如图,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P ,交BC的延长线上于点D,AB2=AP×AD。 1.求证AB=AC 2.

如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的直线交圆O于点P，交BC的延长线于点D，AB 2 =AP·AD。（1）求证：AB=AC~

解：（1）连结BP，∵AB 2 =AP·AD∴ ，∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∴∠ABC=∠APB，又∵∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）由（1）知AB=AC，∴∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60° ∵P为 的中点，∴∠ABP=∠PAC= ∠ABC=30°∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90° ∴BP为直径，∴BP=2，∴AP= BP=1，∴AB 2 =BP 2 -AP 2 =3∵AB 2 =AP·AD∴AD= =3。

解答：（1）证明：连接BP，∵AB2=AP?AD，∴ABAP＝ADAB，又∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）解：由（1）知AB=AC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵P为AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=12∠ABC=30°，∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，∴BP为直径，∴BP过圆心O，∴BP=2，∴AP=12BP=1，∴AB2=BP2-AP2=3，∵AB2=AP?AD，∴AD=AB2AP=3．

（1）证明：

如图、连接BP

因为：AB×AB=AP×AD 

所以：AB/AP=AD/AB

在△ABP和△ADB中

∠PAB=∠BAD（公共角）

AB/AP=AD/AB

∴△ABP∽△ADB【两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似】

∴∠APB=∠ABC

又∵∠APB=∠ACB【同弧所对圆周角相等】

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC（2）

∵∠ABC=60°

∴△ABC是等边三角形【有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形】

又∵P是弧AC中点

∴∠CBP=∠ABP=30°【同弧所对圆周角相等】∠APB=60°

∴∠BAP=90°

∴AP是○O直径

∴BP=2AP=1【30°所对的直角边=斜边的一半】AB=√3【勾股定理】∵AB×AB=AP×AD

∴√3×√3＝1×ADAD=3

由题意
AB/AP=AP/AB
所以三角形ABD相似于三角形APB
所以∠ABD=∠APB
弧AB所对的角为∠APB和∠ABC
所以∠APB=∠ACB
∴∠ABD=∠ACB

AB=AC

∠APB和∠ABC对同弦AC

∴∠APC=180-∠ABC=60°
AP=1
你会算的
然后代入到AB2=AP×AD

1、证明：连接BP
∵AB²＝AP×AD
∴AB/AP＝AD/AB
∵∠BAP＝∠DAB
∴△BAP相似于△DAB
∴∠BPA＝∠ABD
∵∠BPA、∠BCA所对应圆弧都为弧AB
∴∠BCA＝∠BPA
∴∠BCA＝∠DBA
∴AB＝AC
2、
∵P为弧AC的中点
∴弧AP＝弧CP
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC/2
∵∠ABC＝60
∴∠ACB＝∠ABC＝60
∴等边△ABC
∴BP为圆O直径
∵圆O的半径为1
∴BP＝2
∵A为圆上一点
∴∠BAP＝90
∵∠ABP＝∠ABC/2＝60/2＝30
∴AB＝BP×cos30=2×√3/2=√3
∴BD=AB/ cos∠ABC=√3/(1/2)=2√3

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湄潭县15024153639： 三角形ABC内接于圆O,过点A作圆O的切线交OC的延长线于D,角CAD=30度,求角... - ？
呈尝瑞可： 证明:(1)连接OA∵sinB=1 2∴∠B=30°∠AOC=60°又∵OA=OC∴△AOC是等边三角形∴∠OAC=60°∴∠OAD=60°+30°=90°∴AD是⊙O的切线在RT△AOD中∠D=90°-∠OAD=90°-60°=30°(2)∵OC⊥AB、OC是半径∴BE=AE∴OD是AB的垂直平分线∴∠DAE=60° ∠D=30°在Rt△ACE中AE=cos30°*AC=5/2√ 3 ,∴在Rt△ADE中AD=2AE=5√ 3 .

湄潭县15024153639： 如图所示,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P,交BC的延长线于点D,AB 2 =AP·AD.(1)求证:AB=AC - ？
呈尝瑞可： 解:(1)连结BP,∵AB 2 =AP·AD ∴ ,∵∠BAD=∠PAB,∴△ABD∽△APB,∴∠ABC=∠APB,又∵∠APB=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC;(2)由(1)知AB=AC,∴∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60° ∵P为 的中点,∴∠ABP=∠PAC= ∠ABC=30° ∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90° ∴BP为直径,∴BP=2,∴AP= BP=1,∴AB 2 =BP 2 -AP 2 =3 ∵AB 2 =AP·AD ∴AD= =3.

