怎样将任意一个角等分成三份呢

怎么能把任意一个角平均分成三份,只用一把合尺?~

三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。不过，直到现在，仍然有很多人尝试去解决这条问题，原因是他们对这条题目的具体内容并不明白。而传媒亦基於同样的误解，对一些试图去解决这问题的人大肆报导。

问题定义
本难题的完整题目为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。

所以，若有任何人提出一个用有刻度的直尺去把一个角作三等分，他并未有成功解答这条题目。而事实上，假若使用一把有刻度的直尺，我们甚至可以把一个角作分成任意等份。

简述不可能性之证明
现在已经证明，这个问题是没有办法再给定的条件之下完成的。其理论依据出自於十九世纪发展出来的体论。根据一些简单的论证，任何可以在尺规作图规定下完成的几何物件，其座标都可以用初始单位的根式表示；可是利用体论，我们可以证明，如果 40 度角可以用尺规作图作出，将会导致作出了一个没有办法用根式表示出来的量，这跟刚才的说法矛盾。既然 40 度角不可能被作出，那就表示 120 度角没有办法用尺规作图三等分，三等分角问题因而宣告无解。

一般的角是不能用尺规三等分的。特殊的除外。证明过程如下：如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）.先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。
2）.定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C
过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，

令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。
另一个证明思路：
使用直尺作图等价于写出二元一次方程，使用圆规约略等价于写出二元二次方程，得到交点等价于解出二元二次方程组方程组，这个解一定是有理数（少数）或二次根数（多数）。
三等分角等价于已知已知一个角的三角函数值，要求这个角的三分之一的三角函数值。例如已知s=tan3A 求x=tanA.
因为tan3A=[3tanA-(tanA)^3]/[1-3(tanA)^2]
可以得到: x^3- 3sx^2-3x+s=0.
要解这个方程，一般地使用三次方程求根公式（Cardan formnla).（简单的不用）使用这个得出的根一般的是三次根数（极少数是有理数）。只使用二次方程是无法得到的。所以在一般情况下只用尺规三等分角是不可能的。

