如何判断三角形的外心、重心、内心、垂心？
判断三角形的外心、重心、内心、垂心需要根据这些点的定义和求解公式进行判断。下面是每个点的定义和求解公式：
1. 外心：三角形外接圆的圆心，是三条中线的交点。
求解公式：三角形任意两边的垂直平分线的交点即为外心。
2. 重心：三角形三条中线交于一点，这个点叫做重心。
求解公式：三角形三个顶点连线和所对的重心在一条直线上，重心离两个顶点的距离：
3. 内心：三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点。
求解公式：三角形任意两边和它们夹角的平分线的交点即为内心。
4. 垂心：三角形三条高交于一点，这个点叫做垂心。
求解公式：对于任意三角形ABC，假设D、E、F分别是AB、BC、CA上的垂足，则垂心H为三条垂线AD、BE、CF交点。
要判断一个三角形的各个特殊点，首先需要有三角形顶点的坐标或边长等必要的条件，然后代入对应的求解公式即可求得各个特殊点。
http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/9cbd56a84603cafb1f17a242.html
三角形顶点坐标:
A(x1;
y1);
B(x2;
y2);
C(x3;
y3);
④重心G(x4;y4);
x4=(x1+x2+x3)/3;
y4=(y1+y2+y3)/3;
⑤外心W(x5;y5);
根据外心到各顶点的距离相等:
AG=BG;
AG=CG;
即:
Sqrt[(x1
-
x5)^2
+
(y1
-
y5)^2]
==
Sqrt[(x2
-
x5)^2
+
(y2
-
y5)^2],
Sqrt[(x1
-
x5)^2
+
(y1
-
y5)^2]
==
Sqrt[(x3
-
x5)^2
+
(y3
-
y5)^2]
解得:
x5
=
(x2^2
y1
-
x3^2
y1
-
x1^2
y2
+
x3^2
y2
-
y1^2
y2
+
y1
y2^2
+
x1^2
y3
-
x2^2
y3
+
y1^2
y3
-
y2^2
y3
-
y1
y3^2
+
y2
y3^2)/(2
(x2
y1
-
x3
y1
-
x1
y2
+
x3
y2
+
x1
y3
-
x2
y3));
y5
=
-(-x1^2
x2
+
x1
x2^2
+
x1^2
x3
-
x2^2
x3
-
x1
x3^2
+
x2
x3^2
-
x2
y1^2
+
x3
y1^2
+
x1
y2^2
-
x3
y2^2
-
x1
y3^2
+
x2
y3^2)/(2
(x2
y1
-
x3
y1
-
x1
y2
+
x3
y2
+
x1
y3
-
x2
y3));
⑥内心N(x6;y6);
根据内心到各边的距离相等:
先求内心到各边垂线垂足与顶点的距离;
1/2
(Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
+
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
-
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2]);
1/2
(Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
-
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
+
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2]);
1/2
(-Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
+
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
+
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2]);
计算内心到个顶点的距离;根据勾股定理计算内心到各边的距离,根据距离相等列方程:
(x1
-
x6)^2
-
1/4
(Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
+
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
-
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2])^2
+
(y1
-
y6)^2
==
(x2
-
x6)^2
-
1/4
(Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
-
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
+
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2])^2
+
(y2
-
y6)^2,
(x1
-
x6)^2
-
1/4
(Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
+
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
-
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2])^2
+
(y1
-
y6)^2
==
(x3
-
x6)^2
-
1/4
(-Sqrt[(x1
-
x2)^2
+
(y1
-
y2)^2]
+
Sqrt[(x1
-
x3)^2
+
(y1
-
y3)^2]
+
Sqrt[(x2
-
x3)^2
+
(y2
-
y3)^2])^2
+
(y3
-
y6)^2
解得:
x6
=
(x2^2
y1
-
x3^2
y1
-
x1^2
y2
+
x3^2
y2
-
y1^2
y2
+
y1
y2^2
+
x1^2
y3
-
x2^2
y3
+
y1^2
y3
-
y2^2
y3
-
y1
y3^2
+
y2
y3^2
+
y2
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
-
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
y3
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
-
y1
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
