如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是BC延长线上一点,
解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QCP=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+C=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2;
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF,
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=½EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=½AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
分析: (1))由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),求出x的值即可;
(2)作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四边形PEQF是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=½AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
点评: 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键.
(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠A=60°,根据题意得:AP=2tcm,∵PE⊥AB,∴AE=AP?cos60°=t(cm),∴BE=AB-AE=6-t(cm);故答案为:2tcm,tcm,(6-t)cm;(2)∵∠C=60°,∠BQD=30°,∴△PCQ是直角三角形,∴PC=12QC,根据题意得:BQ=2tcm,则CQ=BC+BQ=6+2t(cm),PC=AC-AP=6-2t(cm),∴6-2t=12(6+2t),解得:t=1,∴AP=2;(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°,∵点P、Q速度相同,∴AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,在△APE和△BQF中,∵∠AEP=∠BFQ=90°,∴∠APE=∠BQF,∴在△APE和△BQF中,∠AEP=∠BFQ ∠A=∠FBQ AP=BQ ,∴△APE≌△BQF(AAS),∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,∴四边形PEQF是平行四边形,∴DE=12EF,∵EF=BE+BF=BE+AE=AB,∴DE=12AB,又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3,∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
线段DE不会发生变化解:过点P作PF平行BC交AB于F
所以∠PFD=∠DBQ
∠FPD=∠Q
∠AFP=∠ABC
∠APF=∠C
因为三角形ABC是等边三角形
所以∠A=∠ABC=∠C=60°
所以∠A=∠AFP=∠APF=60°
所以三角形APF是等边三角形
因为PE垂直AB于E
所以PE是等边三角形APF的垂直平分线
所以AE=EF
所以AP=PF
因为AP=BQ
因为∠DPF=∠Q(已证)
∠PFD=∠DBQ(已证)
所以三角形DPF和三角形DQB全等(ASA)
所以DB=DF
因为DE=DF+EF
AB=DE+AE+DB
所以DB=1/2AB
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解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QCP=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+C=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2;
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF,
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=½EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=½AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴在△APE和△BQF中,∠A=∠FBQAP=BQ∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=12EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=12AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
如图,△ABC是等边三角形,边长为
如图,△ABC是等边三角形,边长为a,中线AD,BE交于O。AD,BE是△ABC中线 BD=1\/2BC=1\/2a ABC是等边三角形 ∠ADB=90°,∠OBD=30° OB=2OD OB²-OD²=BD²3OD²=a²\/4
如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发...
Q分别在线段AB,BC上运动时,∠CMQ=60°不变.∵等边△ABC中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°,又由条件得AP=BQ,∴△ABQ≌△CAP(SAS),∴∠BAQ=∠ACP(全等三角形的对应角相等),∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°---(6分)②当点P,Q分别在射线AB,BC上运动时,∠CMQ=120...
如图,已知△ABC是边长为5的等边三角形,△CDA是由△ABC以直线AC为对称...
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac 等式两边同乘以2 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0 (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 所以 a=b,b=c,c=a 三角形ABC是等边三角形 ...
如图,已知△ABC是边长为5的等边三角形
1、∵△ABC≌△ADC,△ABC是等边三角形 ∴AB=AD=AC,∠BAC=∠DAC=∠ACD=60° 即AB=AC,∠ABD=∠ACQ ∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60° ∠PAC+∠CAQ=∠PAQ=60° ∴∠BAP=∠CAQ ∴△ABP≌△ACQ(ASA)∴AP=AQ,∴△APQ是等腰三角形 ∵∠PAQ=60° ∴∠APQ=∠AQP=(180°-60°)\/2=60° ∴...
已知:如图,三角形ABC是边长为3厘米的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两 ...
∴AP=t,BQ=2t ∴BP=6-t ∵t=2 ∴BP=6-2=4,BQ=2×2=4 ∴BP=BQ ∴△BPQ为等腰三角形 又∵在等边三角形ABC中,∠ABC=60° ∴△BPQ为等边三角形(一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)(2)过Q点作QM⊥AB于M(我发的图上作了这个垂直,可以参照我的图看以下的解题过程)∵∠...
20、如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点...
(1)t=2时,BP=BQ=4,∴BP\/BA=BQ\/BC ∴PQ‖AC ∴∠BPQ=∠BAC=60° ∵∠ABC=60° ∴△BPQ是等边三角形 (2)过A作AD⊥BC,过P作PE⊥BC ∴AD‖PE ∴PE\/AD=BP\/BA 即PE\/3*根号3=(6-t)\/6 ∴PE=(6*根号3-根号3*t)\/2 ∴S△BPQ=(6*根号3*t-根号3*t^2)\/2 (3)∵...
已知三角形abc是边长为a的正三角形,D、E分别在边AB,AC上,且DE平分三角...
解答:我能帮你解答问题:为了更加形象,我做一张图片给你看一下。如图S⊿ADE=﹙1\/2﹚XYsinA=√3\/4*XY;(注sinA=sin60°=√3\/2)又因为外面整个△ABC的面积:S=1\/2Xa^2XsinA=√3a^2\/4;因此有根据题目:DE平分三角形ABC的面积,那么:XY=a^2\/2;(为常数)同理:X²Y²...
如图所示,△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形,两个动点P,Q同时从A...
