如图，三角形ABC内接于⊙O，∠BAC=60度，AD、BE是高，且交于H，延长AD交⊙O于F，直线OH分别交AB、AC于M、N

如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=60°,AD⊥BC,交⊙O于F，BE⊥AC于E，BE交AD于H，直线OH交AB于M.交AC于N~

证明：
（1）连接CH、CF.
∵H是垂心，∠ADC=∠CDF=90°
∴∠BCH+∠ABC=90°
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC
∴∠BCH=∠BCF,
∴⊿CDH≌⊿CDF
∴HD=DF
﹙2﹚、﹙3﹚
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60度，∠BEA=90°,
∴∠ABE=30°，
∴AE=1/2AB，
∵OP⊥AB,
∴AP=1/2AB﹙垂径定理﹚
∴AE=AP ①
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠CAF+∠ACB=90°﹙∵∠ACD=90°﹚
∴∠BAO=∠CAF ②
又∵∠HEA=∠OPA=90°
∴⊿AEH≌⊿APO
∴AO=AH；∠BAO=∠CAF；
（4）
在等腰三角形AOH中，
AH=AO，∠AHO=∠AOH
∴∠AHM=∠AON
在⊿AON和⊿AHM中，
∵∠AHM=∠AON，AH=AO，∠OAN=∠HAM﹙等角减去公共角﹚
∴⊿AON≌⊿AHM
∴MH=ON

延长AO交⊙O于点F，连接BF，如图1，∵AF是⊙O的直径，∴∠ABF=90°．∴∠BAF+∠F=180°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∴∠DAC+∠C=90°．∵∠F=∠C，∴∠BAF=∠DAC，即∠BAO=∠CAD．故①正确．∵BE⊥AC，∴∠BEA=90°．∴∠ABF=∠AEH．∵∠BAF=∠HAE，∴△ABF∽△AEH．∴ABAE=AFAH．∵∠BEA=90°，∠BAE=60°，∴∠ABE=30°．∴AB=2AE．∴AF=2AH．∵AF=2AO，∴AO=AH．故②正确．∵AO=AH，∴∠AOH=∠AHO．∴∠AOQ=∠AHP．在△AOQ和△AHP中，∠QAO＝∠PAHAO＝AH∠AOQ＝∠AHP．∴△AOQ≌△AHP．∴AQ=AP．∴△AQP是等腰三角形．故③正确．作∠BAC的角平分线交⊙O于点T，过点T作TG⊥AN，垂足为G，过点T作TK⊥AM，垂足为K，连接TN，TM；过点T作TS⊥AB，垂足为S，过点T作TR⊥AC，垂足为R，连接TB，TC；如图2，∵AT平分∠BAC，∴∠BAT=∠CAT=12∠BAC=30°．∵∠NAB=∠MAC=15°，∴∠NAT=∠MAT=45°．∵∠NAT=∠MAT，TG⊥AN，TK⊥AM，∴TG=TK，TN=TM．∴AG=AT2?TG2=AT2?TK2=AK．在Rt△NGT和Rt△MKT中，TG＝TKTN＝TM．∴Rt△NGT≌Rt△MKT（HL）．∴NG=MK．∴AN+AM=AG+GN+AK-MK=2AK．同理可得；AB+AC=2AR．在Rt△AKT中，AK=AT?cos∠KAT=AT?cos45°=22AT．在Rt△ART中，AR=AT?cos∠RAT=AT?cos30°=32AT．∴AM+ANAB+AC=2AK2AR=AKAR=22AT32AT=23=63．故④正确．故选：D．

三角形垂心的性质（垂心 是三角形三条高的交点）
------垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
而HD垂直于BC,H关于BC的对称点必在HD延长线上，且在三角形ABC的外接圆上，由此证（1）
额，实在是太不好意思了，后面的都交给老师了，不过希望给你开个头，送你堆定理，加油！
三角形垂心的性质
设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、 设锐角⊿ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

证明：
（1）连接CH、CF.
∵H是垂心，∠ADC=∠CDF=90°
∴∠BCH+∠ABC=90°
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC
∴∠BCH=∠BCF,
∴⊿CDH≌⊿CDF
∴HD=DF
﹙2﹚、﹙3﹚
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60度，∠BEA=90°,
∴∠ABE=30°，
∴AE=1/2AB，
∵OP⊥AB,
∴AP=1/2AB﹙垂径定理﹚
∴AE=AP ①
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠CAF+∠ACB=90°﹙∵∠ACD=90°﹚
∴∠BAO=∠CAF ②
又∵∠HEA=∠OPA=90°
∴⊿AEH≌⊿APO
∴AO=AH；∠BAO=∠CAF；
（4）
在等腰三角形AOH中，
AH=AO，∠AHO=∠AOH
∴∠AHM=∠AON
在⊿AON和⊿AHM中，
∵∠AHM=∠AON，AH=AO，∠OAN=∠HAM﹙等角减去公共角﹚
∴⊿AON≌⊿AHM
∴MH=ON

