已知抛物线y^2=2px,过点M(a,o)且a>0,p>0任作一直线与抛物线相交于A,B两点，求三角形AOB的最小面积

过抛物线y^2=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为Q的直线交抛物线于A B两点 设三角形AOB的面积为S（O为原点）~

设:A（x1,y1）,B(x2,y2), y2<0
F(p/2,0)
AB的直线方程为
y=k(x-p/2) ,k=tanQ
x=y/k+p/2
三角形AOB的面积=SAOF+SBOF=(1/2)*(P/2)*|y1|+(1/2)*(p/2)*|y2|
=(p/4)*(y1-y2)
y^2=2px=2p(y/k+p/2)
y^2-2py/k-p^2=0
y1+y2=2p/k
y1y2=-p^2
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=4p^2/k^2+4p^2
=4p^2(1/k^2+1)
=4p^2(k^2+1)/k^2

即:S=4p^2(tan^2Q+1)/tan^2Q=4p^2/sin^2Q.
当k趋向无穷大时,即AB垂直x轴
(k^2+1)/k^2趋向1
y1-y2=2p
S△AOB最小=p^2/2 .

所以,p^2/2=4
p=根号8=2根号2

即方程是:y^2=(4根号2)x

这个可是个公式推导过程啊.一个字"难".
设,点A坐标为(t1^2/2p,t1),点B坐标为(t2^2/2p,t2),
抛物线y^2=2px,则焦点坐标为(P/2,0).
令,直线AB的方程为Y=K(X-P/2),
X=(Y+PK/2)/K=(2Y+PK)/(2K).
K=(t2-t1)/[(t2^2-t1^2)/2p]
=2p/(t2+t1).

Y^2=2P*(2Y+PK)/(2K),
ky^2-2py-kp^2=0,
t1+t2=2p/k,
t1*t2=-p^2,

AB=a=x1+x2+p=(t1^2+t2^2)/2p+p=[(t1+t2)^2-4t1*t2]/2p+p,
2p/k^2=a-3p,
k=√[2p/(a-3p)],
y=√[2p/(a-3p)]x-(p/2)*√[2p/(a-3p)],
√[2p/(a-3p)]x-y-(p/2)*√[2p/(a-3p)]=0.
令,三角形AOB的高为h,
利用点到直线间的距离公式,得
h=|-(p/2)*√[2p/(a-3p)]|/√[2p/(a-3p)+1]
=(p/2)*√[2p/(a-p)],
则三角形AOB的面积是=1/2*AB*h
=(ap/4)*√[2p/(a-p)].

做到此,我也太辛苦了,这可是个公式啊,要记牢!

设过点 M(a,0) 的直线方程为 x=a+ky，代入抛物线方程得：y²=2p(a+ky)，即 y²-2kpy-2ap=0；
二次方程对应的两根 y1、y2 即 A、B 点纵坐标，因位于 x 轴异侧，所以两根一正一负；
S△AOB=a*(|y1|+|y2|)/2=a|y1-y2|/2，因 a 确定，故当 |y1-y2| 最小时，△AOB的面积最小；
由根与系数的关系可知 y1+y2=2kp，y1*y2=-2ap；
|y1-y2|²=(y1+y2)²-4y1*y2=(2kp)²-4*(-2ap)=4k²p²+8ap，可见，当 k=0 时，|y1-y2| 最小；
min{S△AOB}＝[a*√(4k²p²+8ap)]/2≧[a√(8ap)]/2＝a√(2ap)；此时，AB⊥x 轴；

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坊子区18911552074： 设抛物线Y的平方=2pX过点M(2,2),求点M到抛物线准线的距离. - ？
长孙湛桑龙：[答案] 将点M代入抛物线方程:2^2=2p*2 p=1 抛物线准线:x=-1/2 点M到抛物线准线的距离=2+│-1/2│=5/2

坊子区18911552074： 已知抛物线y^2=2px,过点M(a,o)且a>0,p>0任作一直线与抛物线相交于A,B两点,求三角形AOB的最小面积 - ？
长孙湛桑龙： 设过点 M(a,0) 的直线方程为 x=a+ky,代入抛物线方程得:y²=2p(a+ky),即 y²-2kpy-2ap=0;二次方程对应的两根 y1、y2 即 A、B 点纵坐标,因位于 x 轴异侧,所以两根一正一负;S△AOB=a*(|y1|+|y2|)/2=a|y1-y2|/2,因 a 确定,故当 |y1-y2| 最...

