已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n^2an(n属于N*）

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1/2，且Sn=n^2An-n(n-1),求an~

n≥2时，
Sn=n²an-n(n-1)
Sn-1=(n-1)²a(n-1)-(n-1)(n-2)
an=Sn-Sn-1=n²an-n(n-1)-(n-1)²a(n-1)+(n-1)(n-2)
an=n²an-(n-1)²a(n-1)-2n+2
(n+1)(n-1)an-(n-1)²a(n-1)-2(n-1)=0
(n+1)an-(n-1)a(n-1)=2
an/(n-1)-a(n-1)/(n+1)=2/[(n+1)(n-1)]=1/(n-1)-1/(n+1)
(an-1)/(n-1)=[a(n-1)-1]/(n+1)
(an-1)/[a(n-1)-1]=(n-1)/(n+1)
[a(n-1)-1]/[a(n-2)-1]=(n-2)/n
…………
(a2-1)/(a1-1)=1/3
连乘
(an-1)/(a1-1)=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n-1)×n×(n+1)]=(1×2)/[n(n+1)]
an-1=2(1/2-1)/[n(n+1)]=-1/[n(n+1)]
an=1-1/[n(n+1)]=(n²+n-1)/[n(n+1)]
n=1时，a1=(1+1-1)/(1×2)=1/2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(n²+n-1)/[n(n+1)]

解：
(1)
a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2
a2²-a2-2=0
(a2+1)(a2-2)=0
a2=-1(舍去)或a2=2
a(n+1)²=S(n+1)+Sn
a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1)
a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1)
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0
数列是正项数列，a(n+2)+a(n+1)恒>0，因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0
a(n+2)-a(n+1)=1，为定值，又a2-a1=2-1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时，a1=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=n
(2)
bn=a(2n-1)·2^(an)=(2n-1)·2ⁿ
Tn=1·2+3·2²+5·2³+...+(2n-1)·2ⁿ
2Tn=1·2²+3·2³+...+(2n-3)·2ⁿ+(2n-1)·2ⁿ⁺¹
Tn-2Tn=-Tn=2+2·2²+2·2³+...+2·2ⁿ-(2n-1)·2ⁿ⁺¹
=2·(2+2²+...+2ⁿ)-(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=2·2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ⁺¹ -2
=(3-2n)·2ⁿ⁺¹+6
Tn=(2n-3)·2ⁿ⁺¹+6

解:(1)S1=a1=1; S2=a1+a2=2^2×a2=4a2; a2=(1/3)a1=1/3;S2=a1+a2=4/3 S3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3; a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6; S3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2; S4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4; a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10; S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;综上所述,S1=1=2/2,S2=4/3;S3=3/2=6/4;S4=8/5;故猜想Sn=2n/(n+1)(n∈N*)(2)证明如下:S(n)-S(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈N*)等式两边约去(n-1)得:(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);采用叠乘法求通项公式:[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.......×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×......×(2/4)×(1/3)=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]=2/[n(n+1)](n≥2且n∈N*)(约去交错项)验证a1=1,合乎通项公式故有an=2/[n(n+1)](n∈N*)Sn=2{[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/n)-1/(n+1)]}=2[1-1/(n+1)](约去交错项)=2n/(n+1)(n∈N*)由此得证

1.
S1=a1=1
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2=4a2
3a2=1
a2=1/3 S2=1+1/3=4/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=4/3 +a3=3²×a3=9a3
8a3=4/3
a3=1/6 S3=1+1/3+1/6=3/2
S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+a4=3/2 +a4=4²×a4=16a4
15a4=3/2
a4=1/10 S4=1+1/3+1/6+1/10=8/5

S1=1/1=2/2 S2=4/3 S3=3/2=6/4 S4=8/5
猜想：Sn=2n/(n+1)

2.
证：
n=1时，S1=2/2
假设当n=k(k∈N+)时，Sn=2k/(k+1)，则当n=k+1时，
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k/(k+1) +a(k+1)=(k+1)²a(k+1)
[(k+1)²-1]a(k+1)=2k/(k+1)
(k+2)ka(k+1)=2k/(k+1)
a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)]
S(k+1)=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]
=[2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]
=(2k²+4k+2)/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)/(k+2)
=2(k+1)/[(k+1)+1]，表达式同样成立。
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
Sn=2n/(n+1)

n≥2时，Sn=2n/(n+1) S(n-1)=2(n-1)/(n+1-1)=2(n-1)/n

an=Sn-S(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n
=2[n/(n+1) -(n-1)/n]
=2[n²-(n-1)(n+1)]/[n(n+1)]
=2(n²-n²+1)/[n(n+1)]
=2/[n(n+1)]
=2/n -2/(n+1)
n=1时，a1=2/1-2/2=2-1=1，同样满足通项公式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2/n -2/(n+1)。

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黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列前an的前n项和为Sn - ？
军官斯利： (1)∵a1=4,(n+1)an+1=(n+3)an ∴an/a(n-1)=(n+2)/n a(n-1)/a(n-2)=(n+1)/(n-1) ..... a2/a1=4/2 ∴an/a1=(n+2)/n*(1/3*2)=(n+2)(n+1)/6 ∴an=(2/3)(n+2)(n+1) ∴bn=an/(n+1)=(2/3)(n+2) ∴b(n-1)=(2/3)(n+1) ∴bn-b(n-1)=2/3 ∴{bn}是公比为2/3的等比数列 ...

