数学题如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ABC内,且PA=根号3 , PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.

在三角形ABC中，AB=2AC，角BAC=60度，P为三角形内一点，PA=根号3，PB=5，PC=2。求三角形的面积~

【解】AB=2AC，角BAC=60度，
设AC=x,则AB=2x,根据余弦定理可得：
BC^2=x^2+4x^2-2•x•2x•cos60°，BC=√3x.
所以AB^2=AC^2+BC^2，∠ACB=90°.
延长AC到点D,使得CD=AC,连结BD.
则△BAD是等边三角形。

注意到∠BAC=60°，将△BAP绕点B顺时针旋转60°，到达△DAE的位置。
则AE=AP=√3，∠PAE=60°，△PAE是等边三角形。
PE=√3.

△PAD中，PC是AD边的中线，设PD=y,
利用如下结论：平行四边形两条对角线长的平方和等于它的四条边的平方和。
则有4^2+(2x)^2=(√3)^2+y^2+(√3)^2+y^2,
所以y^2=2x^2-1.

在△PED中，PE=√3，ED=PB=5，PD=y,根据余弦定理得：
Cos∠PED=(3+25- y^2)/(10√3)=(28- y^2) /(10√3)
=(29-2x^2) /(10√3).
所以sin∠PED=√[1- Cos²∠PED]= √[300-(29-2x^2) ²]/(10√3).

在△AED中，AE=√3，ED=5，AD=2X,
∠AED=∠PED+∠PEA=∠PED+60°,
cos∠AED=cos(∠PED+60°)=cos∠PED cos60°-sin∠PED sin60°
=(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20.
根据余弦定理得：AD²= AE²+ ED²-2•AE•ED•cos∠AED,
即4x²=3+25-10√3•{(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20},
28-4x²=(29-2x^2) /2-√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2,
√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2=(6 x²-27)/2,
300-(29-2x^2) ²=3(2 x^2-9) ²,
16x^4-224x^2+784=0,
x^4-14 x^2+49=0,
x^2=7.

∴直角三角形BCA的面积=√3 x²/2=7√3/2.

解析：以A为顶点做∠PAD=60°，使AD=AP，连接CD，易得△APD为正三角形，
∴PA=PD=AD,∠ADP=60°，
易证△ADC≌△APB,∴CD=PB,
由PA^2+PB^2=PC^2，得PD^2+CD^2=PC^2
则△PDC是∠PDC=90°的直角三角形，
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°,
在△ADC中，AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos150°
=PA^2+PB^2+√3*PA*PB
即25+12√3=5*5+√3*PA*PB
∴PA*PB=12
联立PA^2+PB^2=PC^2=25，
解之得，PA=4,PB=3或PA=3,PB=4

解题思路：
（1）先证明△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形；
（2）利用作对称图形的方法 求出△ABC的面积。

详细解答：
（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB

∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°

∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°

而 ∠BAC=60°

∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°

（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，

连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。

同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。

连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。

∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6

由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2

即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

解题思路：
（1）先证明△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形；
（2）利用作对称图形的方法 求出△ABC的面积。

详细解答：
（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB

∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°

∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°

而 ∠BAC=60°

∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°

（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，

连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。

同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。

连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。

∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6

由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2

即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2 参考资料：http://z.baidu.com/question/240398412.html

：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

详细解答：
（1）在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC，AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB

∵ AD=AC，且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°

∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°

而 ∠BAC=60°

∴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°

（2）分别作点P关于AC的对称点P1，
作点P关于AB的对称点P2，
作点P关于BC的对称点P3，

连AP1 连AP2 连P1P2，由对称性 知：
△AP1P2 是等腰三角形，且有AP1 = AP2 = √3，P1P2 = 3，∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为：S△P1AP2 = （3√3）/ 4。

同理，△BP2P3 是等边三角形，且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5，∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为：S△BP2P3 = （25√3）/ 4。

连CP1 连CP3，
则CP1 = CP = 2， CP3 = CP = 2，∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°，即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中，P1P2 = 3， P1P3 = 4，P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△，其面积为：S Rt△P1P2P3 = 6。

∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=（3√3）/ 4 +（25√3）/ 4 + 6
= 7√3 + 6

由对称性 知：
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC

∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= （1/2）× （S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 ）
= （1/2）× （7√3 + 6）
= （7√3 + 6）/ 2

即：△ABC的面积 为 （7√3 + 6）/ 2

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黄南藏族自治州18935882669： 数学题,如图,已知在三角形ABC中,∠ BAC=90度,AD⊥BC于点D,∠ B的平分线交AD于点G,交AC于点E,EF⊥BC于点？
冶虎沙棘： 由角B的平分线,又EF⊥BC,EA⊥BA,可推出AE=EF,BA=BF,可正处△ABE≌△BFE,从而可知,角AEG=角GEF,又AE=EF,GE=GE推出△AGE≌△FGE,所以角DAC=角EFG,又角EFG=角FGD,所以推出角DAC=角FGD,∴GF∥AC,又EF∥AG∴四边形AEFG是平行四边形,又∵AE=EF,∴四边形AEFG是菱形

