已知抛物线C:y^2=4x，O为坐标原点，焦点F关于y轴的对称点E，过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点。

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与这条抛物线交于A.B两点,O为坐标原点~

1.解：设A、B、G坐标为（x1,y1）(x2,y2)（x3,y3） L为y=kx-k (k≠0)
3x3=x1+x2 3y3=y1+y2
将直线方程代入抛物线方程得：
ky^2-4y-4k=0
4(x1+x2)=y1^2+y2^2 =(y1+y2)^2-2y1y2
3y3=4/k
代入化简得：12x3-8=9y3^2
即方程为 12x-8=9y^2
2.解： 设P坐标为（x0，y0）
由已知得：y=x-1 代入抛物线方程为：
y^2-4y-4=0 x^2-6x+1=0
PA⊥PB 所以 (x0-x1)(x0-x2)+(y0-y1)(y0-y2)=0
代入化简得： （x0-1）^2=4(y0+1)
由于P点在抛物线上 代入得
最终结果自己算吧！

解答：（假定A在x轴上方，B在x轴下方）1，抛物线方程为y^2=4x，F为其焦点，则F(1,0) 当直线L斜率不存在时，L：x=1，可知A(1,2)、B(1,-2)
∴向量OA=(1,2) 向量OB(1,-2)
∴向量OA点乘向量OB=1*1+2*(-2)=-3
当直线L斜率存在时，设L的方程为：y=k(x-1)
将此方程与y^2=4x联立化成关于x的方程得：k^2*x^2-(2k+4)x+k^2=0
设A(m1,n1) B(m2,n2) 则m1+m2=(2k+4)/k^2 m1*m2=1
所以(n1)^2*(n2)^2=4m1*4m2=16*m1*m2=16 所以n1*n2=-4
所以向量OA点乘向量OB=m1*m2+n1*n2=1-4=-3
综上：向量OA点乘向量OB=-3
很抱歉，第二问没做出来……

抛物线C:y^2=4x 焦点F（1,0），
F关于y轴的对称点E（-1,0）
设直线l: x=ty-1 代入y^2=4x 得：
y^2=4ty-4 即 y^2-4ty+4=0
Δ=16t^2-16>0,t>1或t<-1
设M(x1,y1), P(x2,y2) 不妨令|y2|>|y1|
则 y1+y2=4t,y1y2=4
∴S△POM=SΔPOE-SΔMOE
=1/2×OE×(|y2|-|y1|)
=1/2|y2-y1|=5/2
∴y2-y1=±5 y1y2=4
∴x1x2= y1²/4×y2²/4=1
y1²+y2²-2y1y2=25
y1²+y2²=25+8=33
OM=(x1,y1),OP=(x2,y2)
cos< OM,OP>
=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)]
=5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)
=5/√(17+4x1²x2+4x1x2²)
=5/√[17+4x1x2(x1+x2)]
=5/√[17+（4x1+4x2)]
=5/√[17+（y1²+y2²)]
=5/√50=√2/2
∴< OM,OP>=π/4
2
L1:x=my+1 代入y^2=4x 得：
y^2=4my+4 即 y^2-4my-4=0
设A(x3,y3), B(x4,y4)
则 y3+y4=4m,y3y4=-4
设 L2:x=-1/my+1与y^2=4x 联立
设交点：D(x5,y5)，G(x6,y6) （改成G不然与前面重）
同理 ：y5+y6=-4/m,y5y6=-4
∴ 向量AD·GB
=(FD-FA)·(FB-FG) （很关键的转换）
=FD·FB-FD·FG-FA·FB+FA·FG
∵ FD·FB=0，FA·FG=0
∴向量AD·GB=-FD·FG-FA·FB
=|FD||FG|+|FA||FB|
=√[(x5-1)²+y5²]·√[(x6-1)²+y6²]+√[(x3-1)²+y3²]·√[(x4-1)²+y4²]
=√[y5²(1+1/m²)·√[y6²(1+1/m²)]+√[y3²(1+m²)·√[y4²(1+m²)] （x5-1=-1/my5 ,.....)
=(1+1/m²)|y5y6|+(1+m²)|y3y4|
=4(1+1/m²)+4(1+m²)
=8+4(1/m²+m²)≥8+8√(1/m²*m²)=16
∴m=±1时，向量AD·GB取得最小值16
（第2问，我也想了很久，开始向量AD·GB想直接做，受挫）

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罗源县18036279317： 已知抛物线C:y^2=4X,O为坐标原点,动直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A、B两点.证明:向量OA*向量OB为定值 求满足向量OM=向量OA+向量OB的M点的轨迹... - ？
饶邓复方：[答案] 设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立y^2=4x,y=k(x+1) 整理得 k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0 k≠0,△=(2k^2-4)^2-4k^4=16-16k^2>0,∴-1