+
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
y3
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
+
y1
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
-
y2
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2])/(2
(x2
y1
-
x3
y1
-
x1
y2
+
x3
y2
+
x1
y3
-
x2
y3));
y6
=
-(-x1^2
x2
+
x1
x2^2
+
x1^2
x3
-
x2^2
x3
-
x1
x3^2
+
x2
x3^2
-
x2
y1^2
+
x3
y1^2
+
x1
y2^2
-
x3
y2^2
-
x1
y3^2
+
x2
y3^2
+
x2
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
-
x3
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
-
x1
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
+
x3
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x2
+
x2^2
+
y1^2
-
2
y1
y2
+
y2^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
+
x1
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2]
-
x2
Sqrt[x1^2
-
2
x1
x3
+
x3^2
+
y1^2
-
2
y1
y3
+
y3^2]
Sqrt[x2^2
-
2
x2
x3
+
x3^2
+
y2^2
-
2
y2
y3
+
y3^2])/(2
(x2
y1
-
x3
y1
-
x1
y2
+
x3
y2
+
x1
y3
-
x2
y3));
⑦垂心H(x7;y7);
分别做高线:
AH⊥BC;BH⊥AC;
(y1
-
y7)/(x1
-
x7)
(y2
-
y3)/(x2
-
x3)
==
-1,
(y2
-
y7)/(x2
-
x7)
(y1
-
y3)/(x1
-
x3)
==
-1
解得:
x7
=
-(x1
x2
y1
-
x1
x3
y1
-
x1
x2
y2
+
x2
x3
y2
+
y1^2
y2
-
y1
y2^2
+
x1
x3
y3
-
x2
x3
y3
-
y1^2
y3
+
y2^2
y3
+
y1
y3^2
-
y2
y3^2)/(-x2
y1
+
x3
y1
+
x1
y2
-
x3
y2
-
x1
y3
+
x2
y3);
y7
=
-(x1^2
x2
-
x1
x2^2
-
x1^2
x3
+
x2^2
x3
+
x1
x3^2
-
x2
x3^2
+
x1
y1
y2
-
x2
y1
y2
-
x1
y1
y3
+
x3
y1
y3
+
x2
y2
y3
-
x3
y2
y3)/(x2
y1
-
x3
y1
-
x1
y2
+
x3
y2
+
x1
y3
-
x2
y3);
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嘉禾县18921772647： 三角形的中心,重心,外心,内心怎么区分 - ？
霜庄复方： 答:内心:三条角平分线的交点. 重心:三条高的交点. 外心:三个外角角平分线的交点. 中心:三角形同心圆的圆心.
嘉禾县18921772647： 三角形的外心,垂心,重心,内心怎么判断 - ？
霜庄复方： 外心:三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点.垂心:三角形三边高的交点.重心:三角形三边中线的交点.内心:三个角的角平分线的交点,依此判断.
嘉禾县18921772647： 三角形里的内心,外心,中心,重心怎么找? - ？
霜庄复方：[答案] 垂心是三角形三条高的交点 内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心 重心是三角形三条中线的交点 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交...
嘉禾县18921772647： 三角形的内心、外心、重心在哪? - ？
霜庄复方： 三角形的内心是三条角平分线的交点,到三边的距离相等,内切圆圆心 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等,外接圆圆心 三角形的重心是三条中心的交点,中线的三等分点(到角顶点的距离远)
嘉禾县18921772647： 什么叫做三角形的重心,外心,内心. - ？
霜庄复方：[答案] 重心:三条中线的交点(重心到点的距离与到边的距离之比为2:1) 外心:三条中垂线的交点(三角形外接圆圆心) 内心:三条角平分线的交点(三角形内切圆圆心)
嘉禾县18921772647： 什么是三角形的外心、内心、重心 - ？
霜庄复方：[答案] 三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心 三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心 三角形的三条边的中线交于一点,该点叫做作三角形的重心
嘉禾县18921772647： 重心 垂心 外心 内心 的区别 - ？
霜庄复方：[答案] 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;
嘉禾县18921772647： 三角形的中心,重心,内切圆圆心,外接圆圆心,垂心,都怎样确定? - ？
霜庄复方： 重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 当且仅当三角形是正三角形的时候,三心合一心,称做正三角形的中心.
嘉禾县18921772647： 如何区别三角形的中心 重心 垂心 外心 和内心又如何画呢 - ？
霜庄复方：[答案] 重心:三条中线交点. 垂心:三条高线交点. 外心:三条边的垂直平分线交点. 内心:三条角平分线交点. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.