没有办法……这是非常著名的角度三等分问题！
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提要：本文通过重新论证二等分任意角的尺规作图步骤和利用二等分任意线段的相关知识新证三等分任意线段，论述了尺规三等分任意角这个难题的破解方法与作图步骤。
关键词：画弧；连接；延长。
正文：
虽在利用代数计算下也能算出任意一角的三分之一，只因我们都把代数计算的过程放在证明三等分任意角无解上，使得尺规三等分任意角的破解至今都无任何进展。
1. 论证尺规二等分任意角的作图步骤
为方便讲解，先在下面列出完整的尺规二等分任意角作图步骤：
已知∠A
① 以顶点A为圆心，取一边的适当长度做半径画弧，交于两边得到弧BC。
② 分别以点B、C为圆心，取大于弧BC一半的长度画弧，两弧相交得到点D、E。
③ 最后连接AE，则AE二等分∠A。
短短的三步尺规二等分任意角作图步骤中，便得以联想到尺规三等分任意角的可能性：
I 在步骤①中，画出弧BC后到最后的结果，可以普遍地看出最后解出的二等分线AE是在二等分∠A，也是在二等分了弧BC。然而在教科书中都忽略了这个二等分线AE其实也是在二等分弧BC的两个端点所形成的线段BC。
这里利用“共性思想”联想到：既然尺规二等分任意角只要二等分弧BC的两个端点的连接线段便可以实现二等分∠A，那尺规三等分该连接线段便可实现三等分∠A。
II 在步骤②中，需要“取大于弧BC一半的长度画弧”，而二等分任意线段的尺规作图中也有与此一致的步骤。而 “大于弧BC一半的长度”我们并不清楚它位于何处，由于尺规作图中并不存在肉眼判断，所以只能利用点与点作距离画弧求出另一点，或利用点与点画线得出一直线。
在经过多次实践后发现：直接取该弧的两个端点的等长距离画弧，最后将该已知角的顶点与得出的交点进行连接并延长后，同样也能二等分该已知角（如图1）。由此便可得出：二等分该弧的两个端点连接而成的线段所求得的点与该已知角顶点相连并无限延长后的射线便是该已知角的平分线（如图2）。
2.新解尺规三等分任意线段
由于尺规三等分任意线段暂时还是未解，接下来就必须得先从已知长度的线段的三等分的连接线段中去发现尺规三等分任意线段的作图规律了。
尺规作图：
已知线段AD，设该线段长度为3cm，则AB、BC、CD各为1cm。
① 以A点为圆心，AD为半径垂直画弧，得出交点E、F；并连接AE、EB、EF，得到等边三角形ADE和线段AD的中心点G与平分线EF。
接下来按以下步骤将该等边三角形的两腰的1cm求出来并连线：
② 分别以A、G、D点为圆心，AG为半径垂直画弧；分别得出线段AE、DE中心点H、I，三弧相交得出点J、K；并分别连接HI、HJ、IK，得出两条相互平行且垂直于HI的线段HJ与线段IK。
③ 分别以A、D点为圆心，AB为半径垂直画弧；分别交AE、DE得到点L、M并连接。
④ 再分别以L、M点为圆心，AH为半径画弧；分别交AE、DE得到点N、O并连接。
⑤ 分别连接AI、DH，得到等边三角形ADE的两条中心平分线AI、DH与中心点P。
由上所述步骤中不难发现:该等边三角形腰的三分之一点就是点L，三分之一线段便是线段LM，而LM又是过中心点P平行于AD的线段。那么只要求出“既能平行该等边三角形的底边又能过该等边三角形中心点的线段”便能够完全破解尺规三等分任意一线段了。
在步骤5中，线段AI、DH是等边三角形ADE的两条中心平分线，则∠HPA与∠IPD为对顶角；又线段LM是过中心点P平行于等边三角形ADE的底边AD的，则线段LM平分∠HPA与∠IPD。所以线段QS、SH与线段RT、TI相等（平分线上的任意一点到两边的距离相等）。
⑥ 分别以点H、Q为圆心，各以HQ为半径水平画弧；两弧相交得出点U与点P。（如图3）
如此一来，便完全破解了尺规三等分任意已知线段（经过多次实验，这套作图法可用在任何未知长度的已知线段上）。
3.实现尺规三等分任意角
上述尺规作图法可以完全三等分任意已知线段，却不能真正地尺规三等分任意已知角。
原来，在最初的尺规二等分任意角中忽略了一步最有帮助的步骤：由图2中，可以看出所得的平分点与顶点的连线是和弧BC的两个端点B、C的连接线段垂直的，而且这条垂直于线段BC的射线与弧BC是有交点的，只是这条垂直射线刚好是该已知角与弧BC的平分线，又是弧BC与线段BC的中点，如此巧合的两点让我们在做二等分时都忽略了这个交点，而这个交点在做尺规三等分任意已知角时是至关重要的一点。也就是说：如果等分线过等分点垂直于被等分线段且交于该被等分线段的两端点形成的弧，那么该垂直线与该弧的交点则为该已知角的等分点。
最终，使用上述的结论与尺规作图方法进行作图后，发现上述作图法还是只能用在一些似为特殊角的已知角上，而大部分的角都不能完全三等分。后经长期且大量作图实践发现：尺规二等分任意未知度数的已知角的作图法能做到一套作图方法任意角都可用，而尺规三等分任意未知度数的已知角却要一套作图方法分为五种特殊角来解。
3.1尺规三等分任意已知角主要分为以下5种情况：
1. 小于等于45°的锐角
2. 大于45°又小于等于90°的直角或锐角
3. 大于90°又小于等于180°的平角或钝角
4. 大于180°又小于等于270°的钝角
5. 大于270°又小于等于360°的钝角
下面只列出锐角与纯角交界的“大于90°又小于等于180°的平角或钝角”的作图方法及说明：
尺规作图：
已知锐角∠B。（为便于讲解与令此作图法更具说服力，下面直接引用已知角度为90°的直角来说明尺规三等分任意未知度数的已知角的作图方法。）
① 以B点为圆心，取BC边上适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、D。
② 分别以点D、E为圆心，各以DE为半径，相交得出F点；并连接BF交弧DE于G点。
③ 分别以点D、G为圆心，各以DG为半径，相交得出点H、I。
④ 分别连接DG、GH、HD得出等边△DGH；再连接HI交DG于点J。
⑤ 分别以点D、J、G为圆心，各以DJ为半径画弧；三弧分别交HG、HD于点K、L与点M、N，并分别连接KL、MN垂直于DG。
⑥ 分别连接DK、GM交MN、KL于点O、P且得到等边△DGH的中心点Q。
⑦ 分别以点M、O为圆心，各以MO为半径画弧，两弧相交得出R，且连接RQ延长交GH于S点，交DH于T点且TS平行于DG。（如图4）
这套尺规三等分任意未知度数的已知角作图法只能用在小于等于45°的锐角，在作大于45°（不包括45°）的锐角或钝角的三等分时，就得先将该角进行二等分，使其二等分后的角成为小于等于45°的角后再使用上面的尺规三等分的方法进行作图。
⑧ 分别以点D、G为圆心，各以DT为半径画弧，分别交DG于点U、V上；再分别以点M、K为圆心，各以MT为半径画弧，分别交DH、GH于点W、X上。
⑨ 直接连接XV并延长交弧DG于Z点，再以弧GZ为半径画弧，交弧EG于点Y，分别连接BY、BZ，最终点Y、Z为∠ABC的平分点了。（如图5）
在此只需按以下方法便可判定一个未知度数的已知角为小于等于45°角：以该弧两端点的连接线段为半径，各以这两端点为圆心画弧；最后如果靠近该角顶点的两弧的交点于该角的顶点之外也就是该角不包含此交点时，则该角为大于45°的锐角或纯角，反则为小于等于45°的锐角（如图6中两弧交点B于∠A之外，因此该角便是大于45°的锐角或纯角；而图7中两弧交点B于∠A之内，因此该角则为小于等于45°的锐角）。
最终得出规律：小于等于45°的锐角只需于原角上直接三等分便可；而小于等于90°的直角或锐角只需要在其中一个平分角内三等分；又小于等于180°的钝角则需要在两个包含着4/12的平分角中进行三等分；后小于等于270°的钝角则是在两个包含着8/24的平分角中进行三等分；最终小于等于360°的钝角则也是在两个包含着8/24的平分角中进行三等分。
世界难题并不难，难就难在我们能否抛开无解的杂念，用不同平凡的眼光、最笨的方法从难题最初的步骤开始摸索与发现

