已知:在三角形ABC中,角ACB为锐角,D是射线BC上的一动点(D与C不重合),以AD为一边向右侧作等边三角形(C与E不

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合）．以AD为一边向右侧作等边△ADE（C与E不~

（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，△ABC为等边三角形，等边△ADE，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，∴∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，∴直线BD与直线CE所夹锐角为 60°； （2）仍然有直线BD与直线CE所夹锐角为60°，证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，（3）问题（1）中结论不成立，当∠ACB=60°时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60°，证明：①当CD＜AC时，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示），∵∠ACB=60°，∴△GAC是等边三角形，∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠DAE=60°，∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，从而∠CAE=∠GAD，∴△ACE≌△AGD（SAS），∴∠ACE=∠AGD=60°，∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°，②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意． ③当CD＞AC时，延长EC到H，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示）．同（1）可证△ACE≌△AGD．∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°，此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°．

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直
、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成
立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB
∠ACF=90°．即CF⊥B
D．

您提问的原题应该是这样的吧：

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上的一动点(D与C不重合)，以AD为一边向右侧作等边三角形ADE(C与E不重合)，连接CE。
(1) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，则直线BD与直线CE所夹锐角α为____。
(2) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时，你在(1)中得到的结论是否仍然成立? 请说明理由。
(3) 若△ABC不是等边三角形、且BC > AC，试探究当点D 在线段BC上时，你在(1)中得到的结论是否仍然成立? 若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ABC 满足什么条件时，能使(1)中的结论成立，并说明理由。

解：(1) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，
直线BD与直线CE所夹锐角α为 60°
具体到您的提问，
此时 ∠BCE = 120°

(2) 若△ABC为等边三角形，
当点D在线段BC的延长线上时，
(1)中得到的结论成立 。理由如下：
容易证得：△ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ ∠ACE = ∠B = 60°
∴ ∠BCE = ∠ACE + ∠ACB
= 60° + 60°
= 120°
∴ 在(1)中得到的结论成立 。
具体到您的提问，
此时 ∠BCE = 120°

(3) 若△ABC不是等边三角形、
且BC > AC，当点D 在线段BC上时，
(1)中得到的结论不成立 。

当∠ACB=60°时，能使(1)中的结论成立。

具体到您的提问，
若△ABC不是等边三角形，且BC > AC，∠ACB=60°，
试探索当D在线段BC上时∠BCE的度数，说明理由。

此时 ∠BCE = 120° 或 60°。理由如下：

① ∠BCE = 120° 的来历：
此情形下，所作的等边△ADE 全在直线BD的上方。
（即：点D 距离点C 很近）

设 DE 与 AC 交于 点F，

在 △AFE 和 △DFC 中，

∠AFE = ∠DFC （对顶角）
∠AEF = ∠DCF = ∠BCA = 60° （已知）

∴△AFE ∽ △DFC

∴ AF ：DF = EF ：CF

即：AF ：EF = DF ：CF

在 △AFD 和 △EFC 中，
AF ：EF = DF ：CF （已证）
∠AFD = ∠EFC
∴ △AFD ∽ △EFC

∴ ∠ECF = ∠ADF = ∠ADE = 60°

∴ ∠BCE = ∠BCA + ∠ECF
= 60° + 60°
= 120°

② ∠BCE = 60° 的来历：
此情形下，
所作的等边△ADE 有一部分在直线BD的下方，
（ 即：点D 距离点B 很近）

设 DE 与 AC 交于 点N，

在 △ANC 和 △DNE 中，

∠ANC = ∠DNE （对顶角）
∠ACN = ∠DEN = ∠DEA = 60° （已知）

∴△ANC ∽ △DNE
∴ AN ：DN = NC ：NE

即：AN ：CN = DN ：NE

在 △AND 和 △CNE 中，

AN ：CN = DN ：NE （已证）
∠AND = ∠CNE

∴ △AND ∽ △CNE

∴ ∠ECN = ∠DAN = ∠DAE = 60°

即：∠BCE = 60°

解后评析：
① 该类题在2009年的网页上颇为盛行，但细致、完美的解答寥若晨星，而且还有一 种怪现象：提问者眼睁睁不采纳正确解答、反而采纳错误的解答；

② 如果题设改为 “以AD为一边向右侧作正方形ADEF”，敬请提问者一并探究。

：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．
（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

（3）补全图形如下图：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．

你的题目缺少一点条件，比如说：E是什么点，最好还能把图画一下，这样答起来方便很多。补充一下，我再来

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临汾市15698439148： 已知:在三角形ABC中,角ACB为锐角,D是射线BC上的一动点(D与C不重合),以AD为一边向右侧作等边三角形(C与E不 - ？
战侮卡米： 您提问的原题应该是这样的吧: 已知:在△ABC中,∠ACB为锐角,D是射线BC上的一动点(D与C不重合),以AD为一边向右侧作等边三角形ADE(C与E不重合),连接CE. (1) 若△ABC为等边三角形,当点D在线段BC上时,则直线BD与直...

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战侮卡米： (1) 直线BD与直线CE所夹锐角α为: 0°60°, ∴ 在(1)中得到的结论不成立 . (3) 不成立 . 当∠ACB=60°时,能使(1)中的结论成立, ∵ 当∠ACB=60°时,点D在线段BC上 , 0°

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