如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PCD为正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面ABCD为菱形，角ADC=60°
解：（Ⅰ）取CD的中点E，连PE，AE因为△PCD为正三角形 所以 PE⊥CD又底面ABCD⊥侧面PCD，因为PE⊥底面ABCD …（3分）∠ADC=60°，AD=AC，∴△ADC为正三角形，所以AE⊥CD 由三垂线定理PA⊥CD …（5分）（Ⅱ）因为 CD∥AB，由（Ⅰ）可得 AE⊥AB，PA⊥AB∴∠PAE是二面角P-AB-D的平面角 …（7分）因为菱形ABCD是面积S=AB2?sin60°=23，∴AB=2=CD，PE=AE，∠PAE=45°；即二面角P-AB-D为45° …（9分）（Ⅲ）取PA的中点N，连MN，DN，则MN∥AB∥CD所以 M、N、D、C四点共面，又 因为 AD=PD∴PA⊥ND 又PA⊥CD∴PA⊥平面CDM …（12分）所以 平面PAB⊥平面CDM …（14分）
证明：（1）∵AD∥BC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC． 又∵AD?平面ADMN，平面ADMN∩平面PBC=MN，∴AD∥MN． 而AD?平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）取AD中点O，连接PO，BO，BD．在等边△PAD中，PO⊥AD．在△ABD中，∵AD=AB，∠BAD=60°，∴三角形ABD为等边三角形，∴BO⊥AD．又∵PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，∴AD⊥PB．在△PAB，∵PA=AB，PN=NB，∴AN⊥PB．又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
证明：（1） 去CD中点E，连接PE,AE
因为△PCD是正三角形，所以PE⊥CD（1）
又因为四边形ABCD是菱形且∠ADC=60°
所以△ACD也是正三角形
所以AE⊥CD（2）
由（1）、（2）且 PE交AE=E得 CD⊥面PAE
又因为PA属于面PAE，所以CD⊥PA
（2）取PA中点F，连接DF,MF
因为在△PAB中 M,F分别为PB,PA中点
所以 MFllAB，所以MFllCD
所以MFll面CDM
又因为 M属于面CDM，所以MF属于面CDM，DF也属于面CDM
因为△PCD为正三角形且四边形ABCD为菱形，
所以PD=AD，所以△PAD为等腰三角形
又因为F为PA中点，所以△PAD中 DF⊥PA（3）
由CD⊥PA， DF⊥PA 且 CD交DF=D得PA⊥面CDM
又因为PA属于面PAB，所以面CDM⊥面PAB。
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90...
，BF= AB 2 BG = 16 2 5 = 8 5 5 ．于是PA=BF= 8 5 5 ．又梯形ABCD的面积为S= 1 2 ×（5+3）×4=16． 所以四棱锥P-ABCD的体积为V= 1 3 ×S×PA= 1 3 ×16× 8 5 5 = 12...
已知四棱锥P-ABCD的直观图(如图(1))及左视图(如图(2)),底面ABCD是边长...
⑴利用面面垂直的性质得到线面垂直，然后再由线面垂直证得线线垂直；⑵ ；⑶ 。 试题分析：⑴取AB的中点O，连接PO，因为PA=PB，则PO⊥AB，又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO 平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD， 2分而AD⊥AB，PO∩AB=O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥P...
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥...
a，0），P（0，0，a），AB =（-a，3 a，0），BC =（-a，0，0），AP =（-a，0，a），PC =（-a，3 a，-a）．设平面PAB的法向量为 n =（x，y，z），得 -ax+3ay=0-ax+az=0 设y= 3 ，则x=z=3，得 n =（3，3 ，3）．同理，可求得平面PBC的一个法向量为 m =...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=...
(1)见试题解析；（2） . 试题分析：（1）要证两直线垂直，一般通过证明其中一条直线垂直于过另一条直线的平面，这里观察已知，有PD⊥平面ABCD，则有PD⊥BC，又BC⊥CD，显然就有BC⊥平面PCD，问题得证；（2）要求点A到平面PBC的距离，由于三棱锥P－ABC的体积容易求出（底面是三角形ABC，高...
如图在正四棱锥p-abcd中ab=2,pa=2√2,求证bd⊥面pac
【此题求证跟AB=2，PA=2√2无关】证明：设AC与BD交于O，连接PO。∵P-ABCD是正四棱锥，∴四边形ABCD是正方形，且PB=PD，∴BD⊥AC，OB=OD（正方形对角线互相垂直平分），∵PB=PD，OB=OD，∴PO⊥BD（三线合一），∵PO∈平面PAC，AC∈平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC。
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB平行于CD,AC垂直于BD,垂足为...
，∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P-ABCD的体积．解答：解：（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB= ...
(2013?福建)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=...
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3．直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4，由勾股定理求得BE=3，∴AB=6．在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4，∴PD=AD?tan60°=43，四棱锥P-ABCD的正视图如图所示：（Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N...
...四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°...