一般的尺规作图是难以完成的。。

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临海市13516428216： 怎么把一个角平分成3份 - ？
莱贵劲迈： 以下方法可以将任意角三等分.等分方法: 第一步:以角的顶点O为圆心,任意长为半径,画圆,过此三角形的两边交A、B两点.连接A、B,得线段AB. 第二步:平分线段AB,取出中点C . 第三步:以C点作为圆心,AC长为半径(AB为直径)画圆. 第四步:三等分AB为直径的外半圆(六等分此圆)得D、E两点. 第五步:连接OD、OE,则将角AOB平分成角AOE、角EOD、角DOB.

临海市13516428216： 怎么把一个任意角平分三等分?(只能用没刻度的直尺和圆规.) - ？
莱贵劲迈：[答案] 在直尺边缘上加一点P.让尺端为o.设要3等分的角是ABC.以C为圆心,CP为半径作半圆交角两边于AB两点;使O点在AC的延长线上移动,P点在圆周上移动,当尺过B时,连接OPB.由于OP.PC.CB相等,故角COB等于1/3角ACB

临海市13516428216： 怎样将任意一个角等分成三份呢 - ？
莱贵劲迈： 没有办法……这是非常著名的角度三等分问题! 永远没有答案!!!!!!!!!!!! 百度百科上面的也是错误的…… 两千年以来,到现在为止还没有正确答案……下面是百度百科的内容 提要:本文通过重新论证二等分任意角的尺规作图...

临海市13516428216： 怎样将一个任意角三等分?只用尺规作图法的 - ？
莱贵劲迈：[答案] 已知:线段AB. 求作:线段AB的三等分点P、Q. 作法:作射线AC(点A、点B、点C不共线), 以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交射线AC于点D, 以点D为圆心,半径不变,画弧,交射线DC于点E, 以点E为圆心,半径不变,画弧,交射线...

临海市13516428216： 如何把一个未知角平均分成三份? - ？
莱贵劲迈： 古希腊三个著名问题之一的三等分角,现在美国就连许多没学过数学的人也都知道.美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员,每年总要收到许多“角的三等分者”的来信;并且,在报纸上常见到:某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的...

临海市13516428216： 用直尺和圆规,怎样把一个角平均分成三份? - ？
莱贵劲迈：[答案] 现已证明,在尺规作图的前提下,此题无解.

临海市13516428216： 把一个任意角度的角三等分办法是什么?？
莱贵劲迈： 先在端点上任意长为半径,再在交点上以不同的半径画圆,直到找到三等分点.我以试过了,能成功,只是需要耐心

临海市13516428216： 如何将一个角三等分? - ？
莱贵劲迈： 如果用尺规作图法是不可能的. 尺规作图法是指用直尺(不带刻度)、圆规作出要求的图形.由于早期几何学较为简单,人们发现只要用这两种工具就可以作出任意一个给定要求的图形.但随着几何学的发展,人们发现,三等分任意角、立方倍积(求做一个体积是一支立方体2倍的立方体)、化圆为方(画一个与已知圆面积相等的正方形)是无法用尺规作图法完成的.后来,人们严格证明了这些不能用尺规作图法作出. 不过,利用现代工具,三等分任意角是很简单的.另外,尺规作图法虽然不可以三等分任意角,但可以三等分任意线段.(我打得好辛苦啊,一点资料都没看啊)

临海市13516428216： 如何三等分任意角 - ？
莱贵劲迈： 尺规作图不可能三等分任意角的.这是经数学证明了的!但是利用别的工具,那是有很多方法的,这里介绍:阿基米德直尺三分角法作图:1.设任意锐角AOB;2.以O为圆心,作圆O,∠AOB与圆相交于A,B点;3.延

临海市13516428216： 怎么用尺规作图把一个角分成三等份? - ？
莱贵劲迈：[答案] 除了特殊角是做不出来的 这个问题是三大几何作图题之一 已经被证明是做不出来的