黄南藏族自治州18935882669： 初二数学题.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向 ？
冶虎沙棘： 证明:∵△ABD绕D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置. ∴∠BAD=∠CED,AB=EC,∠BDC=∠ADE=60,AD=ED ∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=120 ∴∠CED+∠DAC=120 ∵∠ADE=60 ∴ADE是三角形,且C点在AE上 ∴A、C、E三点共线 ∵∠ADE=60,AD=ED ∴△ADE是等边三角形,即:AD=DE=AE,∠CED=60 ∵AE=AC+EC=AC+AB=2+3 ∴AD=2+3=5 ∵∠BAD=∠CED,∠CED=60 ∴∠BAD=60

黄南藏族自治州18935882669： 7年级数学题如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=75 ？
冶虎沙棘： (1)由三角形内角和算得∠ABC=65°由角平分线定义得∠1=32.5°∠2=37.5°所以∠BIC=110°规律:∠BIC=90°+0.5∠BAC (2)∠3=0.5(∠BAC+∠ACB)∠4=0.5(∠BAC+∠...

黄南藏族自治州18935882669： 如图,△ABC中,求∠BAC的度数 - ？
冶虎沙棘： 解:∵AD ,CD是角平分线 ∠ADC=180°-1/2(∠ACB +∠BAC )=130° ∴1/2(∠ACB +∠BAC )=50° ∴∠ACB +∠BAC=100° ∴∠ABC=80° ∵AB=AC ∴∠ACB=80° ∴∠BAC=20°

黄南藏族自治州18935882669： 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°AD⊥BC于D,E是AB上的一点,AF⊥CE于F,AD交CE于G点,求证:∠B=∠CFD - ？
冶虎沙棘： 证明:因为∠AFC=∠ADC=90度 所以A、C、D、F四点共圆 所以∠CFD=∠CAD 因为,∠BAC=90° 所以∠B+∠ACB=90度 因为AD⊥BC 所以∠CAD+∠ACB=90度 所以∠B=∠CAD 所以∠B=∠CFD 江苏吴云超祝你学习进步

黄南藏族自治州18935882669： 初二数学,,几何已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD ？
冶虎沙棘： 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,EF⊥BC, FM⊥AC,垂足分别是D.F.M,∠1=∠2,求证:FM=FD. 如图:∠1=∠2,∠BAE=BFE=90°--->△BAE≌△BFE(AAS)--->AE=FE 作EN⊥AD于N--->∠5=∠6=90°又∠3=∠4--->△AEN=△EFM(AAS) --->FM=EN=FD

黄南藏族自治州18935882669： 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的点.求证:BD2+CD2=2AD2 - ？
冶虎沙棘： 证明:作AE⊥BC于E,如上图所示:由题意得:ED=BD-BE=CE-CD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴BE=CE=1 2 BC,由勾股定理可得:AB2+AC2=BC2,AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,AD2=AE2+ED2,∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+(BD-BE)2+AC2-CE2+(CE-CD)2=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD*BE-2CD*CE=AB2+AC2+BD2+CD2-2*1 2 BC*BC=BD2+CD2,即:BD2+CD2=2AD2.

黄南藏族自治州18935882669： 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中线的中点,点E,F分别在AB,AC上,AE=BF,求∠EDF - ？
冶虎沙棘： 解:连接AD ∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中线的中点 ==>△ABC是等腰直角三角形,且AD是∠BAC的角平分线和AD⊥BC ==>∠FBD=∠FAD=∠EAD=45°,且∠ADB=∠ADC=90° ∴AD=BD..........(1) ∠FBD=∠EAD.........(2) ∵AE=BF.........(3) ∴由(1)(2)(3)知,△ADE≌△BDF (边、角、边) ==>∠BDF=∠ADE ∵∠ADB=∠ADC=90° ∴∠ADF=∠CDE 故∠EDF=∠ADE+∠ADF =∠ADE+∠CDE =∠ADC =90°.

黄南藏族自治州18935882669： 数学如图,在△abc中,∠bac是锐角,ab=ac,ad⊥bc, ？
冶虎沙棘： 如图 (1)∵在△ABC中,AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形,AD是底边上的高, ∴BC=2BD, 又∵BE是高, ∴∠AEH=∠BEC=90°, 则∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=...

黄南藏族自治州18935882669： 数学题如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC. 点P在△ABC内,且PA=根号3 , PB=5, PC=2, 求△ABC的面积. - ？
冶虎沙棘： :△ABC的面积 为 (7√3 + 6)/ 2