近世代数理论基础17：群的应用
一个n次本原单位根可生成所有的n次单位根
方程 在复数范围内有n个根 ,其中
令 ,则S关于复数的乘法法构成一个n阶循环群,故 是本原单位根
n元多项式 ,若 ,有 ,则称为对称多项式
对称多项式与对称群 有关
中的元 是 这n个数码的一个置换
设 为任一多项式,定义 在 上的作用：
故 是对称多项式 ,有
由任一置换都可表成一些对换的乘积,故 是对称多项式 ,有
例：n=3时, ,取 ,则
是一个对称多项式
若取 ,则
也是一个对称多项式
例：在苯环上结合 ,一共可形成多少种不同的化合物
解：
RSA公钥密码
成立一个密码管理中心,使用密码的每个用户都需要取密码管理中心登记,每个用户在登记时,密码管理中心为用户选取一个大整数 ,其中p和q是两个不同的大素数
中心可计算欧拉函数 ,用户选择一个小于 且与它互素的正整数e
由辗转相除法可得整数d,l使 ,即
用户将n和e公开,将d,p,q保密,仅用户与中心知道
e称为该用户的公开密钥或加密密钥,d称为该用户的秘密密钥或解密密钥
在选择n时,n要选得足够大,使得在现有的技术条件下,因子分解n是不可能的
若不知道p和q则无法计算欧拉函数
只要知道了一个用户(A)的公开密钥e,任何人(B)都可向他发送加密信息,在计算机中,一个信息都由0和1组成的数字串表示,设B要发给A的信息m为 ,利用二进制,可将m表为一个整数 ,假设 ,B可利用A的公开密钥e将信息m加密,得到密文 ,B将密文c通过公开的信道发给A,A收到密文后,利用他的秘密密钥d解密,计算 ,由欧拉定理, ,A就从密文c得到了明文m
注：假设m与n互素,实际上m为p或q的倍数的可能性很小
任何人都可从公开信道上截获密文c,但由于他不知道A的秘密密钥d,因而很难从c算出m,若秘密密钥d泄露出去,该密码就被破译了
若不知道 ,很难从已知的公开密钥e推算出秘密密钥d,若知道 ,就相当于知道n的因子分解
由 可知p和q是二次方程 的根,故RSA公钥密码的安全性与因子分解问题密切相关,若n能被分解,该密码就能破了
近世代数辅导及习题精解图书目录
下面是近世代数辅导及习题精解的部分内容，详细覆盖了各个章节:第1章，预备知识，首先介绍了基础知识点，包括概念解析和核心理论。接着，精心挑选的典型例题进行深入剖析，帮助读者理解和掌握。每章最后设有自测题，以检验学习效果，并附有详细的解答，便于自我检验。第2章，群论，深入讲解了群论的基本概念...
近世代数辅导及习题精解内容提要
为了助力大学生更好地掌握近世代数，增强学术素养和问题解决能力，我们特此编撰了一本教材。该书遵循理论与实践相结合、教学与应试并重的原则，旨在满足课程教学的需求。全书共分为四章，循序渐进地展开，从预备知识开始，依次深入到群、环、域的概念。每一章都精心设计了三个部分：知识点精要：这部分...
关于近世代数基础内容方法意义的认识
近世代数是关于群环域理论的学科，讲述群环域的基本概念和性质，是对运算的深层次刻画，将普通的对某些数或某些函数等等的运算，抽象成在集合上的定义运算，以研究他们的共性
近世代数理论基础30:多项式的分裂域与正规扩张
定义： 是域F上的n次多项式, 是 的一个扩张,若 1.在 上 能分解成一次因子的乘积 2.则称E为 在F上的一个分裂域,或 在F上的分裂扩张 例：1. 是多项式 在 上的分裂域 在 上 分解为 2.多项式 的两个根为 ,故 在 上的分裂域为 3. 是多项式 在 上的分裂...
