近世代数理论基础16：群在集合上的应用
设 是一个群,X是一个集合, 表示集合X上的变换群,即X上全体一一映射按照映射的合成构成的群
若存在同态 ,即 ,有 ,则 ,有
若用 表示 ,则
由 是同态,把单位元映为单位元,令e为群G中的单位元,则 即为变换群 中的单位元,即X上的恒等映射,故 ,有
上述映射是 到X上的一个映射, , 满足上面的公式,用 表示 的像,可认为g(x)是群G中的元g对集合X中的元x作用的结果
定义：设G是群,X是一个集合,若存在一个映射 ,将 在 下的像记作 ,满足条件：
1.设e为G的单位元, ,有
2. ,有
则称群G作用在集合X上
设群G在作用集合X上,则可诱导出集合X上的一个关系 ,易证R为集合X上的等价关系,在该等价关系下,元 所在的等价类称为轨道,记作
由等价关系的基本结果,集合X被划分为若干个互不相交的轨道的并,若该等价关系只有一个轨道,则称群G在集合X上的作用是传递的
例：
1.设 , ,易知 ,令 为所有左陪集的集合
即 , ,定义 ,设e为G中的单位元, ,有 , ,由群的结合律,
故群G作用在X上,用1表示(1)H,2表示(12)H,该映射如下
上表表明,G在集合X上的上述作用诱导出群G到群 上的一个同态
2.设群 ,集合 , ,定义
令e为群G的单位元,则 ,有
故群G作用在集合X上,这样定义的作用对任意的G及集合X=G都成立,称为共轭作用,X中的轨道称为共轭类,该映射如下
三个轨道： , ,
3.设 ,易证 ,令 , ,
易知群G作用在集合X上
两个轨道： ,
设群G作用在集合X上,设 ,若 ,则称x是g的不动点, ,定义集合
,有 ,故 ,即 ,故 是G的子群,称为元x的稳定子群
定理：设群G作用在集合X上,则 ,有
证明：
,
令
为x所在的轨道,并假设 为有限集
,由子群的陪集分解
G可分解为若干互不相交的陪集的并
若陪集的代表元选择为 ,则
,有
例：求正四面体 的旋转群G
注：旋转置换,即以一个顶点到对面的垂线为旋转轴,旋转之后和原来的正四面体重合,从而是对四个顶点做置换,故G为 的子群
解：
定理：设G是有限群,X是有限集,群G作用在集合X上,令N表示轨道的个数,则 ,其中
证明：
若将群G在集合X上的作用看作G到变换群 中的同态f,则核为
令 ,由同态基本定理,
例：设G是群, ,令 为所有左陪集的集合, ,定义 ,将群G在X上的作用看作群同态f,则核为
近世代数理论基础16:群在集合上的应用
用简单具体的置换群研究一般的抽象的有限群 设 是一个群,X是一个集合, 表示集合X上的变换群,即X上全体一一映射按照映射的合成构成的群 若存在同态 ,即 ,有 ,则 ,有 若用 表示 ,则 由 是同态,把单位元映为单位元,令e为群G中的单位元,则 即为变换群 中的单位元,即X上的...
近世代数基础内容介绍
第一章通过探讨“对称性”引出群的概念；第二章深入剖析群论基础；第三章涵盖了环、域和模的介绍；第四章则探讨了有限域和Calois理论，这些都是现代代数的基石。附录部分，作者精心介绍了计算代数几何中的核心工具——Grobner基和Buchberger算法，这对于进一步研究和实践具有重要意义。总的来说，《近世代...
近世代数基础图书目录
近世代数基础图书目录涵盖了深入浅出的理论内容，以下章节概述:第一章，探索对称与群的奥秘：从平面运动群的探讨，到数域的对称性分析，再到多项式的对称性质，这部分深入剖析了对称在代数中的核心地位。第二章，群论基础：逐步揭示群的概念，包括群的定义、子群的构成、生成元集的作用，以及有限群和交换...
高等学校教材:近世代数目录
以下是高等学校教材《近世代数》的目录概览：引言 介绍近世代数的基本概念和重要性第一章 基本概念 §1 集合 - 定义和基本性质 §2 映射与变换 - 变换的定义与应用 §3 代数运算 - 各类运算的规则和举例 §4 运算律 - 结合律、交换律等 §5 同态与同构 - 群与环的基本结构理论 §6 ...
近世代数理论基础2:映射
若映射f的定义域A和值域B相同,即 ,则称映射f是定义在集合A上的映射 对于任意 ,存在唯一 与之对应,在定义映射时,若元a有不同的表示形式,则 必须与a的表示形式没有关系 令 ,定义对应法则 如下：则f不是从A到B的映射 显然 矛盾 单射：若 , 时有 ,则称f是单射 满射：若 ,...
近世代数理论基础13:循环群
1.Z关于加法" "构成一个循环群,由1生成,即 2.整数模m的剩余类加法群 是由 生成的循环群,即 注：1.循环群在同构的意义下只有两个 2.循环群的子群仍是循环群 3.循环群是最简单的一类群,其中有限循环群比较常用 定理：设群G是由a生成的循环群,则 1.若 ,则 2.若 ,则 证明：定理...
