已知抛物线y^2=4x,斜率为k的直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于，A,B两点,O为坐标原点，

已知抛物线y^2=4x 过焦点F斜率大于0的直线l交抛物线于AB交准线于D~

将y²=4x与过焦点的直线y=k(x-1)联立,
消去x，得,关于y的一元二次方程 : ky²-4y-4k=0 由韦达定理得 y1*y2=-4.
消去y，得,关于x的一元二次方程 : kx²-(2k² 4)x k²=0, 由韦达定理得 X1*X2=1.
K1=Y1/X1, K2=Y2/X2, 所以K1*K2= Y1*Y2/X1*X2=-4（为定植）。
由不等式定理,当a>0,b>0时, 有 a b ≥√(ab)(当且仅当a=b时取 "=").所以有：
∣K1∣ ∣K2∣ ≥ 2√∣K1*K2∣=2√4=4.最小值是4。（当且仅当K1=-K2时取到最小值。）
注意：抛物线y²=2px,与过焦点的弦交点（X1,Y1),(X2,Y2)，由韦达定理得出的结论：X1*X2=p²/4, Y1*Y2=-p².常用到，但要先证明。小题可以直接用

设直线l的方程为：y=kx+b(k≠0),代入到y^2=4x,
得：(kx+b)^2=4x,即k^2x^2+(2kb-4)x+b^2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为C(x0,y0),所以有：
x1+x2=-(2kb-4)/k^2=8,整理得b=2/k-4k.
又y1+y2=k(x1+x2)+2b=8k+2b=4/k.所以有：
x0=4,y0=2/k.即C(4,2/k).所以线段AB的垂直平分线方程：
y-2/k=(－1/k)(x-4),即y=－1/k*x+6/k=-1/k(x-6).
所以线段AB的垂直平分线经过定点(6,0).

将y²=4x与过焦点的直线y=k(x-1)联立,
消去x，得,关于y的一元二次方程 : ky²-4y-4k=0 由韦达定理得 y1*y2=-4.
消去y，得,关于x的一元二次方程 : kx²-(2k²+4)x+k²=0, 由韦达定理得 X1*X2=1.
K1=Y1/X1, K2=Y2/X2, 所以K1*K2= Y1*Y2/X1*X2=-4（为定植）。
由不等式定理,当a>0,b>0时, 有 a+b ≥√(ab)(当且仅当a=b时取 "=").所以有：
∣K1∣+∣K2∣ ≥ 2√∣K1*K2∣=2√4=4.最小值是4。（当且仅当K1=-K2时取到最小值。）
注意：抛物线y²=2px,与过焦点的弦交点（X1,Y1),(X2,Y2)，由韦达定理得出的结论：X1*X2=p²/4, Y1*Y2=-p².常用到，但要先证明。小题可以直接用。

---

浑源县17339081814： 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y^2=4x的焦点过F,过点P(0,—2)且斜率为k的直线与抛物线相交与不同的两点A,B.求k的取值范围？
宗圣萍大黄： 直线斜率为k,过(0,-2),则直线y=kx-2 y=kx-2,y²=4x ∴(kx-2)²=4x,整理得 k²x²-(4k+4)x+4=0 要使有两个不同交点,△=(4k+4)²-16k²=16+32k>0, ∴k>-1/2 综上,k的范围为k>-1/2,即(-1/2,+∞)

浑源县17339081814： 已知抛物线y^2=4x,过点p( - 2,1)且与抛物线只有一个交点的直线有哪些 - ？
宗圣萍大黄： 设过P的直线方程为 y=k(x+2)+1,则4y=k(4x+8)+4,即 4y=k(y^2+8)+4,化简得 ky^2-4y+(8k+4)=0,因为只有一个交点,所以 k=0或Δ=16-4k(8k+4)=0,解得 k=0 或 k=-1 或 k=1/2,所求直线有三条,方程分别是:y=1,y=-x-1,y=1/2*x+2.

浑源县17339081814： 已知抛物线方程y^2=4x,直线L过定点M( - 2,1),斜率为K,当直线L与抛物线y^2=4x只有一个公共点时,斜率K取值的**为__.0,0.5, - 1 有什么简便算法么? - ？
宗圣萍大黄：[答案] 设L方程为y-1=k(x+2),(k不等于0) 即x=(1/k)y-1/k-2,代入抛物线方程得 y^2-(4/k)y+4/k+8=0 Δ=(4/k)^2-4(4/k+8)=0 解得k=0.5或k=-1 当k=0时,L与对称轴平行,符合一个交点 故:k=0.5,k=-1或k=0

浑源县17339081814： 已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过F作两条相互垂直的弦AB,CD的中点分别为M,N - ？
宗圣萍大黄： 抛物线y²=4x的焦点为F(1,0).设过F的弦AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线y²=4x联立消去x得:k²x²-(2k²+4)x+k²=0,X1+x2=(2k²+4)/ k²=2+4/ k².所以中点M的横坐标为1+2/ k²,代入直线AB的方程y=k(x-1)可得 中点M...

