已知：抛物线y^2=2px,求证： S=

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已知：抛物线y^2=2px,（p>0)

y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy

根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.

对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.

S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）

=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）

=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）

由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C

得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}

=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]

分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C

这个结果想证明的话,令y=p*sht,从而

(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht ,dy=p*cht*dt

代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt

=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C

注意到：y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t

t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p,sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2

最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C 

双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2

扩展资料

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直肠直肠”是抛物线的平行线，并通过焦点。

抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

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