如图,在圆o中弦AB=CD,延长AB到点E延长CD到点F使得BE=DF,过点O作OP⊥EF垂足为点P,求证:PE=PF
证明:
过圆心做OM⊥AB,ON⊥CD,OQ⊥EF,垂足就是对应的字母M N Q
由垂径定理知 BM=1/2AB=1/2CD=DN 且OM=ON 又有BE=DF
∴ME=NF,再有∠OME=∠ONF
∴ △OME≌△ONF(SAS)
∴有OE=OF0
∵OQ⊥EF
∴∠OQE=∠OQF=90°且OQ=OQ
∴△OQE≌△OQF (HL)
∴EQ=FQ 即OQ垂直且平分线段EF
即线段EF的垂直平分线过圆心O(如果是学了集合,第2个“即……”可换为“即得到求证命题的充要条件命题”,这样叙述正规些)
第2问明显也成立,你可以参看我上面的过程,并未涉及到两条弦的交点问题,只要两条弦不重合,原命题都成立(因为这个问题的证明主线是三角形的全等及边角的转化,所以只要不重合就会存在三角形,就有全等)
有种特殊情况:P点与O点重合,也就是说,AB,CD是两条不重合的直径,这是就不需要考虑第一次三角形的全等,只需考虑第2次就可证得
我有两三年都没做平面几何的题了,过程可能有不规范和错误的地方还望指正啊
过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N
因为弦AB=CD
所以弦心距OM=ON
且BM=ND
因为BE=DF
所以BE+BM=DF+DN
ME=NF
所以△EMO≌△FNO
OE=OF
可证O在EF的中垂线上
证明:作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N,连接OE,OF
∵OM⊥AB,ON⊥CD
∴AB=2BM,CD=2DN
∵AB=CD
∴BM=DN,MO=NO
∵BE=DF
∴BM+BE=DF+DN
∴ME=NF
∵ME=NF,∠EMO=∠FNO,MO=NO
∴△OME≌△ONF(SAS)
∴OE=OF
∵OP⊥EF
∴PE=PF
证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF。则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;,因为OB=OD,所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)
证明:作OM垂直AC于M,ON垂直CD于N,则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;且OM=ON.
又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)
证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF。则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;,因为OB=OD,所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)
已知:如图,在圆o中弦ab与弦cd交于点p求证:(1)三角形adp∽△cbp_百度知...
∠DAP=∠BCP,∠ADP=∠CBP (同弧所对圆周角相等)所以:△ADP∽△CBP (AA)那么:AP\/CP=DP\/BP (相似三角形对应边成比例)所以:AP*BP=DP*CP
如图,在圆O中弦AB垂直CD于点E,过点E作AC的垂线交BD于Q...
证明:∵AB⊥CD于点E,过E作AC的垂线交BD于点Q,∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形.∴∠DEQ=∠CEP(对顶角相等).∠CEP=∠A(同角的余角相等).又∵∠A=∠D(同弧所对的圆周角相等),∴∠DEQ=∠D,∴EQ=QD(等角对等边).又∵∠QEB=∠B(等角的余角相...
第一题:如图,在圆O中,弦AB,CD相交与E,OM,ON分别是弦AB,CD的弦心...
第一题的(1)看圆心角,先证弧AB=弧CD,然后各减一个弧BC (2)如果弧AC=弧BD,则OM=ON,共用OE边,易证三角形OME与三角形ONE全等 第二题 割线定理AE*BE=CE*DE,因为AE=DE,所以CE=BE,且∠AEC=∠DEB,易证三角形AEC与三角形DEB全等,则AC=BD,等弦对等弧,得证 ...
如图,在圆O中,弦AB、BC相交于点E,OE平分角AEC,求证:AB=CD
1、连接AO、CO △AOE与△COE关于OE对称 在圆中△AOE≌△COE ,所以AE=CE 又因为∠AEB=∠DEC 弧BD所对的两个圆周角∠BAD=∠BCD 所以△ABE≌△CDE 所以AB=CD 2、连接AB、OB 因为DE=1 所以BE=1 角BDE=45° 角AOB=90° 所以AB=5√ 2 在Rt△AEB中 求出AO=7 所以AD=7+1=8 ...
如图,圆o中的弦AB是半径,求角Cc?
解:连结AC,∵在圆O中,BC=CD,∴∠DAC=∠BAC=1\/2X∠BAD=15°。(这里用定理:在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角(或圆心角)相等,∵AD为直径,∴∠ACD=90°,∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DAB十∠BCD=180°,∴∠BCD=180°一∠BAC=150°,∵∠ACB=∠BCD一∠ACD =150°一90°,又在...
如图,在圆O中,弦AB,CD交与点P,CM垂直AB,CN垂直CD,垂足分别为M,N,且...
∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD 即∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD(SAS),又∵等腰三角形AOB,COD中,OM⊥AB,ON⊥CD ∴OM=ON,且AM=BM=CN=DN=AB\/2=CD\/2 ∴∠OMN=∠ONM 2)连接CM、BN ∵弧AC=弧BD,∴AC=BD ∠CAB=∠BDC,又∵AM=BN(已证)∴△ACM≌△BDN(SAS),∴CM=BN ∵BM...
