1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X)F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得
由f(x)不恒为零,若f(0)=0,则f(x)+f(x)=0,故①错误;令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)?f(0),解得,f(0)=1,②正确;由以上知,③错误;令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),又∵定义域为R;故④正确;由题意,f(x+a)+f(x-a)=0,则f(x+a)=-f(x-a)=f(x-3a),故4a是其一个周期;故⑤不正确;故答案为:②④.
(人)令x=y=0得f(0)=-人,再令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)+人=-人,∴f(-x)+人=-[f(x)+人],∴y=f(x)+人是奇函数;(2)任取x人,x2∈(-∞,+∞)且x人<x2,则f(x2)-f(x人)=f[(x2-x人)+x人]-f(x人)=f(x2-x人)+f(x人)+人-f(x人)=f(x2-x人)+人=-[f(x人-x2)+人],∵x人-x2<0时,f(x人-x2)>-人,∴f(x人-x2)+人>0,∴f(x2)-f(x人)<0,即:f(x2)<f(x人),∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减; (3)∵f(a2+a-5)>-32=f(m),由(2)知:a2+a-5<m的解集为(-3,2),∴m=人,即f(人)=-32,∴f(2)=-2,f(n)=-3.
1.y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.
下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在(-1,1)上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-1<x1x2<1那么1-x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)>0所以函数在(-1,1)上为增函数。
函数定义域是(-1,1)
所以-1<t-1<1 ……①
-1<t<1……②
f(t-1)+f(t)<0.
f(t-1)<-f(t),因为是奇函数,
所以f(t-1)<f(-t)
因为f(x)=x/(1+x^2)为增函数
所以t-1<-t
t<1/2……③
①②③联立得0<t<1/2.
1.
令x=y=0,得:f(0)+f(0)=2f(0)^2,即f(0)^2-f(0)=0.
∵f(0)≠0,∴f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),
所以 f(y)=f(-y), f(x)为偶函数,
从而 f(x+c)+f(x) = f(x+c)+f(-x)
= 2f[c/2+(x+c/2)] f[c/2-(x+c/2)]
=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立
2.
由题意可求得 F(X)=X/(X^2+1)
设x1<x2,且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然,上式中分母>0,我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2<1,即:1-x1x2>0
又因为x1<x2,所以x2-x1>0
所以:当x2>x1时,f(x2)>f(x1)
即:在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数。
因为 f(t-1)+f(t)<0.
所以 f(t-1)< -f(t),因为是奇函数,f(t-1)<f(-t)
f(x)=x/(1+x^2)在定义域内为增函数
所以 -1<t-1<-t<1
所以不等式的解为:0<t<1/2
已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x>0时的解析式是f(x)=x2-2x-3...
f(x)=-f(-x)令x=0得:f(0)=-f(-0)即f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0 令x<0,那么-x>0 ∵当x>0时,f(x)=x^2-2x-3 ∴f(-x)=(-x)^2-2(-x)-3=x^2+2x-3=-f(x) ……(∵f(x)是奇函数)∴f(x)=-x^2-2x+3 所以f(x)在R上的解析式:f(x)=x...
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(x-2),求f(x)的解析式...
解:当x=0时,f(0)=0 当x<0时,则-x>0 f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2| 又f(x)=-f(-x)∴f(x)=x|x+2| { x|x-2|,x>0 所以f(x)= { 0 ,x=0 { x|x+2|, x<0 注:考察的是分段函数利用奇偶性求解析式。此为通法,注意体会。
已知定义在R上的函数
已知定义在R上的函数 1个回答 #热议# 为什么现在情景喜剧越来越少了? dgm13504 2014-08-08 · TA获得超过2978个赞 知道小有建树答主 回答量:1237 采纳率:100% 帮助的人:835万 我也去答题访问个人页 关注 展开全部 本回答由提问者推荐 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 ...
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f...
f(x)是定义在R上的奇函数,图像关于原点对称,,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,则f(x)在[-1,1)上单调递减,f(2-x)=f(x)则f(x)图像关于直线x=1对称(2-x与x对应的函数值相等,不论x为何值,x+(2-x)=2,[x+(2-x)]\/2=1,函数f(x)在[-1,1)上单调递减,则函数f(x)在[...
已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=[f(x)+f(-x)]\/2,h(x)=[f(x)-f...
g(x)为奇函数,故有x>0,-g(-x)=g(x)=f(x)g(-x)=-f(x)=-1\/2^x 而-x<0 故x<0时,g(x)=-f(-x)=-1\/2^(-x)=-2^x 当x=0时,g(0)=-g(0),g(0)=0 故g(x)解析式为:g(x)=1\/2^x,x>0 g(x)=0,x=0 g(x)=-2^x,x<0 分别解其反函数得:g(x)'...
已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有:f(x+5)≥f...
分析:因为函数f(x)和g(x)都没给出解析式,所以求解g(2002)只能依靠f(1),由g(x)=f(x)+1-x可求出g(1),问题变成了求函数g(x)的周期问题,先把g(x)=f(x)+1-x变形得到g(x)+x-1=f(x),然后把x+5和x+1两次代入此式,借助于f(x+5)≥f(x)+5与f(...
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x。
所以f(x)= { -2^(-x) x>0 { 0 x=0 { 2^(x) x<0 2.显然y=2^x是单调递增函数,所以当x<0 时, y=2^x单调递增 而y=-2^(-x)也是单调递增,所以当x>0时, y=-2^(-x)单调递增 所以f的单调区间是(负无穷,0)和(0,正无穷)PS:函数f在x=0是一个特殊位置,是不连续点...
已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x-4)= -f(x),且在区间[0,2]上是增函数...
