垂心定理证明

三角形垂心的定理证明~

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。now现在我们只要证明AD⊥BC即可。因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。四边形AFHE为圆内接四边形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 还可以通过向量证明。已知△ABC的两条高AD,BE相交于H，连接CH，求证CH⊥AB证明：设HA=a，HB=b，HC=c则BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a∵HA⊥BC，∴a*（c-b）=0　　即a*c=a*b同理，b*c=a*b∴a*c=b*c，即c*（b-a）=0∴CH⊥AB证法三：运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。已知：△ABC中，AD,BE,CF是高。求证：AD,BE,CF相交于一点。证明：过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB，设a与b交点为C'，a与c交点为B’，b与c交点为A‘∵AC’∥BC,AC∥BC'∴四边形ACBC'是平行四边形∴AC'=BC同理，AB'=BC∴AB'=AC',A是B'C'中点∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B‘C’的垂直平分线同理，BE是A'C'的垂直平分线，CF是A'B'的垂直平分线∵三角形三边的垂直平分线交于一点∴AD,BE,CF交于一点

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD⊥BC即可。


因为CF⊥AB，BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形。四边形AFHE为圆内接四边形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。

三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 　　其性质包括：　　1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。　　2.垂心外心内心三心共线。　　3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 　　求证：CF⊥AB 　　证明： 　　连接DE 　　∵∠ADB=∠AEB=90度 　　∴A、B、D、E四点共圆 　　∴∠ADE=∠ABE 　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC 　　∴ΔAEO∽ΔADC 　　∴AE/AO=AD/AC 　　∴ΔEAD∽ΔOAC 　　∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90度 　　∴∠ACF+∠BAC=90度 　　∴CF⊥AB 　　因此，垂心定理成立！这里不方便画图，我就用文字来表达了
画任意一个三角形ABC，垂心为D，外心为E，设B垂AC于F，
C垂AB于H，做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角
S为△ABC的面积
由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R
由图像得∠c=∠BEH
∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)
CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH
AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2
代入上式得CD=AB/tanc=2DH

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、C、D到AB中点距离相等
∴A、B、D、E四点共圆 （以AB为直径的圆）
同理C、D、O、E到OC中点距离相等
∴C、D、O、E四点共圆 （以OC为直径的圆）
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！

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北碚区15135064159： 垂心定理证明 - ？
詹咐妇必： 三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心. 其性质包括:1.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.2.垂心外心内心三心共线.3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍. 已知:Δ...

北碚区15135064159： “垂心定理”是如何证明的? - ？
詹咐妇必：[答案] 已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证:CF⊥AB 证明: 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、C、D到AB中点距离相等 ∴A、B、D、E四点共圆 (以AB为直径的圆) 同理C、D、O、E到...

北碚区15135064159： 如何证明垂心 - ？
詹咐妇必： 设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c. 因为AD⊥BC,BE⊥AC, 所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0, 即向量a·(向量c-向量b)=0, 向量b·(向量a-向量c)=0, 亦即 向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得 向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0 故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕.

北碚区15135064159： 用向量证明三角形的垂心定理 - ？
詹咐妇必：[答案] 设空间的三个基底向量为:向量a,向量b 向量c 点G对应向量g(其中向量a=向量OA,其它类推) 教你一个强制减法的方法“源终-源起”源就是基底向量的尾巴,如:向量AB=源终-源起 =向量OB-向量OA; G是三角形ABC垂心的证明方法是下列三个...

北碚区15135064159： 证明三角形垂心 - ？
詹咐妇必： 三角形垂心是三边上的高交于一点 直角三角形显然成立(过直角顶点作斜边的垂线),

北碚区15135064159： 怎样证明三角形垂心性质 - ？
詹咐妇必： 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆. 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍. 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.

北碚区15135064159： 【证明垂心定理】 - ？
詹咐妇必： 哈哈 这太简单了 分给我吧 因为三条高线都是垂直 所以里面四边形都是四点共圆的 然后相交弦一下就结束了~

北碚区15135064159： 三角形三高交于一点如何证明这个定理? - ？
詹咐妇必：[答案] 证明:三角形三条高线交于一点,这点称为三角形的垂心. 已知:△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证:AX,BY,CZ交于一点.(图略) 分析 要证AX,BY,CZ相交于一点,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命...

北碚区15135064159： 三角形内心垂心距离公式证明?？
詹咐妇必： 1垂心证明:由向量OA*向量OB=向量OB*向量OC得:向量OB*(向量OA-向量OC)=0 因为向量OA-向量OC=向量CA 所以向量OB*向量CA=0即向量OB⊥向量CA,同理向量OC⊥向量BA,向量OA⊥向量BC,所以O点事三角形ABC的垂心. 2. 内心证明:定理:角平分线的一个性质:角平分线分对边与该角的两边成比例. 在△ABC中,连接BO交AC于E,O是内心,所以BE是∠B的角平分线,而且AD过内心O(均为内心的定义所知),所以在△ADB中BO是∠B的角平分线,所以有AB/BD=AO/OD, 同理AO/OD=AC/CD 内心:三角形三条角平分线的交点,也是内接圆的圆心.

北碚区15135064159： 三角形垂心的向量性质及证明是怎么样的? - ？
詹咐妇必： 三角形的垂心是指三条高的交点,也就是三条高的垂足所构成的点.垂心具有以下向量性质:1. 垂心到三角形三个顶点的向量和为零向量.即,如果ABC是一个三角形,H是其垂心,则有:→AH + →BH + →CH = →02. 垂心到三角形三个顶点的...