湄潭县15024153639： 三角形ABC内接于圆O,过点A的切线交BC的延长线于点P,D位AB 的中点DP交AC于M 求证:PA方比上PC方=AM比上MC - ？
呈尝瑞可：[答案] 过D作DE∥AC交BC于E. ∵AD=BD、DE∥AC, ∴AC=2DE、BC=2CE=2BE, ∴2PC+BC=2PC+2CE, ∴(PC+BC)+PC=2(PC+CE), ∴PB+PC=2PE, ∴(PB+PC)/PC=2PE/PC. ∵MC∥DE, ∴△PDE∽△PMC, ∴PE/PC=DE/MC, ∴(PB+PC)/PC=2DE/...

湄潭县15024153639： 如图4,已知△ABC内接于圆O,过A点的切线交CB的延长线于点P,点D、E是线段CP上的点且有∠BAD=∠P=∠CAE.求证:AB*AB*PC=AC*AC*PB - ？
呈尝瑞可：[答案] AP是圆的切线,《ABC=〈PAC,(同弧圆周角和弦切角相等),〈APC=〈BPA,△ACP∽△BAP,S△ABP/S△CAP=(AB/AC)^2,(相似三角形面积比等于其边长平方比),△ABP和△CAP共用一个高,S△ABP/S△CAP=BP/CP,∴(AB/AC)^2=...

湄潭县15024153639： 已知:如图三角形ABC内接于圆心O,且AB是非直径的弦,过点A作直线EF,若角CAE=角B,求证:EF是圆心O的切线 - ？
呈尝瑞可：[答案] 连接AO并延长交圆于D,(则AD是直径) 角B+角DAC=90度(圆周角所对的弧相加等于半圆) 所以角CAE+角DAC=90度 所以,OA垂直EF 所以EF是切线

湄潭县15024153639： 如图,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P ,交BC的延长线上于点D,AB2=AP*AD. 1.求证AB=AC 2. - ？
呈尝瑞可： 由题意 AB/AP=AP/AB 所以三角形ABD相似于三角形APB 所以∠ABD=∠APB 弧AB所对的角为∠APB和∠ABC 所以∠APB=∠ACB ∴∠ABD=∠ACB AB=AC ∠APB和∠ABC对同弦AC ∴∠APC=180-∠ABC=60° AP=1 你会算的 然后代入到AB2=AP*AD

湄潭县15024153639： 三角形ABC内接于圆O,过点A作直线EF.若直线AB是非直径的弦,角CAF等于角B,则EF是圆O的切线嘛?为什么? - ？
呈尝瑞可：[答案] 没有图的吗这题?那样的话EF不是可以朝不同方向划了吗?那么EF就不能说是圆O的切线了,我们知道如果是切线的话一定满足前面的条件,不是切线的时候也有满足的时候,譬如当EF过A点跟BC边相交的时候,也有可能会使得角CAF等于角B.

湄潭县15024153639： 如图:△ABC内接于圆心点O,∠B=30°,过点A的直线交OC的延长线于点D,∠D=∠B.求证AD与圆心O相切 - ？
呈尝瑞可：[答案] 证明: 延长AO交圆O于E,连接CE,则AE是直径 ∴∠ACE=90º ∴∠CAE+∠E=90º ∵∠B=∠E【同弧所对的圆周角相等】 ∠B=∠CAD=30º ∴∠E=∠CAD ∴∠CAE+∠CAD=90º 即∠EAD=90º ∴AD是圆O的切线

湄潭县15024153639： 三角形ABC内接于圆O,过点A作直线EF.若直线AB是非直径的弦,角CAF等于角B,则EF是圆O的切线嘛?为什么? - ？
呈尝瑞可： 没有图的吗这题?那样的话EF不是可以朝不同方向划了吗?那么EF就不能说是圆O的切线了,我们知道如果是切线的话一定满足前面的条件,不是切线的时候也有满足的时候,譬如当EF过A点跟BC边相交的时候,也有可能会使得角CAF等于角B.

湄潭县15024153639： 如图,△ABC内接于圆O,AB=AC,过点A作AE∥BC交圆O直径BD的延长线于点E.(1)求AE与圆O的位置关系,并加 - ？
呈尝瑞可： (1)AE与圆O的位置关系式相切,证明:作射线AO交BC于F,∵AB=AC,∴AF⊥BC,∵AE∥BC,∴AF⊥AE,∵AF过O,∴AE是⊙O的切线;(2)解:作直径CM,连接BM,则∠M=∠BAC,∵sin∠BAC=3 5 ,BC=6,∴6 CM =3 5 ,∴CM=10,即BD=10,OC=5,∵AB=AC,AF⊥BC,∴CF=BF=3,由勾股定理得:OF=4,则AF=4+5=9,由勾股定理得:AC= 92+32 =3 10 ,∵∠ACB=∠ADB,∴cos∠ADB=cos∠ACE,∴ AD 10 =3 3 10 ,∴AD= 10 .