCD是直角三角形，CD/BC=1/3
①若P在Y轴，则只有当P在坐标原点时△PAC是RT△，
此时PA/PC=1/3，符合题意
②若点P在X轴上（除坐标原点外），当P（9,0）时符合题意，
∴点P坐标为（0，0）或（9，0）.

1、
经过A(1,0),B(3.0),

则可设交点式：y=a(x-1)(x-3)
把点(0,-3)代入得：-3=3a
得：a=-1
所以，y=-(x-1)(x-3)
即表达式为：y=-x²+4x-3

2、
顶点D(2,1)
把A(1,0)，D(2,1)代入直线y=kx+b
得：k+b=0，2k+b=1
解得：k=1，b=-1
所以，直线的表达式为：y=x-1

3、
S△ABD，AB=2，D到AB的距离h=1

所以，S△ABD=AB*h/2=1
所以，S△PAD=√2/2
点P在y轴的正半轴，则：设P(0,y)
S△PAD=S（四边形OADP）-S△PAO

连接OD
S（四边形OADP）=S△POD+S△OAD

△POD中，OP=y，D(2,1)到OP（即y轴）的距离d=2，所以，S△POD=OP*d/2=y；

△OAD中，OA=1，D(2,1)到OA（即x轴）的距离d'=1，所以，S△OAD=OA*d'/2=1/2；

所以，S（四边形OADP）=S△POD+S△OAD=y+1/2；
△PAO中，OP=y，OA=1，所以，S△PAO=OP*OA/2=y/2；

所以，S△PAD=S（四边形OADP）-S△PAO=y+1/2-y/2=y/2+1/2
则：y/2+1/2=√2/2
得：y=√2-1
所以，点P的坐标为(0,√2-1)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

(1)因为A、B是抛物线与X轴交点坐标
所以设抛物线解析式为交点式：y=a(x-1)(x-3)
代入点C坐标：3a=-3,a=-1
y=-(x-1)(x-3)
y=-x²+4x-3
(2)由于A、B两点纵坐标相等，则关于对称轴对称
因此对称轴X=（1+3）/2=2
代入x=2，y=1
所以D(2，1）
将A、D坐标代入y=kx+b
k+b=0
2k+b=1
k=1,b=-1
y=x-1
(3)设P坐标为(0,y)，从D作DH垂直X轴于H
则DH=1，AB=2，OH=2，AH=1
P在Y轴正半轴，所以PO=y
S△ABD=1/2×AB×DH=1/2×2×1=1
所以S△PAD=√2/2
S梯形POHD=1/2×（PO+DH）×OH=1/2×（y+1)×2=y+1
S△POA=1/2×PO×OA=1/2×y×1=y/2
S△ADH=1/2×AH×DH=1/2×1×1=1/2
S△PAD=S梯形POHD-S△POA-S△ADH
=y+1-y/2-1/2=y/2+1/2=√2/2
所以y/2=√2/2-1/2
y=√2-1
P点坐标为（0，√2-1）

（1）y=-x^2+4x-3
（2）y=x-1
（3）第三问可以如下处理：
令P（0，m）（m>0）。过P作PE垂直于AD交AD于E
由抛物线的对称性、勾股定理知△ABD为等腰直角三角形
则|AD|=√2
由面积公式易知S△ABD=1
由点到直线距离公式有|PE|=|m+1|/√2
由面积公式有S△PAD=1/2*|AD|*|PE|=|m+1|/2
因S△PAD=√2/2S△ABD
所以|m+1|/2=√2/2
解得m=√2-1（注意到m>0）
即得P点坐标为（0，√2-1）

函数y=f(x)的图像是在R上连续不断的曲线,且f(1)·f(2)>0,则y=f(x)在区间[1,2]上有几个零点.......

