11种常数项级数敛散性判别法(审敛法)的粗糙总结11道好玩的小题

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11种常数项级数敛散性判别法（审敛法）的粗糙总结11道好玩的小题如下：

追不上的上古玄武告诉我们：无穷个正数加在一起不一定是正无穷。以此为开端，有了极限的观念，还有了级数的观念。很多数列的Sn很难求，这篇文章只讨论极其片面的判断常数项级数是否收敛的十一个方法。

1、级数收敛的柯西准则及其两个衍生品：

我觉得直观的对级数∑u（n）收敛的定义应该是这样的：limn→∞Sn=A。

这个直观的定义和级数收敛的柯西准则是等价的，但这个直观的定义直接拿来作为判别法的应用价值实在低得很，原因是这样的：∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，A-ε<Sn<A+ε恒成立。

我们要靠Sn这个关于n的单变量算式结合ε去确定N（N是关于ε的单变量表达式），但是大多数情况下，我们很难求出来Sn，因此我们把这个定义转化成了一个应用性强的一批的定义：级数收敛的柯西准则。

级数收敛的柯西准则还有两个衍生品：

第（一）个：若∑u（n）收敛，则limn→∞u（n）=0。

第（二）个：级数发散的柯西准则，其实就是极限收敛的柯西准则的否命题（如果您不是很清楚如何否定一个含有多量词（∀&∃）的命题，我会之后写一篇文章解释）。对于柯西准则以及他的两个衍生品在判断敛散性中的应用，我各举一个例子。

这三个方法中第三个是最快速的，适用范围最小，因此付出的时间成本最小，所以他应该作为我们判断一个级数是否收敛的第一道工序。柯西收敛准则，和发散准则有时候会直接套用，不过许多情况我们用的是借助这两个判别法推出的判别法（比如：莱布尼茨判别法，绝对收敛级数的重排或四则运算，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法）。

2、正项级数收敛的5个判别法：

温馨提示：∑0也是正项级数，u（n）≥0即可，不过下面五个方法常来判断u（n）>0的。这五种方法是有家庭关系的。

Segment1：比较判别法&积分判别法。

这两个方法只是依靠了单调有界定理，并没有借助任何任何已知的收敛或发散数列。

比较判别法是对两个级数进行操作的，而且至少有一个级数敛散性要已知，通常遇到判断单独一个级数敛散性的时候我们要通过放缩来与记忆中已知敛散性的级数进行比较，如果运气好是可以比出大小判断敛散性的。

Segment2：比值判别法（达朗贝尔判别法）&根式判别法（柯西判别法）在引入了等比（数列）级数（公比的取值范围确定敛散性）之后，就有了比值判别法和根式判别法。

Segment3：拉贝判别法。

比值判别法和根式判别法是与等比级数进行比较得到的结果，拉贝判别法是与调和级数比较得到的结果。

3、交错级数的莱布尼茨判别法：

交错级数敛散性的判别法一定是这十一个方法里辨识度最高的也是用法最简单的了。这里只需要强调一点：交错级数收敛≠>数列绝对值单调减。反例：an=（-1）^n/2^[n+（-1）^n]。这个数列的绝对值小于1/2^（n-1），因此该级数收敛，但是|a2|=1/8，|a3|=1/2。推而广|a（2n+1）|>|a（2n）|。

4、绝对收敛级数（自身重排）&与其他级数四则运算：

这一块还是很有趣的，不像前面的方法那样死板枯燥。

Segment1级数自身的重排。

最开始需要2个重要的结论：

（1）正项（负项）收敛级数的重排仍是正项（负项）收敛级数，且重排前与重排后的两个级数收敛于同一个值。

（2）正项（负项）发散级数的重排仍是正项（负项）发散级数，且重排前与重排后的两个级数都发散于正无穷（负无穷）。

Segment2级数加括号。

加括号是很好理解的，就是数列Sn（Sn=∑an）与Sn子数列（Sn子数列=∑a i（n））的关系。原数列发散则子列收敛，子列收敛，原数列不一定收敛，但是一个数列的所有子列收敛于同一个值那么原数列收敛。综上所述：级数收敛，加括号后一定收敛。

逆否之，级数发散，去括号后一定发散。级数收敛，去括号（裂项）后不一定收敛。（比如0+0+……=（1-1）+（1-1）+……≠1-1+1-1+……）。

Segment3级数的乘法&加法运算。

这一部分我打算由浅入深的写（其实都很浅显），但我会尽最大努力做到严谨的。一定成立的结论写证明，不一定成立的结论写反例。

上面六种粗分情况中，有四种是不一定，既然有绝对收敛与条件收敛这个细分，那么对于d等式左侧带有收敛的算式（情况1，2）加入这两个细分的限定条件以后，不一定里会不会出现一定呢。同时第一种情况也可以从绝对收敛条件收敛的角度重新考虑。

综上所述：把一定成立的结论列举出来权当总结：

（一）：加法。

（1）绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛。

（2）条件收敛+绝对收敛=条件收敛。

（3）条件（绝对）收敛+发散=发散。

（二）：乘法。

绝对收敛×有界数列（绝对，条件收敛数列都是有界数列）=绝对收敛。

（这句话的应用范围非常广阔，阿贝尔定理（注意是阿贝尔定理，区分它和阿贝尔引理）就是这句话推出来的。）

5、适用于一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：

这两种判别方法其实是另一种分类方式（单调数列，有界数列）的乘法运算中的两个一定成立的特例。

之后结合阿贝尔引理和柯西准则，只要再对an，bn添加一些附加条件使得在"N项之后"【max{aN+1，aN+2...an}是一个类似无穷小的值】or【大于N后，A这个界是个类无穷小值】就可以了。

