设A为n阶矩阵 若A^3=O 则I-A 和I+A 可逆与否,并简要证明。

证明：A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，则I-BA可逆~

假设I-BA不可逆，则存在x0不等于0，且(I-BA)x0=0
所以A(I-BA)x0=(I-AB)Ax0=0
因为I-AB可逆，所以得Ax0=0
那么(I-BA)x0=x0-BAx0=x0不等于0，与上矛盾
所以命题成立

A^-1+B^-1＝A^-1(A＋B)B^-1，所以，A^-1+B^-1可逆，其逆矩阵是：B(A＋B)^-1A

可逆
A³=0，则 A³+I=I
而 A³+I = (A+I)(A²-A+I) =I
这就说明A+I是可逆的

A³-I =-I
可以相似的说明 A-I是可逆的

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尚志市18250553710： 设A为n阶矩阵 若A^3=O 则I - A 和I+A 可逆与否,并简要证明. - ？
其阮舍兰：[答案] 可逆 A³=0,则 A³+I=I 而 A³+I = (A+I)(A²-A+I) =I 这就说明A+I是可逆的 A³-I =-I 可以相似的说明 A-I是可逆的

尚志市18250553710： 设A为n阶矩阵 若A^3=O 则I - A 和I+A 可逆与否,并简要证明. - ？
其阮舍兰： 可逆 A³=0,则 A³+I=I 而 A³+I = (A+I)(A²-A+I) =I 这就说明A+I是可逆的 A³-I =-I 可以相似的说明 A-I是可逆的

尚志市18250553710： (证明题)试证:设A是n阶矩阵,若A^3=0,则(I - A)^ - 1=I+A+A^2请写出详细过程 - ？
其阮舍兰：[答案] 证: 因为(I+A+A^2)(I-A)=I+A+A^2-(I+A+A^2)A=I+A+A^2-A-A^2-A^3=I-A^3 因为A^3=0,所以(I+A+A^2)(I-A)=I 故I-A可逆,且(I-A)^-1=I+A+A^2

尚志市18250553710： 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3=O,则E+A是否可逆? - ？
其阮舍兰：[答案] A^3=O, 那么A^3+E=E 所以由立方和公式可以得到 (E+A)(A^2-A+E)=E 所以由逆矩阵的定义可以知道, E+A是可逆的, 而且(E+A)^(-1)=A^2-A+E

尚志市18250553710： 设A为n阶方阵,且A^3=O,则(E+A)^ - 1=多少,请给出详细答案 - ？
其阮舍兰： A^3=0 所以A^3+E=E(A+E)(A^2-A+E)=E 所以(A+E)^-1=A^2-A+E

尚志市18250553710： 【求问】设A为n阶矩阵,若A^3=O(这是字母O),证明(E - A)的负一次=E+A+A^2 - ？
其阮舍兰：[答案] A^3=O A^3-E=-E E-A^3=E (E-A)(E+A+A^2)=E 由定义可知,E-A可逆 且 (E-A)^(-1)=E+A+A^2.

尚志市18250553710： 证明题:设A是n阶矩阵,若A的三次方=0,则(I - A)的负1此方=I=A=A的2此方 - ？
其阮舍兰： A^3=0,所以I=I-A^3=(I-A)(I+A+A^2),因此I-A可逆,且I-A的逆为I+A+A^2.

尚志市18250553710： 设A为n阶方阵,且A^3=O,则(E+A)^ - 1=多少 - ？
其阮舍兰：[答案] A^3=O, 所以E+A^3=E(E为n阶单位矩阵) 将E+A^3展开等于(E+A)(E-E*A+A^2)=E, 由逆矩阵的定义可以知道若AB=BA=E,则A、B互为逆矩阵, 所以E+A的逆矩阵为E-E*A+A^2=E -A+A^2, 即(E+A)^-1=E -A+A^2

尚志市18250553710： (证明题)试证:设A是n阶矩阵,若A^3=0,则(I - A)^ - 1=I+A+A^2 - ？
其阮舍兰： 证:因为(I+A+A^2)(I-A)=I+A+A^2-(I+A+A^2)A=I+A+A^2-A-A^2-A^3=I-A^3 因为A^3=0,所以(I+A+A^2)(I-A)=I 故I-A可逆,且(I-A)^-1=I+A+A^2

尚志市18250553710： 设A为n阶方阵,且A^3=O,则(E+A)^ - 1=多少 - ？
其阮舍兰： A^3=O, 所以E+A^3=E(E为n阶单位矩阵) 将E+A^3展开等于(E+A)(E-E*A+A^2)=E, 由逆矩阵的定义可以知道若AB=BA=E,则A、B互为逆矩阵, 所以E+A的逆矩阵为E-E*A+A^2=E -A+A^2, 即(E+A)^-1=E -A+A^2