解答:解:(1)设点P、Q从出发到相遇所用时间是t,根据题意得:t+2t=AC+AB+BC=12,解得:t=4;故答案为:4;(2)如图1:若△APQ是等边三角形,此时点P在BC上,点Q在CD上,且△ADQ≌△ACP,则CP=DQ,即t-4=4-(2t-8),解得:t=163;(3)如图2所示:易得:AQ=2AP 又∠...
abc是边长为1的正三角形
D 分析: 由原图和直观图面积之间的关系=,求出原三角形的面积,再求直观图△A′B′C′的面积即可. 正三角形ABC的边长为1,故面积为,而原图和直观图面积之间的关系=,故直观图△A′B′C′的面积为×=故选D. 点评: 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本运算...
如图所示,△ABC的边长都是24cm,用图中所的线段把这个三角形分割成面积相...
因为 Sabd=Sabc\/4, 所以 AD=AC\/4=24\/4=6 cm 所以 CD=AC-AD=24-6=18 cm 所以 CF=CD\/2=18\/2=9 cm 因为 Sbde=Sbcd\/3,所以 BE=BC\/3=24\/3=8 cm 所以 CE=BC-BE=24-8=16 cm
超育奕丰: 解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵∠BQD=30°, ∴∠QCP=90°, 设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x, ∴QC=QB+C=6+x, ∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°, ∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2; (2)当点P、Q运动时,线段...
双清区19692276831: 如图 三角形ABC是边长为6的等边三角形 DE垂直BC于E EF垂直AC于F FD垂直AB于D 求三角形DEF的周长 - ?
超育奕丰: 解:设BD=2X ∵等边△ABC ∴AB=BC=AC=6, ∠A=∠B=∠C=60 ∴AD=AB-BD=6-X ∵DE⊥BC ∴DE=BD*√3/2=√3X,BE=BD/2=X ∴CE=BC-BE=6-X ∵EF⊥AC ∴CF=CE/2=(6-X)/2 ∵FD⊥AB ∴AF=2AD=12-4X ∵AF+CF=AC ∴12-4X+(6-X)/2=6 X=2 ∴DE=√3X=2√3,AD=6-2X=2,CE=6-X=4 ∴FD=√3AD=2√3,EF=CE*√3/2=2√3 ∴△DEF的周长=DE+EF+FD=6√3
双清区19692276831: 如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延... - ?
超育奕丰:[答案] (1)2 (2)不会改变,理由见解析 (1)∵△ABC是边长为6的等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵∠BQD=30°, ∴∠QPC=90°, 设AP=x,则PC=6-x,QB=x, ∴QC=QB+BC=6+x, ∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°, ∴PC=QC,即6-x=(6+x),解得x=2; (2)当点P、...
双清区19692276831: 如图所示,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为3333cm2. - ?
超育奕丰:[答案] ∵△ABC是边长为6cm的等边三角形, ∴S△ABC=6*3 3÷2=9 3(cm2) ∵EH∥FG∥BC,AB被截成三等分, ∴S△AEH:S△AFG:S△ABC=1:4:9, ∴S△AEH:S四边形EFGH:S四边形FBCG=1:3:5, ∴图中阴影部分的面积为3 3cm2.
双清区19692276831: 如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C不重合),Q是CB延长线上一点,由B向CB延长线方向运动(Q不与B重... - ?
超育奕丰:[答案] (1)∵△ABC是边长为6的等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵∠BQD=30°, ∴∠QPC=90°, 设AP=x,则PC=6-x,QB=x, ∴QC=QB+BC=6+x, ∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°, ∴PC= 1 2QC,即6-x= 1 2(6+x),解得x=2, ∴AP=2; (2)△APE≌△BQF或△EPD≌...
双清区19692276831: △ABC是边长为6的等边三角形被一平行于BC的长方形所截AB被截成三等分则图中阴影部分的周长看清楚是周长啊 - ?
超育奕丰: ABC是边长为6的等边三角形被一平行于BC的长方形所截AB被截成三等分则图中阴影部分的周长=2+2+2+4=10
双清区19692276831: 如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P - ?
超育奕丰: 解:(1)△BPQ是等边三角形. 当t=2时,AP=2*1=2,BQ=2*2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP, 又因为∠B=60°,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E, 由QB=2y,得QE=2t·sin60°=t, 由AP=t,得PB=6-t, ...
双清区19692276831: 如图,已知三角形ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q - ?
超育奕丰:[答案] (1)∵点P的运动速度为1cm/s,点Q的运动速度为2cm/s ∴AP=t,BQ=2t ∴BP=6-t ∵t=2 ∴BP=6-2=4,BQ=2*2=4 ∴BP=BQ ∴△BPQ为等腰三角形 又∵在等边三角形ABC中,∠ABC=60° ∴△BPQ为等边三角形(一个角为60°的等腰三角形是等边三角...
双清区19692276831: 如图,△ABC是边长为6的等边三角形,AD=2,AE∥BC,直线BD交AE于点E,则BE的长为()A.37B.43C.33D.5 - ?
超育奕丰:[答案] 过点E作EF⊥BA的延长线于点F, ∵△ABC是边长为6的等边三角形,AD=2, ∴CD=6-2=4, ∵AE∥BC, ∴∠ACB=∠EAD,∠ADE=∠BDC, ∴△ADE∽△CDB, ∴ AE BC= AD CD, AE 6= 2 4解得AE=3, ∵∠ABC=60°,AE∥BC, ∴∠FAE=60°, ∴AF= 1 ...
双清区19692276831: 如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速... - ?
超育奕丰:[答案] (1)分两种情况考虑:(i)当PQ⊥BC时,如图1所示:由题意可得:AP=tcm,BQ=2t厘米,BP=(6-t)厘米,∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°,在Rt△BPQ中,cos60°=BQBP=12,即2t6−t=12,解得:t=65(秒);(ii)当QP...