如图，在圆o中弦AB=CD，延长AB到点E延长CD到点F使得BE=DF，过点O作OP⊥EF垂足为点P，求证：PE=PF

如图，圆O中两条相等的弦AB，CD分别延长到E，F，使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心~

证明：
过圆心做OM⊥AB，ON⊥CD，OQ⊥EF，垂足就是对应的字母M N Q
由垂径定理知 BM=1／2AB=1／2CD=DN 且OM=ON 又有BE=DF
∴ME=NF，再有∠OME=∠ONF
∴ △OME≌△ONF（SAS）
∴有OE=OF0
∵OQ⊥EF
∴∠OQE=∠OQF=90°且OQ=OQ
∴△OQE≌△OQF （HL）
∴EQ=FQ 即OQ垂直且平分线段EF
即线段EF的垂直平分线过圆心O（如果是学了集合，第2个“即……”可换为“即得到求证命题的充要条件命题”，这样叙述正规些）

第2问明显也成立，你可以参看我上面的过程，并未涉及到两条弦的交点问题，只要两条弦不重合，原命题都成立（因为这个问题的证明主线是三角形的全等及边角的转化，所以只要不重合就会存在三角形，就有全等）
有种特殊情况：P点与O点重合，也就是说，AB，CD是两条不重合的直径，这是就不需要考虑第一次三角形的全等，只需考虑第2次就可证得


我有两三年都没做平面几何的题了，过程可能有不规范和错误的地方还望指正啊

过点O分别作OM⊥AE与E，ON⊥CF与N
因为弦AB=CD
所以弦心距OM=ON
且BM=ND
因为BE=DF
所以BE+BM=DF+DN
ME=NF
所以△EMO≌△FNO
OE=OF
可证O在EF的中垂线上

     

 证明：作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连接OE,OF

           ∵OM⊥AB，ON⊥CD

           ∴AB=2BM,CD=2DN

           ∵AB=CD

           ∴BM=DN,MO=NO

           ∵BE=DF

           ∴BM+BE=DF+DN

           ∴ME=NF

           ∵ME=NF，∠EMO=∠FNO,MO=NO

           ∴△OME≌△ONF(SAS)

           ∴OE=OF

           ∵OP⊥EF

           ∴PE=PF

证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE，OF。则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;，因为OB=OD，所以:⊿OBM≌ΔODN，则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)

证明:作OM垂直AC于M,ON垂直CD于N,则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;且OM=ON.
又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)

证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE，OF。则BM=AB/2;DN=CD/2.
AB=CD,则BM=DN;，因为OB=OD，所以:⊿OBM≌ΔODN，则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.
连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF.
又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)

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动力区19753017049： 如图,已知圆O中,弦AB=CD,延长BA,DC相交于点P,E是弧DB上的一点,CE交BD于点F.求证PA=PC - ？
庞朗帕利： 【题不完整,点E、F用不上.先证明PA=PC】 证明:∵AB=CD ∴弧AB=弧CD(等弦对等弧) ∴弧AB+弧AC=弧CD+弧AC 即弧BC=弧AD ∴∠D=∠B(等弧对等角) ∴PB=PD ∴PB-AB=PD-CD 即PA=PC

动力区19753017049： 如图所示,在圆0中,弦AB=CD,,延长AB到E,延长CD到F,使得BE=DF,过点0作OP垂直于EF,垂足为点P求证PE=PF - ？
庞朗帕利： 证明:作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF.则BM=AB/2;DN=CD/2. AB=CD,则BM=DN;,因为OB=OD,所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON又BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF. 连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),得OE=OF. 又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)

动力区19753017049： 如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心 - ？
庞朗帕利： ⑴作AB,CD的弦心距OG,OH. ⊿OEG≌⊿OHF.OE=OF.用等腰三角形三合一定理.EF的中垂线过O点. ⑵成立,证明照⑴抄(图形不同!)

动力区19753017049： 如图所示,在圆o中,AB=CD,延长AB至点E,延长CD到点F,使BE=DF,求证EF的垂直平分线经过点o - ？
庞朗帕利：[答案] 过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N 因为弦AB=CD 所以弦心距OM=ON 且BM=ND 因为BE=DF 所以BE+BM=DF+DN ME=NF 所以△EMO≌△FNO OE=OF 可证O在EF的中垂线上

动力区19753017049： 在圆O中,弦AB=CD,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,求证:EF的垂直平分线经过点O - ？
庞朗帕利： 过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N 因为弦AB=CD 所以弦心距OM=ON 且BM=ND 因为BE=DF 所以BE+BM=DF+DN ME=NF 所以△EMO≌△FNO OE=OF 可证O在EF的中垂线上

动力区19753017049： 如图,在圆o中,弦AB=CD,求证:扫码下载搜索答疑一搜即得 - ？
庞朗帕利：[答案] 作OE垂直AB OF垂直CD 因为AB=CD,所以EA=FD OA=OD(半径) 角AEO=角OFD=90度 所以三角形AEO全等三角形DFO(HL) 所以角ADC=角BAD

动力区19753017049： 如图,在圆O中,弦AB=CD.求证,弧AC=弧BD,角AOC=角BOD - ？
庞朗帕利： 解:(1)∵在⊙O中,弦AB=CD,∴弧AB=弧CD,∵弧BC=弧CB,∴弧AC=弧BD;(2)∵弧AC=弧BD,∴∠AOC=∠BOD.

动力区19753017049： 如图,在⊙○中,弦AB=CD,延长AB到点E,延长CD到点F,使得BE=DF,过点O作OP⊥EF,垂足为点P.求证:PE=PF.？
庞朗帕利： 作OM垂直AB于M,ON垂直CD于N,连接OE,OF,则BM=AB/2;DN=CD/2.AB=CD,则BM=DN;因为OB=OD所以:⊿OBM≌ΔODN,则OM=ON,BE=DF,则BM+BE=DF+DN,即ME=NF.连接OE,OF,则:⊿OME≌ΔONF(SAS),,OE=OF.又OP垂直EF,所以,PE=PF.(等腰三角形底边的高也是底边的中线)

动力区19753017049： 如图,在圆O中弦AB、CD相交于点P.若∠APO=∠DPO,求证:AB=CD - ？
庞朗帕利： 解:过O作OE⊥AB,OF⊥CD垂足为E,F 在△OPE和△OPF中,∠PEO=∠PFO=90° ∠APO=∠DPO OP为公共边,所以△OPE≌△OPF(AAS) 所以OE=OF 所以AB=CD

动力区19753017049： 如图在圆o中弦ab=bc=cdba和cd的延长线交于点p且lp=40求lacd的度数 - ？
庞朗帕利：[答案] ∵AB=BC=CD, ∴弧AB=弧CD, ∴弧AB+弧AD=弧CD+弧AD, ∴弧BAD=弧ADC, ∴∠B=∠PCB, ∵∠P=40°, ∴∠B=∠PCB=1/2(180°-40°)=70°, ∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=1/2(180°-∠B)=55°, ∴∠ACD=∠PCB-∠BCA=15°.