浑源县17339081814： 过抛物线y^2=4x的焦点F作斜率为K的直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB的长不超过8,求K的取值范围 - ？
宗圣萍大黄： 焦点(1,0) 所以y=k(x-1)=kx-k 代入 k²x²-2k²x+k²=4x k²x²-(2k²+4)x+k²=0 x1+x2=(2k²+4)/k² 准线x=-1 则A到准线距离=x1-(-1)=x1+1 B到准线距离=x2-(-1)=x2+1 由抛物线定义 抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离 所以AB=AF+BF=A到准线距离+B到准线距离=x1+1+x2+1=x1+x2+2=(2k²+4)/k²+2 AB(2k²+4)/k²+2(2k²+4)/k²2k²+4k²>=1 所以k=1

浑源县17339081814： 若直线l过点( - 1,0),且与抛物线y²=4x只有一个公共点,则直线l的斜率k= - ？
宗圣萍大黄： 郭敦顒回答:直线l过点(-1,0),是抛物线y²=4x的切线,由y²=4x得,y=±2√x 直线l的斜率k=y′=±1/x 直线l的方程按点斜式有:y=(1/x)(x+1)=1+1/x y =1+1/x与y²=4x联立得,1+2/x+1/x²=4x4x3-x²-2x-1=0 解上方程得x=1,直线l的斜率k=±1/x=±1.

浑源县17339081814： 已知抛物线的方程为y^2=4x,直线l过定点p( - 2,1),斜率为k,当k为何值时,直线l与抛物线有一个公共点;有... - ？
宗圣萍大黄： 设直线l:y-1=k(x+2)(由图象,k存在) 所以y^2=4x,y-1=k(x+2)联立得:k^2x^2+(4k^2+2k-4)x+(2k+1)^2=0 有一个公共点:△=0得:k=1/2或-1 有两个公共点:△>0得:-1<k<1/2 无公共点:△<0得:k<-1或k>1/2

浑源县17339081814： 如图,已知抛物线y2=4x,过点P(2,0)作斜率分别为k1,k2的两条直线,与抛物线相交于点A、B和C、D,且M、N分别是AB、CD的中点(1)若k1+k2=0,AP=... - ？
宗圣萍大黄：[答案] (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,则 设直线AB的方程为y=k1(x-2),代入y2=4x,可得y2- 4 k1y-8=0 ∴y1+y2= 4 k1,y1y2=-8, ∵ AP=2 PB,∴y1=-2y2,∴y1=4,y2=-2, ∴yM=1, ∵k1+k2=0, ∴线段AB和CD关于x轴对称, ∴线段MN的长为2; (2)∵k1•k2=...

浑源县17339081814： 已知抛物线y^2=4x,直线l过定点P( - 2,1),斜率为k,当k为何值时直线与抛物线只有一个公共点 - ？
宗圣萍大黄： 已知抛物线y^2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时直线与抛物线只有一个公共点?答: -1≤k≤1/2 过程:y=kx+b1=2k+b --> y=kx+(2k+1) --> x=[y-(2k+1)]/k y²=4x=4[y-(2k+1)]/k --> y²-(4/k)y+(4/k)(2k+1)=0 直线与抛物线只有一个公共点 --> 判别式≥0(4/k)²≥4(4/k)(2k+1)1/k≥2k+1 令:1/k=2k+1 解得:k1=1/2. k2=-1 分析可知:-1≤k≤1/2 证毕!

浑源县17339081814： 已知抛物线方程y^2=4x,直线l过定点P( - 2,1),斜率为K,当K为何值,直线l与抛物线有两个公共点？
宗圣萍大黄： l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1, 代入抛物线方程有(kx+2k+1)^2=4x, 整理后为k^2x^2+(4k^2+2k-4)x+(2k+1)^2=0, 因为有两个交点,所以有 (4k^2+2k-4)^2-4K^2(2K+1)^2 > 0 将左边因式分解,化简, 2K^2+k-1 < 0, -1<k<1/2