---

云溪区15817966635： 已知抛物线经过A(1,0),B(3,2),C( - 2,12).求抛物线解析式 - ？
柞帘门冬： 设y=ax² + bx +c,则可得(点的坐标,即分别为(x, y)):a+b+c=09a+3b+c=24a-2b+c=12 解上三元一次方程组可得:a=1; b=-3; c=2 所以,y=x² - 3x +2

云溪区15817966635： (2013•衡阳)如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x= - 1.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在... - ？
柞帘门冬：[答案] (1)根据题意,设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2+k, ∵点A(1,0),B(0,3)在抛物线上, ∴ 4a+k=0a+k=3, 解得:a=-1,k=4, ∴抛物线的解析式为:y=-(x+1)2+4. (2)①∵四边形OMPQ为矩形, ∴OM=PQ,即3t=-(t+1)2+4, 整理得:t2+5t-3=0, 解得t= −5±...

云溪区15817966635： 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(0,3),C(2, - 1).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线与x轴的另一个交点D的坐标;(3)该抛物线的对称轴上... - ？
柞帘门冬：[答案] (1)把A(1,0),B(0,3),C(2,-1)代入y=ax2+bx+c, 得 a+b+c=0c=34a+2b+c=-1, 解得 a=1b=-4c=3., 所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)令x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3. ∵点A的坐标为(1,0), ∴点D的坐标为(3,0). (3)存在. 由(1)知该抛物线的对称轴...

云溪区15817966635： 已知抛物线经过两点A(1,0)、B(0,3),且对称轴是直线x=2,求其解析式. - ？
柞帘门冬：[答案] ∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(1,0) 由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点(3,0) 设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 即:y=a(x-1)(x-3) 把B(0,3)代入得:3=3a ∴a=1 ∴抛物线的解析式为:y=x2-4x+3.

云溪区15817966635： 已知抛物线经过两点A(1,0)B(0,3)且对称轴直线x=2,求表达式. - ？
柞帘门冬：[答案] 对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为A(1,0) 则与x轴的另一个交点为C(3,0) 可设交点式:y=a(x-1)(x-3) 把点B(0,3)代入得:3=3a 得:a=1 所以,y=(x-1)(x-3) 即表达式为:y=x²-4x+3

云溪区15817966635： 已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0, - 3).(1)求抛物线的表达式及顶点D - ？
柞帘门冬： (1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3). ∴ 9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=?3 ,解得 a=?1 b=4 c=?3 ,∴抛物线的解析式:y=-x2+4x-3,由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,可知:顶点D的坐标(2,1). (2)存在;设直线BC的解析式为:y=kx+b,则 ...

云溪区15817966635： 如图 已知抛物线经过点a( - 1,0 )b(3,0))c(0,3)三点 .(1)求抛物线的解析式 - ？
柞帘门冬：[答案] (1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax²+bx+c,得 {a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3 解得:{a=-1 b=2 c=3 ∴抛物线的函数关系式是y=-x²+2x+3.

云溪区15817966635： 已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线.(1)求这条抛物线的解析 - ？
柞帘门冬： (1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3), ∵过E(0,6),∴6=a*3, ∴a=2, ∴抛物线的解析式为:y=2x2-8x+6. (2)y=2x2-8x+6=2(x2-4x+3)-2=2(x-2)2-2, ∴C(2,-2),对称轴直线x=2,D(2,0). △ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1. 当△AOP∽△ACD时,OAAD=OPCD,11=OP2,∴OP=2. ∵P在y轴正半轴上,∴P(0,2). 当△PAO∽△ACD时,OACD=OPAD,12=OP1,OP=12, P在y轴正半轴上,∴P(0,12).

云溪区15817966635： 如图 已知抛物线经过点a( - 1,0 )b(3,0))c(0,3)三点 . (1)求抛物线的解析式 - ？
柞帘门冬： 解:(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax²+bx+c,得 {a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3 解得:{a=-1 b=2 c=3 ∴抛物线的函数关系式是y=-x²+2x+3.

云溪区15817966635： 已知抛物线经过A( - 1,0),B(3,0),C(0, - 1)三点.点Q在Y轴上,点P在抛物线上,要使为希望回答第二问能详细点,完整点, - ？
柞帘门冬：[答案] 已知抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.点Q在Y轴上,点P在抛物线上,要使为. 没出完呀