已知如图所示，PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且直线a?α，a⊥PO．求证：a⊥

三垂线定理的用法定义就是说用三垂线定理时，怎么写答~

定义
在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
证明

用线面垂直证明
已知：如图,PO在α上的投影OA垂直于a
求证：OP⊥a
证明：过P做PA垂直于α
∵PA⊥α
∴PA⊥a
又a⊥OA OA∩PA=A
∴a⊥平面POA
∴a⊥OP
用向量证明三垂线定理
1.已知：PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b属于α,且b垂直于OA,求证：b垂直于PA
证明：∵PO垂直于α,
∴PO垂直于b,
又∵OA垂直b,向量PA=（向量PO+向量OA）
∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O,
∴PA⊥b.
2.已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,∠AOB=∠BOC=∠COA=60度,求交线OA与平面OBC所成的角.
∵向量OA=（向量OB+向量AB）,O是内心,又∵AB=BC=CA,∴OA与平面OBC所成的角是30°.

(1)三分之二倍五
(2)反正弦[(2倍根号5)/5]

关于立体几何的延申

立体几何
数学上，立体几何(solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称— 因为实践上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱,圆锥, 圆台, 球, 棱柱，棱锥等等。
毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。
尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。
[编辑本段]立体几何基本课题
包括:
- 面和线的重合
- 两面角和立体角
- 方块, 长方体, 平行六面体
- 四面体和其他棱锥
- 棱柱
- 八面体, 十二面体, 二十面体
- 圆锥，圆柱
- 球
- 其他二次曲面: 回转椭球, 椭球, 抛物面 ，双曲面
公理
立体几何中有4个公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．
立方图形
立体几何公式
名称 符号 面积S 体积V
正方体 a——边长 S＝6a＾2 V＝a＾3
长方体 a——长 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
b——宽
c——高
棱柱 S——底面积 V＝Sh
h——高
棱锥 S——底面积 V＝Sh／3
h——高
棱台 S1和S2——上、下底面积 V＝h〔S1＋S2＋√（S1＾2）／2〕／3
h——高
拟柱体 S1——上底面积 V＝h（S1＋S2＋4S0）／6
S2——下底面积
S0——中截面积
h——高
圆柱 r——底半径 C＝2πr V＝S底h=∏rh
h——高
C——底面周长
S底——底面积 S底＝πR＾2
S侧——侧面积 S侧＝Ch
S表——表面积 S表＝Ch＋2S底
S底＝πr＾2
空心圆柱 R——外圆半径
r——内圆半径
h——高 V＝πh(R＾2-r＾2)
直圆锥 r——底半径
h——高 V＝πr＾2h/3
圆台 r——上底半径
R——下底半径
h——高 V＝πh(R＾2＋Rr＋r＾2)/3
球 r——半径
d——直径 V＝4/3πr＾3＝πd＾2/6
球缺 h——球缺高
r——球半径
a——球缺底半径 a＾2＝h(2r-h) V＝πh(3a＾2+h＾2)/6 ＝πh2(3r-h)/3
球台 r1和r2——球台上、下底半径
h——高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体 R——环体半径
D——环体直径
r——环体截面半径
d——环体截面直径 V＝2π＾2Rr＾2 ＝π＾2Dd＾2/4
桶状体 D——桶腹直径
d——桶底直径
h——桶高 V＝πh(2D＾2＋d2＾)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D＾2＋Dd＋3d＾2/4)/15 (母线是抛物线形)
注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。
三垂线定理
三垂线定理


在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射
影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.
至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.
从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,
二射,三证.即
第一,找平面(基准面)及平面垂线
第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与
一条斜线.
第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.
注：
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系
用向量证明三垂线定理
已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）
所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b） 加 （向量OA 乘以 b ）=O，
所以PA垂直b。
2）已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b， 向量OA=（向量PA-向量PO）
所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）减 （向量PO 乘以 b ）=0，
所以OA垂直b。
2。已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。
二面角
目录[隐藏]
定义 二面角的平面角 二面角的大小范围 二面角的求法 求二面角大小的基本步骤 二面角与平面角的关系
[编辑本段] 定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）
[编辑本段] 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
[编辑本段] 二面角的大小范围
0≤θ≤π
相交时 0＜θ＜π，共面时 θ＝π或0
[编辑本段] 二面角的求法
有六种：
1.定义法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂线定理
5.向量法
6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
二面角的通常求法：
（1）由定义作出二面角的平面角；
（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4）空间坐标求二面角的大小。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
[编辑本段] 求二面角大小的基本步骤
（1）作出二面角的平面角：
A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；
B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；
C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；
D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。
（2）证明该角为平面角；
（3）归纳到三角形求角。
另外，也可以利用空间向量求出。
[编辑本段] 二面角与平面角的关系
二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。

因为PA、PO分别是平面α的垂线、斜线， 所以PA⊥α，PA⊥a． 又因为a⊥PO，且PO∩PA=P， 所以a⊥面PAO，又AO?面PAO， 所以a⊥AO．

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商河县17072843381： 谁能描述出三垂线定理?？
利胡人参： 三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系. 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 证明: 用线面垂直证明已知:如图,PO...