近世代数理论基础31:可分扩张
定义：设F是一个域,E是F的一个代数扩张, 为E中的元,若 在F上的极小多项式没有重根,则称 在F上是可分的,若E中任一元在F上都是可分的,则称E为F的一个可分扩张,否则称E为F的一个不可分扩张 引理：设 是域F上的一个不可约多项式,若 ,则 没有重根,若 ,则 有重根当且...
近世代数引论内容简介
近世代数引论，作为代数学的基础分支，主要探讨代数的基本结构及其特性。该书，即《近世代数引论(第3版)》，致力于系统地讲解群、环和域的基础理论，涵盖了诸如域的有限伽罗瓦扩张等核心内容。作者在书中特别注重展现近世代数中的核心思想和方法，通过大量的习题，引导读者深入理解和应用这些理论。在编写...
近世代数的理论构成
抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并...
近世代数理论基础32:有限域
由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域 整数模p的剩余类环 是一个有p个元的有限域 显然,任一有限域F包含的素域一定是 ,而不可能是 F是 的一个有限扩张,因而 ,F可看作 上的一个n维向量空间 设 是F在 上的一组基,则F中每个元可唯一表成 F中恰有 个元 定理：任一...
近世代数理论基础9:几个例子·群的乘法表
设m是任一正整数,记 为整数模m的所有剩余类的集合,则集合 构成整数集Z的一个划分, , ,在 上定义运算" "： , 是一个交换群,称为整数模m的剩余类加群 证明：中心在原点,边与坐标轴平行的正方形,设R表示将正方形ABCD逆时针旋转 的旋转变换, 分别表示以x轴,y轴,直线AC,直线...
近世代数在各学科中的应用广泛性如何?
无论你是希望深入理解代数理论的学者，还是需要这些知识来推动研究或解决实际问题的科技工作者，《近世代数应用基础》都将是你的理想选择。它不仅涵盖了理论的深度，更注重理论与实践的结合，帮助读者将抽象的代数理论转化为实用的工具。通过阅读这本书，你将更好地理解代数在现代科学中的核心地位，以及它...
岛忠中诺： 群环域是基本的概念,近世代数主要研究群环域上的性质
商南县19861924167： 近世代数中的群的课外资料和论文?？
岛忠中诺： 抽象代数即近世代数. 代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支,当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分. 初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论,主要研究某一方程〔组〕是否可解,如何求出方程所有的根〔包括近似根〕...
商南县19861924167： 近世代数的内容 - ？
岛忠中诺： 近世代数内容包括:整数、多项式、实数、复数、矩阵代数、线性群、行列式和标准型、布尔代数和格、超限算术、环和理想、代数数域和伽罗华理论等.近世代数简介:近世代数即抽象代数. 代数是数学的其中一门分支,当中可大致分为...
商南县19861924167： 近世代数的理论构成 - ？
岛忠中诺： 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作,格论确定了在代数学的...
商南县19861924167： 如何自学抽象代数 - ？
岛忠中诺： 1、抽象代数(近世代数)不需要其他的基础知识(有线性代数或高等代数的知识更好),主要是研究群、环、域里面的性质.其中你只要主意一点,弄清楚符号所代表的东西,他们之间的运算、性质等,举个简单的例子:a是群里面的一个元素...
商南县19861924167： 能帮忙用英文翻译一下吗? 置换群的性质分析与应用是近世代数这门课程里的很重要的一个知识点!它在整个近 - ？
岛忠中诺： colleagues: which know how to put ＂this article mainly introduced the basic concept of displacement and some special properties of displacement, and use their related properties of some practical problem.＂
商南县19861924167： <近世代数> 群与环有何异同点?至少分别三点!!急阿!!!!! - ？
岛忠中诺： 这个,有教材的话,很清楚啊:1、群G是带有一个二元运算的代数结构,环R上有两个二元运算.所以二者有本质的差别,列个一二三有点搞笑.2、若称...
商南县19861924167： 近世代数证明题一般出哪一章的,循环群?变换群?置换群?正规子群?群同态基本定理?理想? - ？
岛忠中诺：[答案] 群在集合上的作用,Sylow定理.