近世代数基础的图书目录
整环的整除理论§6 环的表示与模第四章 多项式的分裂域§1 域§2 分裂域§3 有限域（分裂域的一个应用)§4 正规扩域（分裂域续)§5 galois基本定理§6 一个例子§7 尺规作图不能问题§8 用根式解代数方程问题§9 有限域的一个应用——编码附录多元多项式环（代数几何初步)§l 代数簇§2 ...
近世代数理论基础11:陪集分解
3.若 ,则 ,故 ,即 定义：设G是群, , ,集合 称为a关于H的左陪集 例：1.设 , 是 的子群,则 关于子群H的所有左陪集为 3. 是 的子群 所有陪集为 4.令 ,设 ,Z关于H的陪集为 故所有左陪集的集合为 设G为群, , 为等价关系, ,a的等价类为 定理：设G是群...
近世代数理论基础17:群的应用
一个n次本原单位根可生成所有的n次单位根 方程 在复数范围内有n个根 ,其中 令 ,则S关于复数的乘法法构成一个n阶循环群,故 是本原单位根 n元多项式 ,若 ,有 ,则称为对称多项式 对称多项式与对称群 有关 中的元 是 这n个数码的一个置换 设 为任一多项式,定义 在 上的...
近世代数观点下的高等代数内容简介
本书首先概述了高等代数的基础组成部分，包括多项式理论、矩阵理论、向量空间和线性变换等核心概念，以及欧氏空间和二次型等基本理论。这些内容为后续深入研究奠定了坚实的基础。在近世代数部分，本书详细探讨了群、环、域和模等代数结构，特别关注了主理想整环上的模理论。其中，有限生成模的循环分解定理是...
於枝玛尔：[答案] 群在集合上的作用,Sylow定理.
德州市19764569795： 怎样理解近世代数中群的概念 - ？
於枝玛尔： 尽量举一些例子,然后抽象出他们的共同的性质.比如{Z,+},{Q*,*},{GL(K,n),*},某个集合S上的变换群,等等. 他们都在某个集合G上定义了一种代数运算即乘法,乘法有结合律,有一个幺元,每个元都有逆元,这样的集合和运算{G,*}就是群的概念.
德州市19764569795： 近世代数中群怎么样来理解? 急急急急!!谢了!! - ？
於枝玛尔： 好笼统的问题,有定义有例子就够了,剩下的就看你想怎么理解了
德州市19764569795： 近世代数的理论构成 - ？
於枝玛尔： 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作,格论确定了在代数学的...
德州市19764569795： 群论中,什么叫做“n个文字的置换群”? - ？
於枝玛尔： 这里引用的是科学出版社杨劲根编著的《近世代数讲义》中的定义哦~ 定义比较多,层层往前QAQ~那么开始惹O(∩_∩)O 1:设n是一个自然数,从集合{1,2,3,…,n}到它自身的一个双射称为n个文字的一个置换. 2:这里的1,2,3,…,n并没有数量上...
德州市19764569795： 数学上的群,域,环等有什么区别和联系 - ？
於枝玛尔： (1)群:集合G上定义了二元运算记作“ * ”,满足以下四个条件: 1. 封闭性.2.结合律.3.含幺.4.有逆. 那么该集合和二元运算一起构成的代数结构(G,*)称作一个群. (2)Abel群:二元运算还满足交换律的群.所以Abel群也叫做交换群,...
德州市19764569795： 初中数学中涉及的近世代数内容 - ？
於枝玛尔： 近世代数内容包括: 整数、多项式、实数、复数、矩阵代数、线性群、行列式和标准型、布尔代数和格、超限算术、环和理想、代数数域和伽罗华理论等. 近世代数简介: 近世代数即抽象代数. 代数是数学的其中一门分支,当中可大致分...
德州市19764569795： 近世代数里面的群U(n)表示是什么意思 - ？
於枝玛尔： 表示小于正整数n的且与n互素的所有正整数的集合在乘法*下的群 其中乘法*号表示 m*k=s(modn)(即取余数)
德州市19764569795： 近世代数中的群的课外资料和论文?？
於枝玛尔： 抽象代数即近世代数. 代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支,当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分. 初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论,主要研究某一方程〔组〕是否可解,如何求出方程所有的根〔包括近似根〕...
德州市19764569795： 设H是群G的子群,证明:对任意的g属于G ,集合K={g^ - 1hg|属于H}是G的子群,并证明H与K之间群同构 - ？
於枝玛尔： ⑴. 看任意k∈K.k=g^-1hg, h∈H. H是子群,h^-1∈H.从而k^-1=(g^-1hg)^-1=g^-1(h^-1)g∈K.①又设:j=g^-1rg∈K,r∈H.kj=(g^-1hg)(g^-1rg)=g^-1hjgH是子群,hj∈H,从而kj∈K.②.从①②,K也是子群.⑵. 作H到K的映射f:h→f(h)=g^-1hg.容易验证f是H到K的单全射,并且f(h^-1)=(f(h))^-1,f(hj)=f(h)f(j)[h、j∈H][验证就留给楼主啦!]∴f是H与K之间的一个(群)同构映射.即H与K是(群)同构的.
