已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P

如图，抛物线y=ax^+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P ,与直线BC相~

抛物线过C(0,3)点，则c=3，过A(-1,0)，则0=a-b+3，过B(3,0)，则0=9a+3b+3，解得a=-1，b=2
即抛物线方程为y=-x²+2x+3
1)点P(1,4)，直线BC方程为：y=-x+3 一般式为x+y-3=0
则点P到直线BC的距离d=|1+4-3|/√(1²+1²)=√2
设与直线BC平行且距离为√2的直线方程为x+y+m=0，即有：|m+3|/√2=√2
得m=-1或m=-5
联立y=-x²+2x+3与x+y-1=0得交点Q坐标为±((3+√17)/2,(-1-√17)/2)
联立y=-x²+2x+3与x+y-5=0得交点Q3坐标为(1,3)，其中另一个交点就是P(1,4)
因为此时S△QMB与△PMB是共底边MB，又P及Q点到底边距离都为√2，故有这两个三角形面积相等。
2)△RPM与△RMB有公共边RM，则若P和B到直线RM的距离相等，则两三角形以RM为底边的高相等，则面积相等。
设PB中点为N，则坐标N(2,2)， M(1,2)，此时由于必有P和B到直线MN的距离相等
故MN直线方程为：y=2
y=2与y=-x²+2x+3的解x=1±√2 ，即R(1±√2,2)都在x轴上方，满足条件.

解：（1）∵a(－1，0)、b(3，0)经过抛物线y＝ax
2
＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵c(0，3)
经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x
2
＋2x＋3。
（2）连接bc，直线bc与直线l的交点为p。
则此时的点p，使△pac的周长最小。
设直线bc的解析式为y＝kx＋b，
将b(3，0)，c(0，3)代入，得：
，解得：
。
∴直线bc的函数关系式y＝－x＋3。
当x－1时，y＝2，即p的坐标(1，2)。
（3）存在。点m的坐标为(1，
)，(1，－
)，(1，1)，(1，0)。
二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。
【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。
（2）由图知：a、b点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接bc，那么bc与直线l的交点即为符合条件的p点。
（3）由于△mac的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①ma＝ac、②ma＝mc、②ac＝mc；可先设出m点的坐标，然后用m点纵坐标表示△mac的三边长，再按上面的三种情况列式求解：
∵抛物线的对称轴为：
x=1，∴设m(1，m)。
∵a(－1，0)、c(0，3)，∴ma
2
＝m
2
＋4，mc
2
＝m
2
－6m＋10，ac
2
＝10。
①若ma＝mc，则ma
2
＝mc
2
，得：m
2
＋4＝m
2
－6m＋10，得：m＝1。
②若ma＝ac，则ma
2
＝ac
2
，得：m
2
＋4＝10，得：m＝±
。
③若mc＝ac，则mc
2
＝ac
2
，得：m
2
－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，m、a、c三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。
综上可知，符合条件的m点，且坐标为(1，
)，(1，－
)，(1，1)，(1，0)。

答：
1）
设抛物线为y=a(x+1)(x-3)
点C(0，3)代入解得：a=-1
抛物线为：y=-(x+1)(x-3)
抛物线为：y=-x²+2x+3
2）
抛物线顶点P(1,4)，直线BC为：y=-x+3
即直线BC为：x+y-3=0
对称轴x=1，则点M为(1,2)
因为：△PMB和△QMB同底边BM
所以：点P和点Q到BM的距离相等时面积相等
设点Q为(q,-q²+2q+3)，则有：
d=|q-q²+2q+3-3|/√2=|1+4-3|/√2
所以：q²-3q=2或者q²-3q=-2
解得：q=(3±√17)/2或者q=2或者q=1
点Q为3个符合题意：（楼主自己代入抛物线吧）
((3+√17)/2,y1)、((3-√17)/2,y2）、(2，3)
3）
PM=2，BM=√2
设点R为(r，-r²+2r+3)，1<r<3
2S=2×(r-1)=√2×d
d=√2(r-1)=|r-r²+2r+3-3|/√2
2(r-1)=|r²-3r|=3r-r²=2r-2
r²-r-2=0
解得：r=2或者r=-1
因为：1<r<3
所以：r=2
点R为(2,3)

