若对于任意n个连续正整数中,总存在一个数的数字之和是8的倍数.试确定n的最小值并说明理由

若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由~

先证n≤14时，题设的性质不成立．当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．故n≤14时，题设的性质不成立．因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a 1 ，a 2 ，…，a 15 为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：（1）当a 1 ，a 2 ，…，a 15 中个位数字为0的整数有两个时，设a i ＜a j ，且a i 、a j 的个位数字为0，则满足a i ，a i +1，…，a i +9，a j 为连续的11个整数，其中a i ，a i +1，…，a i +9，a j 无进位．设n i 表示a i 各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为n i ，n i +1，…，n i +9．故这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a 1 ，a 2 ，…，a 15 中个位数字为0的整数有一个时（记为a i ），①若整数i满足1≤i≤8时，则在a i 后面至少有7个连续整数，于是a i ，a i +1，…，a i +7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15时，则在a i 前面至少有8个连续整数，不妨设a i -8，a i -7，…，a i -1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质．∴n的最小值是15．

13。。。993……1006，只要满足这个就行，非个位用9，只有7加3，才能保证进位，进而从新排列，保证所有序列满足

先给一个例子: 9999993至10000006共14个整数, 数字和依次为57至63然后是1至7.
因此这14个连续整数的数字之和都不是8的倍数.
于是n的最小值不小于15.

下面证明任意15个连续的正整数中, 总存在一个数的数字之和是8的倍数.
设第一个数为a, 则这15个数为a, a+1, a+2,..., a+14.
分两种情况:
(1) a的个位数字 ≤ 2.
可知a, a+1, a+2,..., a+7仅有个位数字依次递增, 其它位都相同.
于是a, a+1, a+2,..., a+7的数字和为8个连续整数.
8个连续整数除以8的余数两两不同, 因此其中一定有8的倍数.
即a, a+1, a+2,..., a+7中有数的数字和为8的倍数.
于是a, a+1, a+2,..., a+14中有数的数字和为8的倍数.
(2) a的个位数字 ≥ 3.
此时a+1, a+2,..., a+7中一定有某个数的个位数为0, 不妨设为a+k, 1 ≤ k ≤ 7.
考虑a+k, a+k+1,..., a+k+7, 可知它们仅有个位数字依次递增, 其它位都相同.
同上分析, 其中一定有数的数字和为8的倍数.
又a+k+7 ≤ a+14, 即a, a+1, a+2,..., a+14中有数的数字和为8的倍数.

综上, n的最小值就是15.

建议将证明与例子结合起来理解.

不妨设这n个数为：
a,a+1,a+2,…,a+(n-1)，a>0
将这n个数相加：
na+(1+…+(n-1))
=na+n*(n-1)/2
=n*[a+(n-1)/2]
要对任意的a，都有上式为8的倍数
只要，n是8的倍数即可~~~~
当然，n=8是满足题目的最小值（前提是n>0，否则n=0，一个都不取）
有不懂欢迎追问

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盖若螺内： 17

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