如图,在圆O中,弦AB、BC相交于点E,OE平分角AEC
1、连接AO、CO △AOE与△COE关于OE对称 在圆中△AOE≌△COE ,所以AE=CE 又因为∠AEB=∠DEC 弧BD所对的两个圆周角∠BAD=∠BCD 所以△ABE≌△CDE 所以AB=CD 2、连接AB、OB 因为DE=1 所以BE=1 角BDE=45° 角AOB=90° 所以AB=5√ 2 在Rt△AEB中 求出AO=7 所以AD=7+1=8 ...
如图,在圆o中,弦ab=bc=cd ,ba和cd的延长线交于点p,且角p=40度,求角ac...
连结BC、BD ∵弧AB=弧BC=弧CD ∴∠CBD=∠ACB=∠BDC=∠BAC=∠P+∠ACD=40°+∠ACD 又∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠BDC=180° ∴3∠CBD+∠ACD=180° ∴3(40°+∠ACD)+∠ACD=180° ∴∠ACD=15°
如图,在圆o中,弦ab的长是半径oa的根号三倍
在三角形AOB中,OA=OB,OE垂直于AB,所以AE把AB平分.在直角三角形AOE中,OA=R,AE=√3R\/2,所以OA=1\/2R.所以OC=R-1\/2R=1\/2R 即直线AB和OC互相垂直和平分,所以其所围成的四边形OACB是个菱形.
如图,圆O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=40°,∠APD=75°,则∠B等于多少
如图,圆O中,弦AB,CD相交与点P,∠A=40°,∠APD=75°,则∠B=?因为:∠D=∠A=40°【同弧所对的圆周角相等】而,∠D+∠B=∠APD=75°【三角形的外角等于不相邻两内角之和】所以,∠B=∠APD-∠D=75°-40°=35°
庞朗帕利: 【题不完整,点E、F用不上.先证明PA=PC】 证明:∵AB=CD ∴弧AB=弧CD(等弦对等弧) ∴弧AB+弧AC=弧CD+弧AC 即弧BC=弧AD ∴∠D=∠B(等弧对等角) ∴PB=PD ∴PB-AB=PD-CD 即PA=PC
动力区19753017049: 如图所示,在圆0中,弦AB=CD,,延长AB到E,延长CD到F,使得BE=DF,过点0作OP垂直于EF,垂足为点P求证PE=PF - ?
庞朗帕利: 证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF.则BM=AB/2;DN=CD/2. AB=CD,则BM=DN;,因为OB=OD,所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF. 连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF. 又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)
动力区19753017049: 如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心 - ?
庞朗帕利: ⑴作AB,CD的弦心距OG,OH. ⊿OEG≌⊿OHF.OE=OF.用等腰三角形三合一定理.EF的中垂线过O点. ⑵成立,证明照⑴抄(图形不同!)
动力区19753017049: 如图所示,在圆o中,AB=CD,延长AB至点E,延长CD到点F,使BE=DF,求证EF的垂直平分线经过点o - ?
庞朗帕利:[答案] 过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N 因为弦AB=CD 所以弦心距OM=ON 且BM=ND 因为BE=DF 所以BE+BM=DF+DN ME=NF 所以△EMO≌△FNO OE=OF 可证O在EF的中垂线上
动力区19753017049: 在圆O中,弦AB=CD,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,求证:EF的垂直平分线经过点O - ?
庞朗帕利: 过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N 因为弦AB=CD 所以弦心距OM=ON 且BM=ND 因为BE=DF 所以BE+BM=DF+DN ME=NF 所以△EMO≌△FNO OE=OF 可证O在EF的中垂线上
动力区19753017049: 如图,在圆o中,弦AB=CD,求证:扫码下载搜索答疑一搜即得 - ?
庞朗帕利:[答案] 作OE垂直AB OF垂直CD 因为AB=CD,所以EA=FD OA=OD(半径) 角AEO=角OFD=90度 所以三角形AEO全等三角形DFO(HL) 所以角ADC=角BAD
动力区19753017049: 如图,在圆O中,弦AB=CD.求证,弧AC=弧BD,角AOC=角BOD - ?
庞朗帕利: 解:(1)∵在⊙O中,弦AB=CD,∴弧AB=弧CD,∵弧BC=弧CB,∴弧AC=弧BD;(2)∵弧AC=弧BD,∴∠AOC=∠BOD.
动力区19753017049: 如图,在⊙○中,弦AB=CD,延长AB到点E,延长CD到点F,使得BE=DF,过点O作OP⊥EF,垂足为点P.求证:PE=PF.?
庞朗帕利: 作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF,则BM=AB/2;DN=CD/2.AB=CD,则BM=DN;因为OB=OD所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON,BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),,OE=OF.又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)
动力区19753017049: 如图,在圆O中弦AB、CD相交于点P.若∠APO=∠DPO,求证:AB=CD - ?
庞朗帕利: 解:过O作OE⊥AB,OF⊥CD垂足为E,F 在△OPE和△OPF中,∠PEO=∠PFO=90° ∠APO=∠DPO OP为公共边,所以△OPE≌△OPF(AAS) 所以OE=OF 所以AB=CD
动力区19753017049: 如图在圆o中弦ab=bc=cdba和cd的延长线交于点p且lp=40求lacd的度数 - ?
庞朗帕利:[答案] ∵AB=BC=CD, ∴弧AB=弧CD, ∴弧AB+弧AD=弧CD+弧AD, ∴弧BAD=弧ADC, ∴∠B=∠PCB, ∵∠P=40°, ∴∠B=∠PCB=1/2(180°-40°)=70°, ∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=1/2(180°-∠B)=55°, ∴∠ACD=∠PCB-∠BCA=15°.