如图，三角形ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作AD垂直于AB交圆O于点D，交BC于点E，点F在DA的延长线上，
最简略的回答：数学是抽象。
数学研究的是抽象概念，运用的是抽像方法，数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。
但是深入的话，数学的本质并没有定论。我将在下面分三个部分展开：
普通数学
对应于维基上说的现实主义数学，逻辑主义数学。大多普通群众，科研工作者，和很多数学家，都采取这些观点。在这些观点下，数学与现实紧密结合，因此其应用当然也非常广泛。
这其中比较肤浅的是：
数学是生产生活生存的需要，比如几何是为了丈量土地，数学是工具。
这个观点的代表么……马克思同学（如果他真这么说过）。所以1＋1＝2，因为一个苹果，再来一个苹果，是两个苹果，这是从实践中总结的经验和规律。
比较靠谱的想法是：
数学是无实体的，永恒的客观存在，是等待被人发现的自然规律。
提问者和大多数人都有这个想法。很多数学家，包括一些大师也有这个想法。所以勾股定理不仅是丈量土地有用，还是直角三角形的普遍规律，而三角形是自然界中的对象。
另有一些数学家，和不少学计算机的认为：
数学是逻辑的一部分，是公理系统。
这个观点在实践中还是非常流行的，并且的确非常强大。但是其中很多悖论经不住下面那个文艺数学的推敲。在这个观点下，数字和运算都是公理。
文艺数学
对应于维基上的形式主义。很多数学家，很多搞哲学的，还有我个人，都持这样的观点。
形式主义认为：数学体系是一场有一定规则的思维游戏，与现实世界完全无关。
与前面那些观点不同的是，这个观点空前抽象和开放。我们从此开始发明各种变态规则，玩奇怪的非人的游戏。在这个观点认为，勾股定理在欧几里德的几何规则下才正确，但是我们可以发明其他非欧几何，让他不正确；数是代数结构中的元素，运算是游戏规则。
这个观点给数学带来了空前的发展，也导致纯数学与现实严重脱节。不管有用没用，对形式主义者来说都一样值得研究。虽然对现实不再有直接的应用，但是其他学科主动去消化的话，仍然能找到很好的归宿。
二逼数学
我想提的是直觉说。很多搞认知学的，搞神经学的，大概会持这个观点……
直觉说认为：数学是人的大脑活动，数学都是被经历过的。
说一个数学对象存在，是因为你可以在大脑中构造这个对象。所以一些激进点的人会否认“无穷”这个概念的存在。我的一个认知学老师这样对我们说：数学家们经常觉得自己来了灵感，其实他们就是学了很多之后，从经验中获得的想法，哪有什么空来的点子。
其实他们的观点我觉得有些道理，只是……类比Sheldon说自己有很牛的想法，而Amy说自己研究的就是这些想法怎么来的。
①证明：
连接BD
∵AD⊥AB，即∠BAD=90°
∴BD是⊙O的直径（90°圆周角所对的弦是圆的直径）
∵∠ACB=∠ADB（同弧所对的圆周角相等）
∠ACB=∠ABF
∴∠ADB=∠ACB
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABF+∠ABD=90°
即∠DBF=90°
∴BF是⊙O的切线
②作AH⊥BC于H
∵AB=AC
∴BH=CH（等腰三角形三线合一）
∵cos∠ABF=cos∠ADB=AD/BD=4/5
AD=4
∴BD=5
根据勾股定理，AB=3，则AC=3
∵cos∠ABF =cos∠C=CH/AC=4/5
∴CH=12/5
则BC=2CH=24/5（或4.8）
在三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两...
设三角形的腰为x，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD=12或AB+AD=15，分下面两种情况解．（1）x+0.5x=12，∴x=8，∵三角形的周长为12+15=27cm，∴三边长分别为8，8，11 （2）x+0.5x=15，∴x=10，∵三角形的周长为12+15=27cm，∴三边长分别为10,10,7；...
三角形内心的向量表示是怎么证明的
简单分析一下，答案如图所示
...三角形abc中 角acb=90度 ac=bc p是三角形abc内一点 且ap=3 cp=...
解法1:如左图,把⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE.则CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP.∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8.∵PE²+AE²=8+1=9=PA².∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA...