（1）将三个点坐标加入抛物线关系式，得：y=-x²+2x+3

（2）易知P点坐标为（1,4），直线BC解析式为y=-x+3，M点坐标为（1,2），P到直线BC距离为2/√2=√2，则应在抛物线上找另一点Q（x1，y1）令其至直线BC距离为√2，有y1=-x1²+2x1+3，且|x1+y1-3|/√2=√2，得：Q为（2,3）或（3+√17/2，-1-√17/2）或（3-√17/2，√17-1/2）
（3）设R为（x2,y2），则有x2>1，PM=2，BM=2√2，R到直线PM距离易知为x2-1，到BM距离为|x2+y2-3|/√2，有2*（x2-1）=2√2*|x2+y2-3|/√2，且y2=-x2²+2x2+3，得：R坐标为（1+√2，2）或（2+√3，-2√3）

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黄埔区13121715092： 已知抛物线y=ax²+bx+c过三点:( - 1, - 1)、(0, - 2)、(1,1)已知抛物线y=ax²;+bx+c过三点:( - 1, - 1)、(0, - 2)、(1,1).(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系... - ？
芝芝珠珀：[答案] (1)将三个已知点带入抛物线表达式,得方程组: a-b+c=-1……① c=-2……② a+b+c=1……③ 由①②③解得a=2 b=1 c=-2 所以这条抛物线所对应的二次函数的关系式为y=2x²+x-2 (2)a>0,开口方向向上,对称轴为x=-b/2a=-1/4,顶点坐标为(-1/4,-...

黄埔区13121715092： 已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点( - 1,y₁),( - 2,y₂),试比较y₁和y₂的大小 - ？
芝芝珠珀：[答案] 对称轴是x=1,并且二次项系数a>0 所以抛物线开口向上 在x方向离对称轴越远,取值y越大 -1离x=1距离是2 -2离x=1距离是3 所以y2比较大

黄埔区13121715092： 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax²+bx过点A(2,4),B(6,0)两点,顶点为点C.(2)过点A作AD//OB,交抛物线于点D,过点C作直线l⊥OB,交X轴于... - ？
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黄埔区13121715092： 抛物线最小值,最大值 y=ax²+bx+c开口向下,顶点坐标(2, - 3),求抛物线有什么值 - ？
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黄埔区13121715092： 已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的开口向上,对称轴是直线x=2,当x1=0,x2=根号下三,x3=3,对应y值为y1、y2、y3,则y1、y2、y3大小关系是 - ？
芝芝珠珀：[答案] 对称轴是x=1,并且二次项系数a>0 所以抛物线开口向上 在x方向离对称轴越远,取值y越大 -1离x=1距离是2 -2离x=1距离是3 所以y2比较大 希望能解决您的问题.

黄埔区13121715092： 如图,已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.求抛物线的解析式如图,已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.1 .求抛物线的解析... - ？
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芝芝珠珀：[答案] 当a>0时,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)开口向上,当x=-b/2a时,函数的最小值为①(4ac -b^2)/4a;在对称轴左侧,y随x的增大而②(减函数)而减少.当a<0时,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)开口向下,当x=-b/2a时,函数的最...

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芝芝珠珀：[答案] y=a(x+b/2a)²+ (4ac-b²)/4a ∴对称轴是x=-b/2a 顶点坐标是(-b/2a, (4ac-b²)/4a )

黄埔区13121715092： 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A(2,0),B(6,0)两点,交y轴于点C(0,2√3).(1)求此抛物线的解析式,(2)若此抛物线的对称轴与... - ？
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