坊子区18911552074： 抛物线切线方程已知抛物线方程为y^2=2px,抛物线上一点M(a,b),求过M点的抛物线的切线方程~ - ？
长孙湛桑龙：[答案] 可设切线方程为y-b=k(x-a)联立切线与抛物线.y=k(x-a)+b则[k(x-a)+b]^2-2px=0整理得k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0因为为相切,所以△=0则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0可求得k=p/b.代回y-b=k...

坊子区18911552074： 抛物线y^2=2px上的一点M与 - ？
长孙湛桑龙： 解:抛物线y^2=2px上,任意一点M到焦点F的距离|MF|等于M到准线x=-p/2的距离 |MP|=x+p/2 --->x+p/2=2p --->x=3p/2,y=+'-√(2px)=+'-√(2p*3p/2)=+'-√3p 所以点M的坐标是(3p/2,+'-p√3).

坊子区18911552074： 已知抛物线y^2=2px ,过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点,则向量OA*向量OB=? - ？
长孙湛桑龙： 因为直线过点M(p,0) 所以可设直线方程为x=my+p,(这样设可以避免讨论直线斜率不存在的情况) 与抛物线方程y^2=2px联立消去x得:y²-2pmy-2p²=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).则y1+y2=2pm,y1y2=-2p².向量OA*向量OB=x1x2+y1y2= (my1+p)( my2+p)=m²y1y2+pm(y1+y2)+ p²= m²(-2p²)+pm(2pm)+ p²= p².

坊子区18911552074： 抛物线y^2=2px上一点m到焦点距离是a(a>p/2),则点m到准线距离是( ) - ？
长孙湛桑龙： 答:y^2=2px,焦点F(p/2,0),准线方程x=-p/2,设点M坐标为(m,y) 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离 依据题意:|m-(-p/2)|=a |m+p/2|=a1)当p p/2|m+p/2|=a:m+p/2=-a 所以:m=-a-p/22)当p>0时:p/2>0,抛物线开口向右,焦点在x轴的正半轴;m>0 |m+p/2|=a:m+p/2=a 所以:m=a-p/2 综上所述:pp>0时:m点到准线的距离为a,横坐标为a-p/2

坊子区18911552074： 已知抛物线y∧2=2px,在x轴上是否存在一点M,使过M的任意直线l(x轴除外),与抛物线交于A,B两点,且总有∠AOB=90(O为坐标原点).若存在,求出点M的... - ？
长孙湛桑龙：[答案] 不妨设p>0.抛物线y²=2px.(p>0).数形结合可知,若点M(m,0)存在,则必有m>0.可设点A(2pa²,2pa),B(2pb²,2pb).(a≠b).由A,M,B三点共线,应有2pab+m=0.又∠AOB=Rt∠.∴Koa*Kob=-1.===>ab=-1.===>m=2p.∴...

坊子区18911552074： 已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线 - ？
长孙湛桑龙： (Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得 x2-2(a+p)x+a2=0 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),∴|AB|= = ∵00,∴0(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令其坐标为(x0,y0),由中点坐标公式有 ∴|QM|= = p 又∵△MNQ为等腰直角三角形,∴|QN|=|QM|= p ∴S△NAB= |AB|•|QN|= p•|AB|≤ p•2p= p2 即△NAB面积的最大值为 p2.

坊子区18911552074： 已知抛物线y^2=2px(p>0)上的一点M到顶点A(7/2,4)和焦点F的距离之和最小值等于5求抛物线方程 - ？
长孙湛桑龙： 解设抛物线焦点F(m,0),m>0 M到顶点A(7/2,4)和焦点F的距离之和最小值就是A到抛物线的焦点F(m,0)的距离 即/AF/=5 即√(7/2-m)²+(4-0)²=5 解得m=1/2或m=13/2 若m=1/2时,y^2=2x 若m=13/2时,y^2=26x

坊子区18911552074： 已知A,B是Y^2=2PX上两点,且OA⊥OB,AB连线过M(2,0),求抛物线方程 - ？
长孙湛桑龙： 设点A,B(x1,y1),(x2,y2) (I)当直线l有存在斜率时,设y=kx+b,k≠0且b≠0. 联立方程得: y=kx+b,y2=2px k2x2+(2kb-2p)x+b2=0 x1x2=b2/k2,y1y2=(kx1+b)(kx2+b)= 2pb/k 又由OA⊥OB x1x2+y1y2=0,b2/k2+2pb/k=0,b=0(舍去)或b=-2pk y=kx-2pk=k(x-2p),故直线过定点(2p,0) 又直线过点(2,0),则有2p=2 故抛物线方程是y^2=2x.