已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n^2an(n属于N*)
n≥2时,
Sn=n²an-n(n-1)
Sn-1=(n-1)²a(n-1)-(n-1)(n-2)
an=Sn-Sn-1=n²an-n(n-1)-(n-1)²a(n-1)+(n-1)(n-2)
an=n²an-(n-1)²a(n-1)-2n+2
(n+1)(n-1)an-(n-1)²a(n-1)-2(n-1)=0
(n+1)an-(n-1)a(n-1)=2
an/(n-1)-a(n-1)/(n+1)=2/[(n+1)(n-1)]=1/(n-1)-1/(n+1)
(an-1)/(n-1)=[a(n-1)-1]/(n+1)
(an-1)/[a(n-1)-1]=(n-1)/(n+1)
[a(n-1)-1]/[a(n-2)-1]=(n-2)/n
…………
(a2-1)/(a1-1)=1/3
连乘
(an-1)/(a1-1)=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n-1)×n×(n+1)]=(1×2)/[n(n+1)]
an-1=2(1/2-1)/[n(n+1)]=-1/[n(n+1)]
an=1-1/[n(n+1)]=(n²+n-1)/[n(n+1)]
n=1时,a1=(1+1-1)/(1×2)=1/2,同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(n²+n-1)/[n(n+1)]
解:
(1)
a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2
a2²-a2-2=0
(a2+1)(a2-2)=0
a2=-1(舍去)或a2=2
a(n+1)²=S(n+1)+Sn
a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1)
a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1)
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0
数列是正项数列,a(n+2)+a(n+1)恒>0,因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0
a(n+2)-a(n+1)=1,为定值,又a2-a1=2-1=1,数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时,a1=1,同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=n
(2)
bn=a(2n-1)·2^(an)=(2n-1)·2ⁿ
Tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ
2Tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹
Tn-2Tn=-Tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ⁺¹
=2·(2+2²+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=(3-2n)·2ⁿ⁺¹+6
Tn=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6
1.
S1=a1=1
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2=4a2
3a2=1
a2=1/3 S2=1+1/3=4/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=4/3 +a3=3²×a3=9a3
8a3=4/3
a3=1/6 S3=1+1/3+1/6=3/2
S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+a4=3/2 +a4=4²×a4=16a4
15a4=3/2
a4=1/10 S4=1+1/3+1/6+1/10=8/5
S1=1/1=2/2 S2=4/3 S3=3/2=6/4 S4=8/5
猜想:Sn=2n/(n+1)
2.
证:
n=1时,S1=2/2
假设当n=k(k∈N+)时,Sn=2k/(k+1),则当n=k+1时,
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k/(k+1) +a(k+1)=(k+1)²a(k+1)
[(k+1)²-1]a(k+1)=2k/(k+1)
(k+2)ka(k+1)=2k/(k+1)
a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)]
S(k+1)=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]
=[2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]
=(2k²+4k+2)/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)/(k+2)
=2(k+1)/[(k+1)+1],表达式同样成立。
k为任意正整数,因此对于任意正整数n
Sn=2n/(n+1)
n≥2时,Sn=2n/(n+1) S(n-1)=2(n-1)/(n+1-1)=2(n-1)/n
an=Sn-S(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n
=2[n/(n+1) -(n-1)/n]
=2[n²-(n-1)(n+1)]/[n(n+1)]
=2(n²-n²+1)/[n(n+1)]
=2/[n(n+1)]
=2/n -2/(n+1)
n=1时,a1=2/1-2/2=2-1=1,同样满足通项公式。
综上,得数列{an}的通项公式为an=2/n -2/(n+1)。
已知数列{an}的前n项和为Sn=1\/2n2+1\/2n(n?n*)(1)求数列{an}的通项公...
an=Sn-S(n-1)=[(1\/2)n²+(1\/2)n]-[(1\/2)(n-1)²+(1\/2)(n-1)]=n (n≥2),当n=1时,a1=1也满足,所以an=n。Sn=(1\/2)[1\/n-1\/(n+1)],所以T=(1\/2)[1\/1-1\/202]=201\/404。
已知数列{an}的前n项和为Sn=1\/2n2+1\/2n(n?n*)(1)求数列{an}的通项公...
an=Sn-Sn-1=[1\/2n2+1\/2n]-[1\/2(n-1)^2+1\/2(n-1)]=n an=n Sn=1\/2n2+1\/2n 1\/Sn=2\/n(n+1)=2[1\/n-1\/n+1](2)记T=1\/s1+1\/s2+1\/s3+…+1\/s99=2[1-1\/2+1\/2-\/13+……+1\/99-1\/100]=2*(1-1\/100)=99\/50 ...
