三角形的内心、外心、中心、重心、垂心怎样判定，它们的性质有哪些？

三角形的内心、外心、中心、重心、垂心，分别怎样判定，而且它们的性质各有哪些？~

内心：三条内角平分线的交点，内切圆的圆心；到三条边的距离相等；
外心：三边的垂直平分线的交点，外接圆的圆心；到三个顶点的距离相等；
中心：一般不考虑这个，因为中心对称图形才有中心，而三角形不是中心对称图形；
重心：三条中线的交点；
垂心：三条高线的交点。

【内心】
是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

详细释义
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的

【外心】
指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。

详细：
指三角形三条边的垂直平分线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
O为外接圆圆心,OA=OB=OC
三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。 计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

【重心】
重心是三角形三边中线的交点

重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

【垂心】
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

详细 ：
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清。

【中心】
与三边距离相等的点，似乎和内心一样（你最好去别的地方查证一下，这个百科没有）



【总的概括】
重心 三角形三条中线的交点 性质：分三条中线比为2:1
内心 三角形三条角平分线的交点 性质：到三边距离相等
垂心 三角形三条高的交点 性质：由三角形的垂心可以造成的四个等(外接)圆三角形 外心 三角形三边中垂线的交点 性质：到三顶点距离相等


从百科上拉的 呵呵 学习愉快~

一、三角形的外心

定义：

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质：

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6.S△ABC=abc/4R

二、三角形的内心

定义：

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质：

1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

3.r=2S/(a+b+c)

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

三、三角形的垂心

定义：

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质：

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）

12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上

13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。

15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

四、三角形的重心

定义：

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

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绍兴县17824487525： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
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绍兴县17824487525： 三角形的＂内心、外心、中心、重心、垂心”的具体概念? - ？
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职待腹膜： 外心:三角形外接圆的圆心 垂心:三角形三边高的交点 重心:三角形三条中线的交点 内心:三角形内切圆的圆心 中心【好像没这个概念】

绍兴县17824487525： 外心,内心,中心,重心,垂心各是什么? - ？
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