注意，菱形的对角线互相垂直平分。BO垂直于AC，BO垂直于PA，所以BO（也就是BD）垂直于PAC。三角形PAB是等腰直角三角形时，我们可以引OE\/\/AB交PD于E。E就是PD的中点。在三角形COE中可以用余弦定理、求角EOC的余弦。撇开PA=2，当平面PBC与平面PDC垂直时，可以过B引PC的垂线交PC于F。然后再处理。
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD, DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB...
故EG⊥底面ABCD．在底面ABCD中，过G作GH⊥BD．垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EH⊥BD．从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角．设AB=α则在△PAC中，有EG= PA= kα 以下计算GH，考虑底面的平面图，连接GD，因S △CBD = BD·GH= GB·DF 故GH= ．在△ABD中，因AB=a．AD...
...四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°...
因此 PC⊥OF 又△OCF∽△ACP 其 对应边成比例 从而 求到PA=√6 [√表示平方根],1,如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60° 1,求证BD⊥平面PAC 2,若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.3,当平面PBC与平面PDC垂直是,求PA的长 第一问我会求二三问,速求 ...
说婉复方：[答案] (1)取AD的中点O,连接PO. ∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD ∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD 以O为原点,过O作AB平行线为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,连OC,a,∴OC=3a,∴CD=2a ∴P(0,0,a),C(2a,a,0),E(a,-a,0) ∴=(a,-a,-a),...
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAB为正三角形,且与底面ABCD垂直,已知ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60°,PA//平面BDM,求证 M为PC的中点 - ？
说婉复方：[答案] 过PAC三点作平面交平面BDM于线MO, 因PA//平面BDM,故PA//MO,因点O为菱形ABCD对角线AC、BD的交点 故点O为AC的中点,又PA//MO,在三角形PAC中, 根据中位线定理有:M为PC的中点
古县19898018429： 如图,四棱锥P - ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ADC=60°的菱形,M为PB的中点.(Ⅰ)求PA与底面ABCD所成... - ？
说婉复方：[答案] (Ⅰ)取DC的中点O,∵△PDC是正三角形,∴PO⊥DC, 又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O, 连接OA,则... ＂:{id:＂7b94def2f005fa423d9ef553de8a3a66＂,title:＂如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底...
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在... - ？
说婉复方：[答案] A 以D为原点,DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图:设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P(,0,),C(0,a,0), 则|MC|=, |MP|=. 由|MP|=|MC|得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥平面ABCD,F为PD的中点.(Ⅰ)求证:AF⊥平面PCD;(Ⅱ)... - ？
说婉复方：[答案] (Ⅰ)证明:如图右,因为△PAD是正三角形,F为PD中点,所以AF⊥PD, 因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD 又因为平面PAD⊥平面ABCD,且AD=面PAD∩面ABCD; 所以CD⊥平面PAD,而AF⊂平面PAD, 所以CD⊥AF,且CD∩PD=D...
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.(1)求证:OC⊥PD;(2)若PD与平面PAB所成的角... - ？
说婉复方：[答案] 证明:(1)连结OP, ∵PA=PB,O是AB的中点, ∴OP⊥AB. 又∵侧面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OP⊂平面PAB, ∴OP⊥平面ABCD, ∵OC⊂平面ABCD,OD⊂平面ABCD, ∴OP⊥OD,OP⊥OC, 又∵OD⊥PC,OP⊂平面OPC,PC...
古县19898018429： 如图,在底面为正方形的四棱锥P - ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,PA=AD,则异面直线PB与AC所成的角为() - ？
说婉复方：[选项] A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:DE⊥平面PBC;(Ⅱ)求二... - ？
说婉复方：[答案] (Ⅰ)证明:∵侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC, ∴PA⊥AB,PA⊥AD⊥AD⊥AB, 以点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设PA=AB=BC=2AD=2,则P(0,0,2),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),E(1,1,1), ∴ DE=(0,1,1), PB=(0,2,-2), ...
古县19898018429： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是菱形,侧面PBC是直角三角形,∠PCB=90°,点E是PC的中点,且平面PBC⊥平面ABCD.证明:(1)AP∥平面... - ？
说婉复方：[答案] 证明:(1)设AC∩BD=O,连结OE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O为BD中点.又E是PC的中点, ∴AP∥OE.又AP⊄平面BED,OE⊂平面BED. ∴AP∥平面BED. (2)平面PBC⊥平面ABCD,∠PCB=90°, ∴PC⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD, ...
古县19898018429： 如图,四棱锥P - ABCD中,侧面PAD为等边三角形,AB∥CD,AB=2CD,BC⊥CD,∠DBC=30°,点E,F分别为AD,PB中点.(Ⅰ)求证:CF∥平面PAD;(Ⅱ)求证... - ？
说婉复方：[答案] 证明:(Ⅰ)取PA 中点M,连结MF、MD. 由题意,MF∥CD且MF=CD, 所以MDCF 为平行四边形. 所以CF∥MD.…4分 又因为CF∉平面PAD,MD⊂平面PAD, 所以CF∥平面PAD.…6分 (Ⅱ)因为侧面PAD 为等边三角形,所以PE⊥AD.…8分 由...