如果an单调有界，那么max那块就是个确定的数，同时∑bn收敛，那么大于N时，即b（N+1）+b（N+2）+......的绝对值小于一个类无穷小量。这就是阿贝尔判别法，an单调有界，∑bn收敛，那么∑anbn收敛。

如果an单调有界，那么an收敛，假设an收敛于0的话，max项变成了一个类无穷小项。此时只要∑bn有界就可以了。这就是狄利克雷判别法，an单调有界，收敛于0。∑bn有界，那么∑anbn收敛。

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荷泽市18477834507： 判别级数收敛性的方法有哪些? - ？
陈万斯唯： 上面几楼说的都对,但是都不全.我来说个全一些的.(纯手工,绝非copy党)首先要说明的是:没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法.下面是一些常用的判别法:一、对于所有级数都...

荷泽市18477834507： 常数项级数审敛法? - ？
陈万斯唯： 1. (1) ∑1/(3n+2) > (1/3)∑1/(n+1), 后者发散,则原级数发散. (3) ∑sin(π/2^n) < π∑1/2^n, 后者收敛,则原级数收敛. (5) ∑1/[n(n)^(1/n)] = ∑1/n^(1+1/n), 根据 p 级数收敛法则,级数收敛. 2. (2) ρ = lima/a = lim(n+1)! 4^n / [4^(n+1) n!] = lim(n...

荷泽市18477834507： 常数项级数敛散性的判别 - ？
陈万斯唯： 收敛. 刚才看错了,更正一下, ∑n^2 Sin[π/2^n],n从1到+∞, 首先,它是一个正项级数, 其次, Sin[π/2^n]≤π/2^n 所以∑n^2 Sin[π/2^n] ≤ ∑n^2/2^n, 然后先判断∑n^2/2^n是否收敛, 当n→+∞时, 后项除以前项得 ((n+1)/n)^2/(2^(n+1)/2^n)= 1/2<1, 所以∑n^2/2^n收敛, ∑n^2 Sin[π/2^n]为正项级数随着n增大而增大, 但是∑n^2 Sin[π/2^n]≤∑n^2/2^n, 单调递增有上界比收敛.

荷泽市18477834507： 无穷级数1/lnn的敛散性怎么判断 - ？
陈万斯唯： 比较法即可,∑1/lnn的一般项1/lnn为正,直接与调和级数∑1/n比较,因为1/lnn>1/n,而∑1/n发散,故原级数发散. 判别法: 正项级数及其敛散性 如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0,则这个级数就是所谓的正项级数. 正项级数的主要...

荷泽市18477834507： 判别级数的敛散性:∑(上面∞,下面n=1)1/﹙2n - 1)(2n+1) - ？
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荷泽市18477834507： (1)判别级数∞n=1n2n的敛散性;(2)判别级数∞n=1n2ncosn2是绝对收敛,条件收敛,还是发散? - ？
陈万斯唯：[答案] (1)级数收敛.设un= n 2n, 因为正项级数, lim n→∞ nun = 1 2<1,故该级数收敛. (2)绝对收敛. 比较审敛法: ∞ n=1 n 2n和 ∞ n=1 n 2ncos n 2都是正项级数, 令cos n 2≤M≤1,且 n 2ncos n 2≤M n 2n≤ n 2n, 又 ∞ n=1 n 2n收敛, 所以级数 ∞ n=1 n 2...

荷泽市18477834507： 数学分析中,级数中求敛散性的方法有多少种 - ？
陈万斯唯： 首先可根据级数收敛的必要条2113件,级数收敛其一般项的极限必为零.反之,一般项的极限不为零级数必不收敛.52614102 若一般项的极限为零,则继续观察级数一般项的特点: 若为正项级数,则可1653选择正项级数审敛法,如比较、比值、根值版等审敛法. 若为交错级数,则可根据莱布尼茨定理. 另外权,还可根据绝对收敛与条件收敛的关系判断.

荷泽市18477834507： 用比较判别法或极限形式判断下列级数的敛散性 - ？
陈万斯唯： (3) lim un/(1/n^2) = 1/2 < ∞,收敛, (4) lim un/(1/n^2) = e < ∞,收敛, (5) lim un/(1/a^n) = {1(a>1);0(0<a<1);1/2(a=1), 所以 a>1 时收敛,0<a≤1 时发散. (6) lim un/(1/n) = 1,发散.

荷泽市18477834507： 敛散性怎么判断 - ？
陈万斯唯： 当 n→∞时,e^(1/√n)-1 等价于1/√n,用正项级数比较审敛法的极限形式: 用 [e^(1/√n)-1]/(√n +3) 除以 1/n,极限为1,说明原级数与 调和级数敛散性相同,所以发散.

荷泽市18477834507： 怎样判断级数是不是绝对收敛 - ？
陈万斯唯： 当然不是,首先要判断是否绝对收敛的级数都是变号的,一般是交错级数,可以写成∑(-1)^n*an的形式,绝对收敛的定义是该级数的通项取绝对值后级数仍收敛,加绝对值后得到的其实就是一个正项级数∑an,要判断它的敛散性,所有判断正项级数敛散性的方法都适用,当然也可以用p级数判断,这只是一种方法而已.