在圆O中，AB和CD是圆O的两条直径，且角AOC是60度，点P是弧AD上的一点，过点P作PE垂直AB垂足为E,PF垂直CD垂

圆内两直径AB，CD交于圆心O，且角AOC＝60度，P为弧AD上的一点，不与A，D重合，过P作PE垂直于AB于点E，PF垂~

EF等于二分之一根号三R
连接AP,PD.
因为角COE为60度，角COD为180度，所以角AOD为120度
又因为角PEO和角PFO为90度，角AOD角PEO角PDO角EPF的和为360度，所以角EPF为60度。
根据垂直平分定理又得1\2AO=1\2AD=AE=FD,又因为PE垂直AD,PF垂直CD,由上可得，三角形APE与三角形pfd,所以PE=PF,
综上，三角形PEF是等边三角形,PE=PF=EF
因为AE等于二分之一R，PE等于AE的根号3，
所以AE等于二分之一根号三R，

解答提示：
（题中的“AC＝60”应该是“弧AC的度数等于60”）
连接BD，设圆O的半径为R
容易证明∠P＝∠AOC＝60°，
而∠A＝∠A
所以△AOE∽△APF
所以可得AE*AP＝AO*AF
同理得DF*DP＝DO*DE
另外△BOD是等边三角形
所以∠B＝∠AOC＝60°，BD＝OD＝OA
而∠PAB＝∠PDB
所以△AOE≌△DBF（ASA）
所以OE＝BF
所以m＝AE*AP＋DF*DP
＝AO*AF＋DO*DE
＝R*(AF＋DE)
＝R*(R＋OF＋R＋OE)
＝R*(2R＋OF＋BF)
＝R*(2R＋R)
＝3R^2
所以m是定值3R

问题一：EF是半径的二分之根号三倍，（这个较简单，角分线求一下就行）；
问题二：仍然成立，你可随意设个角AOP为x。则角POD为角120-x；
这样可以用sin（x）*R=PE；sin（120-x）*R=PF；
这样再用余弦定理：
PE*PE+PF*PF-EF*EF=2*PE*PF*cos（60）；
求EF
最后得到相同结果；EF是半径的二分之根号三倍

第一问：EF是半径的二分之根号三倍。证明如下。

连接op，与EF交与Q点。设半径为r。

因为P点是弧AD的中点，所以，∠POE=∠POF，因为角AOC=60度，

所以，∠POE=角POF=60度。因为PE⊥AB，PF⊥CD，所以∠OPE=∠OPF=30°。

所以，PO是角EPF的平分线，所以，EF垂直OP。

在直角三角形OPE中，∠OPE=30度，∴OE=OP（半径r）的一半。

在直角三角形OEQ中，∠POE=60度，∴OE=二分之根号三倍的EQ=四分之根号三倍的EF。

所以EF是半径的二分之根号三倍。

第二问：第一问的结论仍然成立。证明如下。

如图。

延长PE交圆于M，延长PF交圆于N，连结OP，OM，ON，MN，过O做OH垂直MN于H。

所以在△PMN中，OE⊥PC，OF⊥PM，OH⊥MN，点O是外心（三边垂直平分线的交点）

有OP=OM=ON=r。EF是中位线=1/2 MN=HM。

∵∠AOC=60°，∴∠AOD=120°，

在四边形PEOF中，有两个直角，∴∠EPF=60°。

∵OP=OM=ON，

∴∠EPO=∠ENO，∠FPO=∠FMO，∠HNO=∠HMO，且，∠EPO+∠FPO=∠EPF=60°，

∴∠ENO+∠FMO=60°，

∵三角形内角和=180°，∴∠HNO+∠HMO=60°，∴∠HNO=∠HMO=30°。

∴在直角三角形OHM中，HM/OM=cos30°=根号3/2，且，HM=EF，

∴EF是半径的二分之根号三倍

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嘉荫县17772901713： 在圆O中,AB和CD是圆O的两条直径,且角AOC是60度,点P是弧AD上的一点,过点P作PE垂直AB垂足为E,PF垂直CD垂在圆O中,AB和CD是圆O的两条... - ？
林岸忆立：[答案] 问题一:EF是半径的二分之根号三倍,(这个较简单,角分线求一下就行);问题二:仍然成立,你可随意设个角AOP为x.则角POD为角120-x;这样可以用sin(x)*R=PE;sin(120-x)*R=PF;这样再用余弦定理:PE*PE+PF*PF-EF*E...