如图所示在三角形abc中将角c折叠使点c落在abc内的一点cp上尚若角1=...
又四边形C′DCE的内角和为360° ∴∠C′+∠C=70° ∴∠C=35° 2∠C=1+∠2 理由是：∵△C′DE是由△CDE折叠而成 ∴∠C=∠C′，∠C′DE=∠CDE，∠C′ED=∠CED 又∠1+∠C′DC=180°，∠2+∠C′EC=180° ∴∠C′DC+∠C′EC=360°-（∠1+∠2）三角形 是由同一平面内不在...
如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,试探求下...
（1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；（2）（3）解法相同．解答：解：（1）β=90°+ 12α；（2）β= 12α；（3）β=90°- 12α．下面选择（1）进行证明．在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∵BP与CP是...
如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,
所以，△BPE是一个以∠BPE为直角的直角三角形，所以：∠APB=∠APE+∠BPE=60°+90°=150°，在△ABP中，由余弦定理得：k²=AB²=PA²+PB²-2×PA×PB×cos∠APB =6²+8²-2×6×8×cos150° =100+48√3 综上，S△ABC=(√3)k²\/4=(√3)\/4...
如图,三角形ABC中,AB=AC,D为△ABC内部一点,且BD=CD,连接AD并延长交BC...
证明：（1）3对 因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，所以△ABD全等于△ACD① 由①得∠ABD+∠BAD=∠ACD+∠CAD，所以∠BDE=∠CDE 因为BD=CD、DE=DE，所以△BDE全等于△CDE② 由②得BE=CE，因为AB=AC，AE=AE，所以△ABE全等于△ACE （2）因为三角形ABC为等腰三角形，且BE=CE 所以AE是△ABC底边BC...
如下图,在三角形ABC中,AE=ED,D点是BC的四等分点,阴影部分的面积占三角形...
解:作DG∥BF,交AC于G,则AF\/FG=AE\/ED=1,AF=FG;CG\/GF=CD\/DB=1\/3.则:AF\/FC=3\/4,AF\/AC=3\/7;故S⊿AFD=(3\/7)S⊿ACD;同理:S⊿ACD=(1\/4)S⊿ABC.所以,S⊿AFD=(3\/7)*(1\/4)S⊿ABC=(3\/28)S⊿ABC;S⊿AFE=(1\/2)S⊿AFD=(3\/56)S⊿ABC;---(1)同理:S⊿BDE=(1\/2)...
在三角形ABC中,角A等于30,AB等于√3,BC等于1,则三角形ABC的面积为
在三角形ABC中，角A等于30，AB等于√3，BC等于1，则三角形ABC的面积为√3\/2。根据正弦定理计算：SinA\/BC=SinC\/AB SinC=AB\/BC*SinA=√3*(1\/2)=√3\/2 可计算出角C=60度 角B=180度-30度-60度=90度 三角形的面积=1\/2AB*BC=1\/2×√3×1=√3\/2 ...
如图已知三角形abc中ac=3 bc=4角c=90度在三角形abc内部求作一正方形...
连OD，OE，OF，如图，设半径为r．则OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，CD=r． ∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB=5， ∴AE=AF=4-r，BF=BD=3-r， ∴4-r+3-r=5， ∴r=1．故填1．
左丹派芬： (1)∵AB是直径,∴∠ABC=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,又∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠BAC=90°,即∠PAB=90°,∴BA⊥PA,∴PA是圆O的切线 (2)设AE=2m,DE=5n,则BE=3m,CE=6n,由先进行定理得6m²=30n²,∴m=√5n 由AC/BD=AE/DE得BD=4√5 设BC=X,由BC/AD=CE/AE=AD=√5/3X 由AC²+BC²=AD²+BD²解得X=6,∴AB=10
杭锦旗19499323902： 已知,如图,三角形abc内接于圆o,ab等于ac,d为弧bc上任一点,连接ad,bd,求证角ab=角aeb - ？
左丹派芬：[答案] 因为△ABC内接于圆O,且AB等于AC,是A为顶点的等腰三角形 所以∠ABC=∠ACB 又因为∠BAE=∠DAB 所以△ABE∽△ADB (相似定理,或者你用三角形内角和等于180°也行) 所以∠ABD=∠AEB(相似三角形对应角相等).
