高二数学抛物线问题

高二数学题（抛物线）~

解答：设A（x1,y1）,B(x2,y2),准线x=－p/2,
焦半径AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,AF+BF=x1+x2+p=8, x1+x2 =8- p……（1）
设直线y=kx+b，代入得
k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0，得
x1+x2=(2p-2kb)/k^2
x1x2=b^2/k^2
得中点（(p-kb)/k^2，p/k），
得中垂线方程y- p/k=-1/k(x-(p-kb)/k^2)
过点(6,0)
则6-p=(p-kb)/k^2
又由（1）得 (p-kb)/k^2=(x1+x2)/2=(8- p)/2=4-p/2
所以6-p=4-p/2,则p=4
所以y∧2=8x

设直线的方程为y=kx+k
代入y²=-2x
k²(x+1)²=-2x
k²x²+(2k²+2)x+k²=0
设A B两点坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
x1+x2=-(2k²+2)/k²
x1x2=1
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
=4(k²+1)²/(k²k²)-4
|AB|²=(x1-x2)²+（y1-y2)²
=(1+k²)(x1-x2)²
=(1+k²)[4(k²+1)²/(k²k²)-4]
=24
解得k=1或-1
所以直线l的倾斜角为45°或者135°

∵焦点弦AB
∴设直线AB为y=k（x-p/2）联立y²=2px与y=k（x-p/2）
消掉y 的[k（x-p/2）]²=2px
展开k²x²-k²px+k²p²/4=2px
韦达定理X1乘于X2=p²/4
∴y1y2=k（x1-p/2）k（x2-p/2）=-p²
∴y1y2/x1x2=-4

1.设直线AB的斜率为k (a为直线AB的倾斜角)
当a=π/2时,AB垂直于x轴，x=p/2
得y=±p
所以A B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
y1*y2=-p^2,x1*x2=p^2/4
y1y2/x1x2=-4

1. 设直线AB的斜率为k (a为直线AB的倾斜角)
   当a=π/2时,AB垂直于x轴，x=p/2
   得y=±p
   所以A  B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
   y1*y2=-p^2,    x1*x2=p^2/4   

   所以：y1y2/x1x2=_-4______
   

   
   

   
   当a≠π/2
   y^2=2px
   焦点(p/2,0),准线x=-p/2
   则直线AB：y=k(x-p/2)
    抛物线：y^2=2px  
   联立
   k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2*p^2/4=0
   则x1*x2=p^2/4
   y1*y2=-p^2    

所以：所以：y1y2/x1x2=_-4______ 

综上：y1y2/x1x2=_-4______

弦AB斜率
k=(y1-y2)/(x1-x2)
=(y1-y2)/[(y1^2/2p)-(y2^2/2p)]
=2p/(y1+y2) (1)
而A、F、B三点共线,故
k=(y1-0)/(x1-p/2) (2)
由(1)、(2)得
y1/(x1-p/2)=2p/(y1+y2)
--->y1y2+y1^2=2px1-p^2
而y1^2=2px1
故y1y2=-p^2
又x1x2=(y1^2/2p)×(y2^2/2p)
=(y1y2)^2/(4p^2)
=(-p^2)^2/(4p^2)
故x1x2=p^2/4

故y1y2/x1x2=-p^2/(p^2/4)=-4.

参考:
设直线AB的斜率为k (a为直线AB的倾斜角)
当a=π/2时,AB垂直于x轴，x=p/2
得y=±p
所以A B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
y1*y2=-p^2,x1*x2=p^2/4
当a≠π/2
y^2=2px
焦点(p/2,0),准线x=-p/2
则直线AB：y=k(x-p/2)
抛物线：y^2=2px
联立
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2*p^2/4=0
则x1*x2=p^2/4
y1*y2=-p^2

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