已知数列{an}的前n项和为Sn,a(1)=1\/4且Sn=S(n-1)+a(n-1)+1\/2,数列{...
所以bn=-201\/4*(1\/3)^(n-1) +n\/2 bn-an=- 201\/4*(1\/3)^(n-1)+1\/4 ① b(n-1)-a(n-1)=- 201\/4*(1\/3)^(n-2+1\/4 ② ①\/② 为常数,所以数列{b(n)-a(n)}为等比数列 ⑶bn=-201\/4*(1\/3)^(n-1) +n\/2 所以设bn的前n项和为Mn Mn=b1+b2+b3+...+bn...
已知数列{an}的前n项和Sn=3^n-2,求数列{an}的通项公式.为什么要分情 ...
因为根据S(n) - S(n-1)求a(n)的公式的时候,要保证S(n-1)有意义,即要保证n-1>=1,即n>=2,所以这一步求到的是n>=2的时候的公式。所以 a1 要另外求,其实很简单,只要将 n=1带入Sn求得a(1)。算到这里要注意,数学讲究简洁美,这里要把n=1带入前面求得的an公式中看是否满足,...
已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)\/2 (n∈N*) (1)求数列{an}的通项公...
a(n) = S(n) - S(n-1)a(n) = n(n+1)\/2 - (n-1)n\/2 = n (2)(2an-1)(2^(bn)-1) = 1 (2n - 1)(2^(bn)-1) = 1 2^(bn)-1 = 1\/(2n - 1)2^(bn) = 2n\/(2n - 1)b(n) = log(2)[2n\/(2n - 1)]T(n) = b(1) + b(2) +...+ b(n)T...
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(n^2+n-6)\/2(n属于N*) (1)求an,(2...
1,a1=s1=-2,当n>1的时候,an=Sn-S(n-1)=(n^2+n-6)\/2-[(n-1)^2+(n-1)-6)\/2=n.所以:-2(n=1)an={ n(n>1)2,你是求Tn公式?bn应该为1\/[an*a(n+1)+n?b1=1\/(a1*a2+1)=-1\/3,当n>1时.bn=1\/[n(n+1)+n]=1\/2*[1\/n-1\/(n+2),令n=2k(k属于N,...
已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Aan^2+Ban+C,其中A,B,C是...
na = Aa^2 + Ba + C对任意正整数n成立,只能,a=0,与a(n)=aq^(n-1)是等比数列矛盾。因此,q不为1。(3.2)q不为1时,只能A = 0.此时,0 = Aaq^(n-1)(q^2 - 1) + (B-1)q-B = (B-1)q - B.若B=1,则0 = -B, 0 = B与B=1矛盾。因此,B不为1。q = B\/(...
已知等差数列{an}的前n项和为Sn.a3=7.S8=80.求数列an的通项公式
解:a3=7 a1+2d=7 ① S8=8a1+28d=80 a1+3.5d=10 ② 联立①、②,解得a1=3,d=2 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1 数列{an}的通项公式为an=2n+1
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)\/2]的平方,求证数列{an}...
解答:(1)sn=[(an+1)\/2]的平方 ∴ S1=[(a1+1)\/2]²∴ 4a1=(a1+1)²∴ (a1-1)²=0 ∴ a1=1 (2)sn=[(an+1)\/2]²∴ 4Sn=[a(n) +1]²∴ 4S(n-1)=[a(n-1)+1]² n≥2 两个式子相减 4an=[a(n)+1]²-[a(n-1)...
已知等差数列{An}的前n项和为Sn,且S4=16,A4=7,求数列{An}的通项公式
解:(1)由题意得 因为{a n }是等差数列 所以当n+m=k+l时则a n +a m =a k +a l 所以S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =2(a 1 +a 4 )=16 由∵a 4 =7 ∴a 1 =1 ∴d=2 所以数列{a n }的通项公式是a n =2n-1....
军官斯利: (1)∵a1=4,(n+1)an+1=(n+3)an ∴an/a(n-1)=(n+2)/n a(n-1)/a(n-2)=(n+1)/(n-1) ..... a2/a1=4/2 ∴an/a1=(n+2)/n*(1/3*2)=(n+2)(n+1)/6 ∴an=(2/3)(n+2)(n+1) ∴bn=an/(n+1)=(2/3)(n+2) ∴b(n-1)=(2/3)(n+1) ∴bn-b(n-1)=2/3 ∴{bn}是公比为2/3的等比数列 ...