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南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8cm,则AC=________cm. - ？
穆衬羚羊：[答案] 8 连接OC. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. 又∵∠B=∠OAC=∠AOC, ∴∠AOC=90°. ∴AC=OA=8cm.

南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,PA是⊙O的切线;(1)求证:AP=AC;(2)若PD=3,求⊙O的直径. - ？
穆衬羚羊：[答案] (1)证明:连接OA,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又∵PA是⊙O的切线,∴OA⊥PA,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠P=∠OCA,∴AP=AC,(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=2OA=OD+PD,又...

南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PD=1,求⊙O的直径. - ？
穆衬羚羊：[答案] (1)证明:连接OA, ∵∠B=60°, ∴∠AOC=2∠B=120°, 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°, 又∵AP=AC, ∴∠P=∠ACP=30°, ∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°, ∴OA⊥PA, ∴PA是⊙O的切线. (2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°, ∴PO=2OA=OD+PD,...

南召县13164447355： 如图,三角形ABC内接于⊙O,AB为非直径的弦,∠CAB=∠B,则AE与⊙O相切于点A吗? - ？
穆衬羚羊： CAB=∠B与AE线无关,所以您的题目有误,再连接CD. 连接AO并延长交圆的另一端于D,应为∠CAE=∠B. AD为⊙O的直径,故∠ACD=90°,则∠D+∠CAD=90°. ∠B=∠D(圆周角相等),已知∠CAE=∠B,故∠D=∠CAE

南召县13164447355： 如图,三角形abc内接于⊙0,AB是⊙O的直径,角=60度 求 - ？
穆衬羚羊： 三角形abc内接于⊙0,AB是⊙O的直径,则为直角三角形,如果角B=60度 则BC/AB=根3/2 AC/BC=1/2 如果角C=60度 则BC/AB=1/2 AC/BC=根3/2

南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=45°,AC=4,则⊙O的半径为() A.2 2 B.4 - ？
穆衬羚羊： 作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∵∠B=45°,∴∠D=∠B=45°,∵AC=4,∴AD=ACsin45° =2 AC=42 ,∴⊙O的半径为:22 . 故选A.

南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,P为⊙O上一点,且∠APC=∠BPC,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角 - ？
穆衬羚羊： ∵∠APC=∠ABC,∠BPC=BAC,又∵∠APC=∠BPC,∴∠ABC=∠BAC,∴AC=BC,故选A.

南召县13164447355： 如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,∠A=∠D=30°.(1)判断DC是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)证明:△AOC≌△DBC. - ？
穆衬羚羊：[答案] (1) DC是⊙O的切线.理由如下: ∵∠A=∠D=30°, ∴AC=CD,∠ACD=120°. ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠OCD=90°, ∴DC是⊙O的切线. (2)证明:连接BC, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠BCD=120°-90°=30°=∠D, ∴BC=BD. ∵∠CBO...

南召县13164447355： (1)如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B,试说明AE与⊙O相切于点A;(2)在(1)中,若AB为非直 - ？
穆衬羚羊： 解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°, ∴∠BAC+∠B=90°, 又∵∠CAE=∠B, ∴∠BAC+∠CAE =90° 即∠BAE=90° ∴AE与⊙O相切于点A; (2)连结AO并延长交⊙O于D,连结CD,∵AD是⊙O的直径∴∠ACD=90°, ∴∠D+∠CAD=90° 又∵∠D=∠B ∴∠B+∠CAD=90° 又∵∠CAE=∠B ∴∠CAE+∠CAD=90°.

南召县13164447355： (2014•三门县一模)如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,BC=4,AC=2,CD平分∠ACB,则弦AD长为1010. - ？
穆衬羚羊：[答案] 连接BD, ∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D, ∴∠ACD=∠BCD=45°, ∵∠1=∠ACD,∠2=∠DCB, ∴∠1=∠2, ∴AD=BD, ∵BC=4,AC=2, ∴AB2=42+22=20, ∴AD2+DB2=20, ∴AD= 10. 故答案为: 10.