两道定积分求极限的题，求求。

定积分求导求极限，应该是这种题，见图，求详解~

先用洛必达上下同时求导，再无穷小替换

解：根据定积分的定义，lim(n→∞)∑(1/n)f(i/n)=∫(0,1)f(x)dx，i=1,2，……，n。其中，视“1/n”为dx、f(i/n)为f(x)、i/n为x的变化范围。
　　∴(1)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n)，视1/n为dx、f(i/n)=1/(1+x)、i/n∈(0,1]，∴原式=lim(n→∞)∑(1/n)/(1+i/n)=∫(0,1)dx/(1+x)。
　　(2)题的处理过程与(1)题相同。
　　(3)题，原式=e^{lim(n→∞)∑(1/n)ln[2-(i/n)^2]}=e^[∫(0,1)ln(2-x^2)dx]。
　　(4)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)(i/n)^p=∫(0,1)(x^p)dx。
　　(5)题，原式=lim(n→∞)∑(1/n)/√[1+(i/n)^2]=∫(0,1)dx/√(x^2+1)。
　　供参考。

分享解法如下。(1)题，∵x→0时，sinx→0，∴ln(1-x²)~-x²、e^sinx-1~sinx。原式=lim(x→0)∫(0,sinx)(e^t²-1)dx/(-x³)。
属“0/0”型。应用洛必达法则，∴原式=(-1/3)lim(x→0)(e^sin²x-1)cosx/(x²)=(-1/3)lim(x→0)(sinx/x)²=-1/3。

(2)题，令1/x^(1/3)=y。∴y→0。∴原式=lim(y→0)[∫(0,y)t²dt/√(1+t²)]/y³。属“0/0”型。应用洛必达法则，∴原式=(1/3)lim(y→0)[y²/√(1+y²)]/y²)=(1/3)lim(y→0)1/√(1+y²)=1/3。
供参考。

---

天镇县18565805833： 利用定积分求极限的题 - ？
愚武联磺： (a) lim(n->+∞) [ 1/n +n^2/(n+1)^3+...+n^2/(8n^3)] =lim(n->+∞) ∑(i:0->n) n^2/(n+i)^3 =lim(n->+∞) (1/n) ∑(i:0->n) 1/(1+i/n)^3 =∫(0->1) dx/(1+x)^3 = -(1/2)[ 1/(1+x)^2]|(0->1) =(1/2)( 1 - 1/4) =3/8 (b) lim(n->+∞) (1/n)[ sin(π/n) +sin(2π/n)+...+sin(nπ/n)] =lim(n->...

天镇县18565805833： 用定积分定义求极限,n趋向无穷 1/(根号(4n^2 - 1))+1/(根号(4n^2 - 2^2))+…+1/(根用定积分定义求极限,n趋向无穷1/(根号(4n^2 - 1))+1/(... - ？
愚武联磺：[答案] 1/(√(4n^2-1))+1/(√(4n^2-2^2))+…+1/(√(4n^2-n^2)) =(1/n)[1/(√(4-1/n^2))+1/(√(4-2^2/n^2))+…+1/(√(4-n^2/n^2)) 考虑函数f(x)=1/√(4-x^2),定义区间[0,1],分区间n等分,取右端点: lim(1/n)[1/(√(4-1/n^2))+1/(√(4-2^2/n^2))+…+1/(√(4-n^2/n^2)) =∫(...

天镇县18565805833： 两道高数题,求极值和定积分 ,急1:求函数Y=X^3 - 9X^2+15X+3的极值2:求定积分:∫ -- 2^2(xsin^4x+x^3 - x^4)dx (注: - 2在∫下方,2在∫上方x^3表示X的三... - ？
愚武联磺：[答案] 1.y'=3x^2-18x+15,y＂=6x-18,令y'=3x^2-18x+15=0,得x=1或x=5而 y＂∣x=1=-12,y＂∣x=5=12,故当x=1时 y=10 为极大值 故当x=5时 y=-22 为极小值 2.由于xsin^4x+x^3为奇函数,所以(从-2到2积分)∫(xsin^4x+x^3)dx=0 (从-2到...

天镇县18565805833： 由定积分的定义知,和式和式为n/n∧2+k∧2.由定积分的定义求n趋于无穷的极限. - ？
愚武联磺：[答案] 派/4

天镇县18565805833： 两个求极限的题目 - ？
愚武联磺： 两题都利用定积分的极限定义来解 (1)极限值=π/4 过程如下图:(2)极限值=题后面写的答案 过程如下图:

天镇县18565805833： 一道利用定积分求某些n项和数列的极限求解释?(积分上下限是k/n,(k - 1)/n) - ？
愚武联磺：[答案] 等式右边其实写成f(k/n)才是正确的,∑ (∫((k-1)/n,k/n) f(k/n)dx) = ∑ (f(k/n)/n) = 左边至于写成f(x),必须是n->+∞

天镇县18565805833： 用定积分求极限lim(n - >∞)∑(k=1,n)1/(n+k) - ？
愚武联磺：[答案] ∫dx/(n+x)

天镇县18565805833： 100分 定积分求极限lim(n→∞)[1/(n^2)](根号n+根号2n+……+根号n^2)lim ∑(i=1 ,n) √(i/n)·(1/n) n→∞ =∫(0 ,1) √x dx 请回答者详细说明这一步是怎么来的. - ？
愚武联磺：[答案] 1/(n^2)](根号n+根号2n+……+根号n^2) =1/(n)](根号1/n+根号2/n+……+根号n/n) 根据定积分的定义 原式=根号x从0到1的积分=2/3

天镇县18565805833： 含有定积分的极限怎么求 - ？
愚武联磺： 答案如下图所示: 当极限的表达式里含有定积分时,常将这种极限称为定积分的极限.对于这类定积分的极限,以往求极限的各种方法原则上都是可用的. 所不同的是,这类极限问题往往需要充分应用积分的各种特性和运算法则等,有时也可将问题转化为某函数的积分和或者达布和的极限,从而转化为新的定积分问题. 一般定理 定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积. 定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积. 定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积.

天镇县18565805833： 定积分求极限 第二大题的两题 - ？
愚武联磺： (1)原式=lim[x-->0]arctanx/2x=1/2 利用洛必达法则,变限积分的导数,arctanx~x (2)原式=lim[x-->0][√(1+x^2)-√(1-x^2)]/(3x^2) =lim[x-->0][√(1+x^2)-√(1-x^2)][√(1+x^2)+√(1-x^2)]/{(3x^2)[√(1+x^2)+√(1-x^2)]} =lim[x-->0]2x^2/{(3x^2)[√(1+x^2)+√(1-x^2)]} =lim[x-->0]2/3*1/[√(1+x^2)+√(1-x^2)] =1/3