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列an 的前n项和为Sn...数学题! - ?
军官斯利: s1=a1=2 1*a(2)=s(1)+1*2=2+2=4 a(2)=4 s(2)=a(1)+a(2)=6 2*a(3)=s(2)+2*3=6+6=12 a(3)=6猜想a(n)=2n因为a(n+1)=2(n+1) s(n)=2(1+2+3+...+n)=n(n+1) na(n+1)-sn-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)-n(n+1)=0 即 na(n+1)=sn+n(n+1) 又a(1)=2*1=2 猜想得证
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知等差数列{an}的前n项和为Sn... - ?
军官斯利: a(m)=a(m-1)+d a(m)=a(m+1)-d 第一个条件等价于 2a(m)-a(m)^2=0推出 a(m)=0or2 a(1)=a(m)-(m-1)d a(2m-1)=a(m)+(m-1)d 以此类推,s(2m-1)=(2m-1)*a(m)=38 故,显然a(m)不为0,a(m)=2 故2m-1=19,m=10
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列{an}的前n项和为sn - ?
军官斯利: (1) an=(sn+2)/2a1=(s1+2)/2s1=a1得 a1=2a2=(s2+2)/2s2=a1+a2得 a2=4 (2) 2an=sn+22a(n-1)=s(n-1)+22an-2a(n-1)=sn-s(n-1)=anan=2a(n-1)an=a1q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^nP(bn,b(n-1))在直线x-y+2=0上,则bn-b(n-1)=-2bn=b1+(n-...
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列an的前n项和为sn,根据sn求数列的通项公式an,sn=2n^2 - 3n - 2 - ?
军官斯利: 解决这类问题主要利用前n项和与项的关系 1) 当n=1时,a1=-3, 2) 当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2-2(n-1)2+3(n-1)+2=4n-5 所以所求通项为:an= -3,n=1 an=4n-5,n>1
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列an的前n项和为Sn - ?
军官斯利:[答案] (1)由sn+s(n-1)=kan^2+2 (1)得s(n+1)+sn=ka(n+1)^2+2 (2)(2)-(1) 得a(n+1)+an=k[a(n+1)+an][a(n+1)-an]因为an>0,k>0 故a(n+1)-an=1/k{an}是等差数列,则an=1+(n-1)/k(2) 1/[an*a(n+1)]=k^2/[(n+k-1)(n+k)]=k^...
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3+2an,求an - ?
军官斯利: 解:由题意可得:Sn=3+2an 所以Sn-1=3+2an-1 所以Sn-Sn-1=an=2an-2an-1 所以an=2an-1 所以an/an-1=2 又S1=a1=3+2a1,解得a1=-3 所以数列{an}是以a1=-3为首项,公比为2的等比数列 所以an=-3*2^(n-1) (n≥1)
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn - 1+2n+1(n≥2 - ?
军官斯利: 1.x=n y=Sn代入y=x² Sn=n² n=1时,a1=S1=1²=1 n≥2时,Sn=n² S(n-1)=(n-1)² an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1 n=1时,a1=2-1=1,同样满足通项公式 数列{an}的通项公式为an=2n-12.b1=a1+3=1+3=4 n≥2时,bn=6b(n-1)+2n+1 bn+(2/5)n ...
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an - 2n(n∈N+),(1)求证数列{an+2}为等比数列;(2)若数列{bn} - ?
军官斯利: (1)令n=1,由Sn=2an-2n可得a1=2. 再由Sn=2an-2n(n∈N+),可得 sn+1=2an+1-2(n+1), ∴sn+1-Sn =2an+1-2an-2,即 an+1=2an +2,故有 an+1+2=2(an +2 ), 故数列{an+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知,an +2=4*2n-1...
黔东南苗族侗族自治州15127425572: 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn - 1=0 - ?
军官斯利: 解答:(1) an+2Sn*S(n-1)=0 即Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0 同时处以Sn*S(n-1) 即 1/S(n-1)-1/S(n)+2=0 即 1/S(n)-1/S(n-1)=2 即{1/Sn}是等差数列 (2) {1/Sn}的首项是2,公差是2 即1/Sn=2+2(n-1)=2n 即Sn=1/(2n) ① n=1时,a1=1/2 ② n≥2时,an=-2Sn*S(n-1)=-2*[1/(2n)]*[1/(2n-2)]=-1/[2n(n-1)]