杭锦旗19499323902： 如图,三角形ABC内接于圆O,AB=AC,M、N分别在AB、AC上,其中N是AC的中点,AM;MB=2;1求三角形ABC与四边形MBCN的面积比当AB=4cm,圆O的... - ？
左丹派芬：[答案] 连接MC.面积比,3:2 面积为64/15
杭锦旗19499323902： 如图,三角形ABC内接于圆O,AB=15,AC=13,AD垂直BC于D,AD=12,求BC长及圆O的半径 - ？
左丹派芬：[答案] 根据勾股定理可得BD=9,CD=5 ∴BC=9+5=14 作直径AE,连接BE 则∠ABE=90° ∴∠ABE=∠ADC=90° ∵∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ∴AB/AE=AD/AC ∴15/AE=12/13 ∴AE=195/12 ∴⊙O 的半径=195/24
杭锦旗19499323902： 如图,三角形ABC内接于圆O,AB=8,AC=6,AD=4,求圆O的半径长. - ？
左丹派芬：[答案] 解;过A作元的直径AE,连接CE,则∠ACE=∠ADB=90° 又因为:∠B=∠E 所以:直角△ABD∽直角△AEC 所以:AB/AE=AD/AC 所以:AE=AB*AC/AD=8*6/4=12 所以:元的半径=6
杭锦旗19499323902： 如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE与平面ABC所 - ？
左丹派芬： (Ⅰ)证明:∵四边形DCBE为平行四边形, ∴CD∥BE,BC∥DE, ∵DC⊥平面ABC,BC 平面ABC, ∴DC⊥BC, ∵AB是圆O的直径, ∴BC⊥AC且DC∩AC=C, ∴BC⊥平面ADC, ∵DE∥BC,∴DE⊥平面ADC,又∵DE 平面ADE,∴平面ACD⊥平面...
杭锦旗19499323902： 如图,三角形abc内接于圆o,且AC=AB,点D在弧BC上运动,DE//BC交AB的延长线于E点,连接BD当点D运动到何位置时,角EDB=角EAD - ？
左丹派芬：[答案] 当D运动到BC弧的中点时,∠EDB=∠EAD 理由: 因为CD弧所对的圆周角是∠CAD,∠CBD 所以∠CAD=∠CBD 因为CD弧=BD弧 所以∠CAD=∠BAD 因为DE∥BC 所以∠CBD=∠EDB 所以∠EDB=∠EAD
杭锦旗19499323902： 三角形ABC内接于圆O.AB是圆O的直径,CD平分角ACB交圆于点D,交AB于点 - ？
左丹派芬：[答案] 延长CM交⊙O于F ∵AB是圆O的直径 ∴AC⊥BD,(那么多相似三角形我不全证了) ∵CE*CF=CD*AC(割线定理),CE=CM-ME,CF=CM+ME ∴(CM-ME)*(CM+ME)=CD*AC,即CM?-ME?=CD*AC 又∵△CDN∽△CMA(因为∠C=∠C,∠CDN...
杭锦旗19499323902： 如图,三角形abc内接与圆o,ab是直径,圆o的切线pc交ba的延长线于点p - ？
左丹派芬：[答案] (1)AF为圆O的切线,理由为: 连接OC, ∵PC为圆O切线, ∴CP⊥OC, ∴∠OCP=90°, ∵OF∥BC, ∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB, ∵OC=OB, ∴∠OCB=∠B, ∴∠AOF=∠COF, ∵在△AOF和△COF中, OA=OC ∠AOF=∠COF OF=OF, ∴△AOF≌...
杭锦旗19499323902： 三角形ABC内接于圆O,AB为直径,PA垂直平面ABC.COS角ABC等于5/6,PA:PB等于4:5,求直线PB和平面PAC形成角的大小 - ？
左丹派芬：[答案] 因为AB为直径且△ABC内接于园,所以角ACB=90°,即BC垂直于AC. 又因为PA垂直于面ABC,所以PA垂直于BC.所以得,BC同时垂直于AC、PA,所以BC垂直于面PAC.所以角BPC为直线PB与面PAC所形成的角. 因为PB/PA=5/4,所以PB/AB=5...