嘉荫县17772901713： 在圆O中,AB和CD是两条平行弦,且AB、CD所对的圆心角分别是120°、60°,圆O的半径为6厘米,求AB、CD之间的距 - ？
林岸忆立： 3+3根号3

嘉荫县17772901713： 如图 AB, CD是圆o中的两条直径,AB⊥CD,点P是AB上一点,且角CPO=60°,求PO:AB的值 - ？
林岸忆立： 因AB, CD是圆o中的两条直径,AB⊥CD 故角COP=90度 则CO:PO=(根号3):1 又CO:AB=1:2 则PO:AB=1:(2*根号3)

嘉荫县17772901713： AB、CD是圆O互相垂直的两条直条,E是OD的中点,BE延长线交圆O於F,OB=4CM 求EF的长 - ？
林岸忆立： 解:∵AB、CD是⊙O的两条直径, ∴OD=OB=4cm ∵点E式OD 的中点 ∴OE=2cm ∵AB 是⊙O的直径,点F在⊙O上, ∴∠AFB=90º ∵AB⊥CD ∴∠BOE=90º ∴⊿BOE∽⊿BFA OB∶BF=BE∶AB 在Rt⊿BOE中,OB=4, OE=2 ∴BE=2√5 ∴BF=OB·AB/BE=4*8/2√5=16√5/5 EF=BF-BE=16√5/5-2√5=6√5/5

嘉荫县17772901713： 如图,AB,CD是圆o的两条互相垂直的直径. - ？
林岸忆立： 答: 1. 四边形ABCD是正方形. 原因:AB与CD垂直,由于OA、OB、OC、OD都是圆O的班半径,从而有△OAC、△OAD、△OBC、△OBD这四个三角形全等,所以四边形ABCD为正方形.2. 四边形ABCD的面积,即正方形ABCD的面积,也是四个小三角形的面积之和,为 4*(0.5*r*r)=16,所以r = 2根号(2) ≈2.828

嘉荫县17772901713： AB,CD是圆O的两条直径,弦BE=BD,弧AC=弧BE？
林岸忆立： 因为:AB、CD是圆O的两条直径 所以:角AOC=角BOD,弦AC=BD 又因为:弦BE=BD 所以:弦AC=BE 所以:弧AC=弧BE

嘉荫县17772901713： 已知:圆o的半径为10,AB和CD是圆o的两条弦AB=6,CD=8,且AB平行与CD之间的距离. - ？
林岸忆立： 这题目的半径是10 啊 还有就是AB和CD可能在一条半径上 或者在直径上做半径R垂直AB于M(OM) 半径R垂直CD于N (ON) 因为AB CD 是圆O的两条炫,所以OM ON平分AB CD 所以AM=二分之一AB=3 所以OM=根号下【OA(半径)的平方—AM的平方】=根号下(10*10—3*3)=根号下91(没化简) 有因为 AB平行于CD 所以 同理 ON=根号下84(没化简) 所以AB与CD之间的距离 MN=OM—ON=根号下91—根号下84 (弦AB CD 在一条半径上) MN=OM+ON=根号下91+根号下84(弦AB CD在一条直径上)

嘉荫县17772901713： AB和CD是圆o的两条直径,弦CE//AB,求证:弧AD=弧AE.？
林岸忆立： 弧AD=弧BC(圆心角为对顶角,相等)弧AE=弧BC(平行弦所夹弧相等*).∴弧AD=弧AE.*:∵AB‖EC,∴∠BAC=∠ACE.(内错角).∴弧AE=弧BC(所对的圆周角相等)

嘉荫县17772901713： 如图,AB,CD是圆o的两条弦且AB//CD,MN垂直平分AB,求证:MN垂直平分CD - ？
林岸忆立：[答案] 证明: 设MN⊥AB,MN交圆O于M,N点 则MN必过圆心【垂直平分弦的直径必过圆心】 ∴MN是直径 ∵AB//CD ∴MN⊥CD ∴MN垂直平分CD【垂直于弦的直径平分弦】

嘉荫县17772901713： 如果ab和cd是圆o内互相垂直的两条弦那么∠aoc和∠bod互补 - ？
林岸忆立： 延长半径bo交圆o于a',延长ao交圆o于b',连续a'b',如下图:因为对称,∠aoc=∠a'od,∠a'od+∠bod=180度,故得证.