1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X）F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得

已知定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R均有：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（x）不恒为零．则下~

由f（x）不恒为零，若f（0）=0，则f（x）+f（x）=0，故①错误；令x=y=0，则f（0）+f（0）=2f（0）?f（0），解得，f（0）=1，②正确；由以上知，③错误；令x=0，则f（y）+f（-y）=2f（y），即f（-y）=f（y），又∵定义域为R；故④正确；由题意，f（x+a）+f（x-a）=0，则f（x+a）=-f（x-a）=f（x-3a），故4a是其一个周期；故⑤不正确；故答案为：②④．

（人）令x=y=0得f（0）=-人，再令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）+人=-人，∴f（-x）+人=-[f（x）+人]，∴y=f（x）+人是奇函数；（2）任取x人，x2∈（-∞，+∞）且x人＜x2，则f（x2）-f（x人）=f[（x2-x人）+x人]-f（x人）=f（x2-x人）+f（x人）+人-f（x人）=f（x2-x人）+人=-[f（x人-x2）+人]，∵x人-x2＜0时，f（x人-x2）＞-人，∴f（x人-x2）+人＞0，∴f（x2）-f（x人）＜0，即：f（x2）＜f（x人），∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； （3）∵f（a2+a-5）＞-32=f（m），由（2）知：a2+a-5＜m的解集为（-3，2），∴m=人，即f（人）=-32，∴f（2）=-2，f（n）=-3．

1．
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.

下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在（-1,1）上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[（1+x1^2）（1+x2^2）]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-1<x1x2<1那么1-x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)>0所以函数在（-1,1）上为增函数。

函数定义域是（-1，1）
所以-1<t-1<1 ……①
-1<t<1……②

f（t－1)+f(t)<0.
f（t－1)<-f(t)，因为是奇函数，
所以f（t－1)<f(－t)
因为f(x)=x/(1+x^2)为增函数
所以t-1<-t
t<1/2……③
①②③联立得0<t<1/2.

1.
令x=y=0，得：f(0)+f(0)=2f(0)^2，即f(0)^2-f(0)=0.
∵f(0)≠0，∴f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),
所以 f(y)=f(-y)， f(x)为偶函数，
从而 f(x+c)+f(x) = f(x+c)+f(-x)
= 2f[c/2+(x+c/2)] f[c/2-(x+c/2)]
=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立
2.
由题意可求得 F(X)=X/(X^2+1）
设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。
因为 f(t－1)+f(t)<0.
所以 f(t－1)< -f(t)，因为是奇函数，f（t－1)<f(－t)
f(x)=x/(1+x^2)在定义域内为增函数
所以 -1<t-1<-t<1
所以不等式的解为：0＜t＜1/2

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周口市19792739121： 1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X - Y)=2F(X)F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得F(C/2)=0,求证:对于X∈R,有F(X+C)= - F(X... - ？
茅黎丹蒌：[答案] 1. y=c/2时 f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2) 因f(c/2)=0 所以f(x+c/2)=-f(x-c/2) 令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式 f(t+c)=-f(t), 即f(x+c)=-f(x). 2. f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0 f(1/2)=2/5,代入则a=1. 下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在(-1,1)上为增...

周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x为正数时,f(x)为正数,判断f(x)的奇偶 - ？
茅黎丹蒌： 令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0 令y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 f(-x)=-f(x) 函数f(x)是奇函数

周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)满足 - ？
茅黎丹蒌： ^x=y=0 代入:f(x+y)=【f(x)+f(y)】/【1+f(x)f(y)】有f(0)=2f(0)/(1+f^2(0))=> f^3(0)-f(0)=0=>f(0)=0或1,值域为(-1,1),所以f(0)=0

周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f( - ？
茅黎丹蒌： 取y=x=0,f(0)+f(0)=f(0+0),f(0)=0 取y=-x,f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,f(x)=-f(-x) 定义域为R所以f(x)为奇函数 (2)取x1>x2 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 当x>0时,f(x)<0 x1-x2>0 f(x1-x2)f(x1)f(x)在R上是减函数 (3)(-3,6)应该是[-3,6]吧 否则没有最大和最小 显然最大是f(-3) =f(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)=-3f(1)=2 最小是f(6)=6f(1)=-4

周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f(已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f(x) - ？
茅黎丹蒌：[答案] 取y=x=0,f(0)+f(0)=f(0+0),f(0)=0 取y=-x,f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,f(x)=-f(-x) 定义域为R所以f(x)为奇函数 (2)取x1>x2 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 当x>0时,f(x)x1-x2>0 f(x1-x2)<0 f(x1)
周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y∈R - ？
茅黎丹蒌： 1)f(1)=f(1)+f(1)=f(1)-f(1)=02)f(1/x)+f(x)=f(1)=0所以总满足3)f(-4)=f(2)+f(-2)因为x大于1、f(x)大于0所以f(-4)大于f(-2)所以单调递减 因为f(1)总等于0 f(1/x)+f(x)=f(1/x乘以x)=f(1)

周口市19792739121： 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,且f(1)= - 2/3 求证f - ？
茅黎丹蒌： 设x2>x1,则x2-x1>0, 根据当x>0时,f(x)<0,有f(x2-x1)<0, 而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0 说明函数是减函数2、证明函数的奇偶性 令x=y=0,则f(0)=2f(0)故f(0)=0 令x+y=0,x,y不为0,有y=-x 则有f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(x)=-f(-x), 说明函数是奇函数,图像关于原点对称!

周口市19792739121： 高中数学函数周期的求法已知定义在R上的函数f(x)对任意的x满足f(x+1)= - f(x)求次函数的周期. - ？
茅黎丹蒌：[答案] f(x+1)=-f(x) f(x+2)=-f(x+1) f(x+2)=f(x) 周期2

周口市19792739121： 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x属于R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图像关于直线X=1对称 - ？
茅黎丹蒌： 题目要改,改成函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称 或者 f(x-1)的图像关于直线x=1对称,如果不改题目此题不能做出来 这类题一般是往周期上靠 令t=x+1 得到函数f(t)的图像关于t=0对称 所以函数f(t)是偶函数 所以函数f(x)是偶函数 所以f(3)=f(-3) f(x+6)=f(x)+2f(3) 令x=-3 得到f(3)=f(-3)+2f(3)=3f(3) 得到f(3)=0 所以f(x+6)=f(x) f(2012)=f(335*6+2)=f(2)=f(-2)=2012

周口市19792739121： 已知函数定义在R上的函数f(x)对全称x1 x2∈R 满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+ - ？
茅黎丹蒌： 证明:(1)令x1=x2=0,得:f(0)=2f(0)+2,f(0)=-2 令x2=-x1,则x1+x2=0:f(x1+x2)=f(0)=-2=f(x1)+f(-x1)+2 f(-x1)+2=-f(x1)-2=-[f(x1)+2] 设x2>x1,则x2-x1>0:f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)+2=f(x2)-f(x1)-2>-2 所以:f(x2)>f(x1) 所以f(x)是增函数.(2)设x2>x1>0,则x2/x1>1,f(x2/x1)<0,所以:f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)<f(x1) 故f(x)在(0,+∞)上是减函数