令x-4=t,则x=t+4,代入得f(t)=-f(t+4)即f(x)=-f(x+4)(字母无所谓的)上式代入已知条件得f(x-4)=f(x+4),用上面方法可得f(x)=f(x+8),那么f(-25)=f(-1)=-f(1)(奇函数)f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1)(第二个等号将x=3代入题给条件,第三个等号有奇函数得),...
已知f(x)为定义在R上的增函数,且对任意的x∈R,都有f[f(x)-2^x]=3...
f[f(x)-2^x]=3 设f(x)-2^x=a 得f(a)=3 f(x)=2^x+a f(a)=2^a+a=3 a=1 f(x)=2^x+1 f(3)=2^3+1=9 数学辅导团团员为您解答,有错误请指正,不明白请追问。没问题就采纳吧,真心希望能对你的学习或生活有所帮助!
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时...
周期为4 故x=-1+4n 因为f(x+2)=-f(x),所以 f(4n-1)=f[2(2n-1)- 1 + 2]= - f[2(2n-1)- 1]= - f[2(2n-2)- 1 +2]= (-1)^2 f[2(2n-2)- 1]=...=(-1)^2n f[2(2n-2n)- 1]= f(-1){函数f(x)是定义在R上的奇函数} = - f(1)= -1\/2 1 = ...
茅黎丹蒌:[答案] 1. y=c/2时 f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2) 因f(c/2)=0 所以f(x+c/2)=-f(x-c/2) 令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式 f(t+c)=-f(t), 即f(x+c)=-f(x). 2. f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0 f(1/2)=2/5,代入则a=1. 下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在(-1,1)上为增...
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x为正数时,f(x)为正数,判断f(x)的奇偶 - ?
茅黎丹蒌: 令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0 令y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0 f(-x)=-f(x) 函数f(x)是奇函数
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)满足 - ?
茅黎丹蒌: ^x=y=0 代入:f(x+y)=【f(x)+f(y)】/【1+f(x)f(y)】有f(0)=2f(0)/(1+f^2(0))=> f^3(0)-f(0)=0=>f(0)=0或1,值域为(-1,1),所以f(0)=0
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f( - ?
茅黎丹蒌: 取y=x=0,f(0)+f(0)=f(0+0),f(0)=0 取y=-x,f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,f(x)=-f(-x) 定义域为R所以f(x)为奇函数 (2)取x1>x2 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 当x>0时,f(x)<0 x1-x2>0 f(x1-x2)f(x1)f(x)在R上是减函数 (3)(-3,6)应该是[-3,6]吧 否则没有最大和最小 显然最大是f(-3) =f(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)=-3f(1)=2 最小是f(6)=6f(1)=-4
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f(已知定义在R上的函数f(x)对任意实数xy恒有f(x)+f(y=)f(x+y)且放x>0时 f(x) - ?
茅黎丹蒌:[答案] 取y=x=0,f(0)+f(0)=f(0+0),f(0)=0 取y=-x,f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,f(x)=-f(-x) 定义域为R所以f(x)为奇函数 (2)取x1>x2 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) 当x>0时,f(x)x1-x2>0 f(x1-x2)<0 f(x1)
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y∈R - ?
茅黎丹蒌: 1)f(1)=f(1)+f(1)=f(1)-f(1)=02)f(1/x)+f(x)=f(1)=0所以总满足3)f(-4)=f(2)+f(-2)因为x大于1、f(x)大于0所以f(-4)大于f(-2)所以单调递减 因为f(1)总等于0 f(1/x)+f(x)=f(1/x乘以x)=f(1)
周口市19792739121: 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,且f(1)= - 2/3 求证f - ?
茅黎丹蒌: 设x2>x1,则x2-x1>0, 根据当x>0时,f(x)<0,有f(x2-x1)<0, 而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0 说明函数是减函数2、证明函数的奇偶性 令x=y=0,则f(0)=2f(0)故f(0)=0 令x+y=0,x,y不为0,有y=-x 则有f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(x)=-f(-x), 说明函数是奇函数,图像关于原点对称!
周口市19792739121: 高中数学函数周期的求法已知定义在R上的函数f(x)对任意的x满足f(x+1)= - f(x)求次函数的周期. - ?
茅黎丹蒌:[答案] f(x+1)=-f(x) f(x+2)=-f(x+1) f(x+2)=f(x) 周期2
周口市19792739121: 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x属于R都有f(x+6)=f(x)+2f(3),若函数f(x+1)的图像关于直线X=1对称 - ?
茅黎丹蒌: 题目要改,改成函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称 或者 f(x-1)的图像关于直线x=1对称,如果不改题目此题不能做出来 这类题一般是往周期上靠 令t=x+1 得到函数f(t)的图像关于t=0对称 所以函数f(t)是偶函数 所以函数f(x)是偶函数 所以f(3)=f(-3) f(x+6)=f(x)+2f(3) 令x=-3 得到f(3)=f(-3)+2f(3)=3f(3) 得到f(3)=0 所以f(x+6)=f(x) f(2012)=f(335*6+2)=f(2)=f(-2)=2012
周口市19792739121: 已知函数定义在R上的函数f(x)对全称x1 x2∈R 满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+ - ?
茅黎丹蒌: 证明:(1)令x1=x2=0,得:f(0)=2f(0)+2,f(0)=-2 令x2=-x1,则x1+x2=0:f(x1+x2)=f(0)=-2=f(x1)+f(-x1)+2 f(-x1)+2=-f(x1)-2=-[f(x1)+2] 设x2>x1,则x2-x1>0:f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)+2=f(x2)-f(x1)-2>-2 所以:f(x2)>f(x1) 所以f(x)是增函数.(2)设x2>x1>0,则x2/x1>1,f(x2/x1)<0,所以:f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)<f(x1) 故f(x)在(0,+∞)上是减函数