设数列{an}为1,2x,3x^2,4x^3,…,nx^(n-1),… (x≠0),求此数列前n项和

求:S=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…nx^(n-1)~

答：

S=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…nx^(n-1)…………（1）
x=0时，S=1
x=1时，S=1+2+3+...+n=(n+1)n/2
x≠0并且x≠1时，两边同时乘以x得：
xS=x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+…nx^n…………（2）
(1)-(2)得：
(1-x)S=1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n
=1*(1-x^n)/(1-x)-nx^n
所以：
S=(1-x^n) /(1-x)^2 -(nx^n) /(1-x)

综上所述：
x=1，S=(n+1)n/2

x≠1，S=(1-x^n) /(1-x)^2 -(nx^n) /(1-x)

解：
x=1时，S=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
x≠1时，
Sn=1+2x+3x²+...+nxⁿ⁻¹
xSn=x+2x²+...+(n-1)xⁿ⁻¹+nxⁿ
Sn-xSn=(1-x)Sn=1+x+x²+...+xⁿ⁻¹-nxⁿ
=1·(1-xⁿ)/(1-x) -nxⁿ
=[(nx-n-1)·xⁿ+1]/(1-x)
Sn=[(nx-n-1)·xⁿ+1]/(1-x)²=[(nx-n-1)·xⁿ+1]/(x-1)²

解1) Sn=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) (1)
xSn= x+2x^2+3x^3+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n (2) (x≠1)
(1)-(2)得(1-x)Sn= 1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n
=x^n-1/(x-1)-nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x) (x≠1)

2)当x=1时 Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2

1) Sn=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) (1)
xSn= x+2x^2+3x^3+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n (2) (x≠1)
(1)-(2)得(1-x)Sn= 1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n
=x^n-1/(x-1)-nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x) (x≠1)

2)当x=1时 Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2

这种类型的题就是等差等比复合在一起的数列
即Cn=AnBn 其中An为等差数列，Bn为等比数列
通常都是Sn×公比
即 Sn=1+2x+3x^2+4x^3+…+nx^(n-1)
2Sn= x+2x^2+3x^3+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n
上减下得 ﹣Sn=[1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)] -nx^n
观察到【】内是等差数列。 即用等比数列求和公式求出
所以-Sn=.............
所以 Sn=-(-Sn)=-...............

设S=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1),
Sx=x+2x^2+3x^3+...+nx^n,
则（1-x)S=1+x+x^2+x^3+x^(n-1)-nx^n=(1-x^n)/(1-x)-nx^n,
讨论x是否等于1，可解得答案。

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沙洋县17843071351： 设数列{an}为1,2x,3x^2,4x^3,…,nx^(n - 1),… (x≠0),求此数列前n项和 - ？
夙浦百奥： 解1) Sn=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) (1) xSn= x+2x^2+3x^3+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n (2) (x≠1) (1)-(2)得(1-x)Sn= 1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n =x^n-1/(x-1)-nx^n Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x) (x≠1) 2)当x=1时 Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2

沙洋县17843071351： 设数列{an}为1,2x,3x^2,4x^3,.nx^n - 1.求此数列前n项的和 - ？
夙浦百奥：[答案] 1)当x≠1时 令P=1+2x+3x^2+4x^3…+nx^(n-1) 则xP=1x+2x^2+3x^3+4x^4…+nx^n 故P-xP=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n 即(1-x)P=(1*(1-x^n))/(1-x)-nx^n 所以P=(1-(1+n+nx)x^n)/(1-x)^2 即原式=(1-(1+n+nx)x^n)/(1-x)^2 2)当x=1时 ...

沙洋县17843071351： 数列问题:设数列{an}为1,2x,3x^2,4x^3,....nx^n - 1.求此数列前n项的和 - ？
夙浦百奥： 1)当x≠1时 令P=1+2x+3x^2+4x^3…+nx^(n-1) 则xP=1x+2x^2+3x^3+4x^4…+nx^n 故P-xP=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n 即(1-x)P=(1*(1-x^n))/(1-x)-nx^n 所以P=(1-(1+n+nx)x^n)/(1-x)^2 即原式=(1-(1+n+nx)x^n)/(1-x)^22)当x=1时 原式=n(n+1)/2

沙洋县17843071351： 已知数列1,2x,3x^2,...,nx^n - 1(x≠0),求前n项和 - ？
夙浦百奥： 是错位相减不是错位相加 S =1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+……+nx^(n-1) (1) x=0,S=1;x=1,S=1+2+3+……n=n(n+1)/2 xS=x+2x^2+3x^2……+(n-1)x^n+nx^n (2) (1)-(2)得 (1-x)S =1+x+x^2+x^3……x^(n-1)-nx^n =(1-x^n)/(1-x)-nx^n S=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)

沙洋县17843071351： 数列{an}为,1,2x,3x的二次方,4x的三次方,.,nx的n - 1次方(x不等于0)求此数列前n项和.. - ？
夙浦百奥：[答案] 因为这个数列的通项公式是nx^(n-1) 相当于是等差乘等比的形式 (n是等差数列的通项 x^(n-1)是等比数列的通项) 所以要求前n项和 一定是用 错位相减 的方法 1先写出Sn=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1) 2再写出qSn (q是等比数列x^(n-1)的公比 也就是x):...

沙洋县17843071351： 1. 设有数列1,2x,3x2,4x3,…… - ？
夙浦百奥： 设S=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1),则 xS=x+2x^2+3x^3+4x^4+……+nx^n 两式相减得 S-xS=1+x+x^2+x^3+...+x^(n-1)-nx^n 利用等比数列求和公式得(1-x)S=(x^n-1)/(x-1)-nx^n S=(x^n-1)/(x-1)^2-nx^n/(1-x)^2

沙洋县17843071351： 数列(an)1+2x^2+3x^4+.+10x^18求和 - ？
夙浦百奥：[答案] S=1+2x^2+3x^4+.+10x^18 ① 当x=±1时,S=1+2+...+10=55 当x≠±1时, ①*x² x²S=x²+2x^4+3x^6+.+9x^18+10x^20 ② ①-②: (1-x²)S=1+x²+x^4+x^6+.+x^18-10*x^20 =(1-x^20)/(1-x²)-10*x^20 ∴S=(1-x^20)/(1-x²)²-10*x^20/(1-x²) 【x=0时,本式...

沙洋县17843071351： 问一道数学题？
夙浦百奥： 第一题,有两种情况.那我们分别来算 1)当x≠1时 令P=1+2x+3x^2+4x^3…+nx^(n-1) 则xP=1x+2x^2+3x^3+4x^4…+nx^n 故P-xP=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n 即(1-x)P=(1*(1-x^n))/(1-x)-nx^n 所以P=(1-(1+n+nx)x^n)/(1-x)^2 即...

沙洋县17843071351： 求和: 1+2x+3x^2…+nx^(n - 1) - ？
夙浦百奥： consider1+x+x^2+..+x^n = (x^(n+1) -1)/(x-1)1+2x+3x^2+..+nx^(n-1) = [(x^(n+1) -1)/(x-1)]' = [nx^(n+1)-(n+1)x^n +1]/(x-1)^2