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列an 的前n项和为Sn...数学题! - ？
军官斯利： s1=a1=2 1*a(2)=s(1)+1*2=2+2=4 a(2)=4 s(2)=a(1)+a(2)=6 2*a(3)=s(2)+2*3=6+6=12 a(3)=6猜想a(n)=2n因为a(n+1)=2(n+1) s(n)=2(1+2+3+...+n)=n(n+1) na(n+1)-sn-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)-n(n+1)=0 即 na(n+1)=sn+n(n+1) 又a(1)=2*1=2 猜想得证

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知等差数列{an}的前n项和为Sn... - ？
军官斯利： a(m)=a(m-1)+d a(m)=a(m+1)-d 第一个条件等价于 2a(m)-a(m)^2=0推出 a(m)=0or2 a(1)=a(m)-(m-1)d a(2m-1)=a(m)+(m-1)d 以此类推,s(2m-1)=(2m-1)*a(m)=38 故,显然a(m)不为0,a(m)=2 故2m-1=19,m=10

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列{an}的前n项和为sn - ？
军官斯利： (1) an=(sn+2)/2a1=(s1+2)/2s1=a1得 a1=2a2=(s2+2)/2s2=a1+a2得 a2=4 (2) 2an=sn+22a(n-1)=s(n-1)+22an-2a(n-1)=sn-s(n-1)=anan=2a(n-1)an=a1q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^nP(bn,b(n-1))在直线x-y+2=0上,则bn-b(n-1)=-2bn=b1+(n-...

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列an的前n项和为sn,根据sn求数列的通项公式an,sn=2n^2 - 3n - 2 - ？
军官斯利： 解决这类问题主要利用前n项和与项的关系 1) 当n=1时,a1=-3, 2) 当n>1时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2-2(n-1)2+3(n-1)+2=4n-5 所以所求通项为:an= -3,n=1 an=4n-5,n>1

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列an的前n项和为Sn - ？
军官斯利：[答案] (1)由sn+s(n-1)=kan^2+2 (1)得s(n+1)+sn=ka(n+1)^2+2 (2)(2)-(1) 得a(n+1)+an=k[a(n+1)+an][a(n+1)-an]因为an>0,k>0 故a(n+1)-an=1/k{an}是等差数列,则an=1+(n-1)/k(2) 1/[an*a(n+1)]=k^2/[(n+k-1)(n+k)]=k^...

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3+2an,求an - ？
军官斯利： 解:由题意可得:Sn=3+2an 所以Sn-1=3+2an-1 所以Sn-Sn-1=an=2an-2an-1 所以an=2an-1 所以an/an-1=2 又S1=a1=3+2a1,解得a1=-3 所以数列{an}是以a1=-3为首项,公比为2的等比数列 所以an=-3*2^(n-1) (n≥1)

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn - 1+2n+1(n≥2 - ？
军官斯利： 1.x=n y=Sn代入y=x² Sn=n² n=1时,a1=S1=1²=1 n≥2时,Sn=n² S(n-1)=(n-1)² an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1 n=1时,a1=2-1=1,同样满足通项公式 数列{an}的通项公式为an=2n-12.b1=a1+3=1+3=4 n≥2时,bn=6b(n-1)+2n+1 bn+(2/5)n ...

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an - 2n(n∈N+),(1)求证数列{an+2}为等比数列;(2)若数列{bn} - ？
军官斯利： (1)令n=1,由Sn=2an-2n可得a1=2. 再由Sn=2an-2n(n∈N+),可得 sn+1=2an+1-2(n+1), ∴sn+1-Sn =2an+1-2an-2,即 an+1=2an +2,故有 an+1+2=2(an +2 ), 故数列{an+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知,an +2=4*2n-1...

黔东南苗族侗族自治州15127425572： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn - 1=0 - ？
军官斯利： 解答:(1) an+2Sn*S(n-1)=0 即Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0 同时处以Sn*S(n-1) 即 1/S(n-1)-1/S(n)+2=0 即 1/S(n)-1/S(n-1)=2 即{1/Sn}是等差数列 (2) {1/Sn}的首项是2,公差是2 即1/Sn=2+2(n-1)=2n 即Sn=1/(2n) ① n=1时,a1=1/2 ② n≥2时,an=-2Sn*S(n-1)=-2*[1/(2n)]*[1/(2n-2)]=-1/[2n(n-1)]