罗源县18036279317： 已知抛物线C:y 2 =4x,O为坐标原点,F为C的焦点,P是C上一点.若△OPF是等腰三角形,则|PO|= - ----- - ？
饶邓复方： ∵抛物线C:y 2 =4x,∴抛物线的焦点坐标为(1,0),∵△OPF是等腰三角形,∴OP=OF或OP=PF或OF=PF(舍去因抛物线上点不可能满足),当OP=OF时,|PO|=|OF|=1,当OP=PF时,点P在OF的垂直平分线上,则点P的横坐标为12 ,点P在抛物线上,则纵坐标为±2 ,∴|PO|=(12 ) 2 +(±2 ) 2 =32 ,综上所述:|PO|=32 或1. 故答案为:32 或1.

罗源县18036279317： 已知抛物线C:y^2=4x,直线L:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点(1)当k=1时,且直线L过抛物线C的焦点时 - ？
饶邓复方： 解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0) 由已知l:y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ,消y得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,x1x2=1 = (2)联立 ,消x得ky2-4y+4b=0(*)(依题意k≠0) , ,设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2,则α+β=45°,tan(α+β)=tan45°, 其中 , ,代入上式整理得y1y2-16=4(y1+y2) 所以 ,即b=4k+4,此时,使(*)式有解的k,b有无数组 直线l的方程为y=kx+4k+4,整理得k(x+4)=y-4 消去 ,即 时k(x+4)=y-4恒成立,所以直线l过定点(-4,4)

罗源县18036279317： 已知抛物线C:y^2=4X,O为坐标原点,动直线l:y？
饶邓复方： 设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立y^2=4x, y=k(x+1) 整理得 k^2x^2+(2k^2-4)x+k^2=0 k≠0, △=(2k^2-4)^2-4k^4=16-16k^2>0, ∴-1<k<1且k≠0 x1+x2=-(2k^2-4)/k^2=-2+4/k^2, x1x2=1 1)OA*OB=x1x2+y1y2=x1x2+k^2(x1+1)(x2+1)=(k^2+1)x1x2+k^2(x1+x2)+k^2=(k...

罗源县18036279317： 已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 - ----- - ？
饶邓复方： 由抛物线方程得:抛物线的准线方程为:x=-1,焦点F(1,0),又P为C上一点,|PF|=4,∴xP=3,代入抛物线方程得:|yP|=2 3 ,∴S△POF=1 2 *|0F|*|yP|= 3 . 故答案为: 3 .

罗源县18036279317： 已知抛物线C:y^2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.是否存在定点M,不论直线l绕点M如何转动,使得1/|AM|^2+... - ？
饶邓复方：[答案] 一个假期不做,我也忘光了.你参考下那人的~

罗源县18036279317： 已知抛物线C:y^2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.？
饶邓复方： 此时直线AB的方程是:x-y-1=0,将其代入抛物线y²=4x中,得:(x-1)²=4x,x²-6x+1=0,得:(x1+x2)/2=3,即AB中点的横坐标是x=3,代入直线方程,得:y=2,即圆心是(3,2),又: |AB|=[√(1+k²)]*|x1-x2|=8,则圆的半径R=(1/2)|AB|=4,则所求圆的方程是:(x-3)²+(y-2)²=16

罗源县18036279317： 抛物线y^2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45 - ？
饶邓复方： 这题还是比较简单的. 设直线AB:y=x+m 联立方程得 y^2-4(y-m)=0所以 y1+y2=4 y1y2=4m, x1+x2=4-2m x1x2=m^2 因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0所以m=-4 所以y=x-4 之后楼主慢算了 怎么算都可以~

罗源县18036279317： 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则 - ？
饶邓复方： 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则三角形ABF的面积=?解:F为抛物线C:y^2=4x的焦点,F(1,0),OF=1 AB的中点为M(2,2) yA+yB=2yM=4 直线AB:y-2=k(x-2) x=(y+2k-2)/k y^2=4x=4*(y+2k-2)/k ky^2-4y+...

罗源县18036279317： 给定抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点,过点F的直线L与C相交于A,B两点,记O为坐标原点.求1、OA向量*OB向量的 - ？
饶邓复方： 解答:(假定A在x轴上方,B在x轴下方)1,抛物线方程为y^2=4x,F为其焦点,则F(1,0) 当直线L斜率不存在时,L:x=1,可知A(1,2)、B(1,-2) ∴向量OA=(1,2) 向量OB(1,-2) ∴向量OA点乘向量OB=1*1+2*(-2)=-3 当直线L斜率存在时,设L的方程为...