商河县17072843381： 已知ABCD是边长为1的正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD外一点,E是PC的中点.求证 - ？
利胡人参： (1)连接AC,EO 因为E是PC中点,O是AC中点,所以EO∥AP 于是AP∥平面BDE (2)连接PO,EO.PA=PB=PC=PD,则PO⊥AC,PO⊥BD,得PO⊥平面ABCD EO∥PA,所以∠BEO等于一面直线PA,BE的夹角 BO⊥AC,BO⊥PO,所以BO⊥平面PAC,所以BO⊥EO 于是∠EOB=90°,tan∠BEO=OB/OE OE=(1/2)PA=1,OB=(1/2)√2【正方形对角线的一半】 于是tan∠BEO=(1/2)√2

商河县17072843381： 如图已知平面α∥平面β,P是平面α、平面β外一点,直线PAB、PCD分别于平面α、β相交于A、B和C、D2已知PA=3,AB=5,PD=12,BD=16,求PC与AC的长 - ？
利胡人参：[答案] 咱们从侧面看图,把两个平面看成两条直线那种视角,正对着平面PAC.那么两个平行平面就成为了两个平行直线了,就是直线α和直线β.根据平行显然就得出相似△PAC自然和△PBD相似(我没看到你的图,但是不管图怎么样,例如p...

商河县17072843381： 已知:如图:po丄平面α ,PA.PB是平面α 的三条斜线,若PA=PB=PC ,则(1) - --- - (2)-----？
利胡人参： OA=OB=OC;

商河县17072843381： 如图,已知 α ∥β ,点P是平面α ,β外的一点,直线PA,PC分别与α ,β相交于点A,B和C,D.问题一:求证AC ∥BD.问题二:已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD的长.？
利胡人参： 第一题采用面面平行的性质定理做 第二题,在△PBD中,有:PA/AB=PC/CD 因为PA=4CM ,AB=5CM ,PC=3CM,所以: CD=PC*AB/PA=3*5/4=15/4 则PD=PC+CD=3+15/4=27/4

商河县17072843381： (2014•文登市二模)如图,已知PA⊥平面ABC,等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,AB⊥BC,AD⊥PB于D,AE⊥PC于E.(Ⅰ)求证:PC⊥DE;(Ⅱ)若直线AB与... - ？
利胡人参：[答案] (Ⅰ)证明:因为PA⊥平面ABC, 所以PA⊥BC, 又AB⊥BC,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB, 因为AD⊂平面PAB, 所以BC⊥AD.…(2分) 又AD⊥PB,BC∩PB=B, 所以AD⊥平面PBC,得PC⊥AD,…(4分) 又PC⊥AE,AD∩AE=A, 所以PC⊥平面...

商河县17072843381： 如图所示,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN平行平面PAD - ？
利胡人参： 证明:取O为DC中点,连接NO,MO,因为M,N分别为AB,PC中点,可知NO∥PD,MO∥AD,又MO,NO交于O点,所以面MON∥面PAD,又因为MN属于面MON,所以MN∥面PAD

商河县17072843381： 如图,已知PA垂直平面ABC,等腰直角三角形ABC中,AB=BC,AB垂直BC,AE垂直PB于E,AF垂直PC于F(1)证明AE垂直平面PBC(2)证明角AFE为二面角A—... - ？
利胡人参：[答案] 因为:PA垂直平面ABC,所以:PA垂直BC,且AB垂直BC,所以BC垂直平面PAB,于是BC垂直AE;且AE垂直PB,可证明AE垂直平面PBC 因为AE垂直平面PBC,所以AE垂直PC,且AF垂直PC,所以PC垂直平面AFE,于是角AFE为二面角A—...

商河县17072843381： 已知;如图所示,PA,PC分别是三角形ABC外角角MAC与角NCA的平分线,它们交与点P, - ？
利胡人参： 证明:作PH垂直AC于H. 又PD垂直BM于D,PA平分角MAC,则PD=PH; 同理可证:PF=PN. 所以,PD=PF.(等量代换)

商河县17072843381： 如图所示,已知点P是矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、BC的中点 - ？
利胡人参： 解:(1)证明:因为BC∥AD,BC⊄平面PAD. AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l(6分) (2):平行.如图,取PD的中点E,连接AE、NE,∵N是PC的中点,E是PD的中点 ∴NE∥CD,且NE=12CD ∵CD∥AB,M是AB的中点 ∴NE∥AM且NE=AM. 所以四边形ABCD为平行四边形所以MN∥AE.又MN⊄平面PAD,AE⊂平面PAD,所以MN∥平面PAD.(12分)