高中数学数列总结

跪求高二数学数列问题方法总结…~

一：数列通项公式的求法
1、直接法，也就是看看数列的规律，例如1、2、3、4。。。A(n)=n;
2、累加法，主要是用于计算，给出的关系式中数列的前一项和后一项的系数相同，例如A(n)=A(n-1)+k;这样的题目的计算方法就是将左右两边的角码依次递减，A(2)=A(1)+k;A(3)=A(2)+k...以此类推，最后再将左右的所有项相加即可。这种一般的结果是A(n)=A(1)+k*(n-1);
3、叠乘法，具体方法和累加法差不多，不过它一般适用于A(n)=k*A(n-1);这种形式，一般结果是A(n)=A(1)*k^(n-1);
4、构造法，一般是针对于a*A(n)=b*A(n-1)+k（这是最简单的形式，如果你们老师想难一点的话，完全可以再加上A(n-2)、A(n-3).....),举个简单的例子；A(n)=2*A(n-1)+1,将这个等式的两边同时加上1，你会发现左边等于A(n)+1,右边等于两倍A(n-1)+1，这样一来，左右的形式就一样了，然后再用上面的叠成法即可做出来。如果出现了分式，要先将分式变成这样的，然后构造就好了。或者用下面这个逆天的方法也是可以的
*5、（有兴趣的话也可以看看这种方法，我当时学的时候用这种方法就没有做不出来的通项公式！）特征方程法，具体做法是将数列转化成为方程，因为函数、数列、方程，三个本来就是一体的。举个例子，A(n)=3*A(n-1)-2*A(n-2)，可以将之转化成为x^2=3*x-2（如果出现了A(n-3)，则将A(n)换成x^3,A(n-3)换成1，依次类推即可）,然后你所需要做的就是将这个一元二次方程解出来，相信这应该是很简单的，得出x1=1,x2=2;所以，最后的结果就是A(n)=A(x1)^n+B(x2)^2,其中，A,B是需要通过题目给的A(1),A(2)确定的。完整的方法你要是想知道可以上网查一下，这里只是稍微提一下就好了，至于为什么能够这样做，大学里面会说，它的专业名称叫做差分方程。如果是分式，则是一样的，也是将角码最小的换成x^0，然后依次提高指数。然后，将等式两边同时减去解出来的两个解（一般是两个，一个的就是简单的了），可以构造成为叠乘的形式，进而求解。
通项公式知道这些方法就够应付高考了，还有其他的方法主要是要你自己总结。
二、关于数列求和
1、裂项相消。这主要就是利用分数的一个性质，比如说1/(n-1)*n=1/n-1/(n-1);后来的方法就和累加法差不多了，也是写了n-1个式子，将左右两边分别相加，你会发现左边就是和，而右边则只剩下了第一个和最后一个（有时候也会有常数项，不过那不影响，因为很简单的）。可能有时候分母的差不止1，如果是k，那么就在整个式子的前面乘以1/k;
2、错位相减。这个方法使用的范围是，一个等差数列乘以一个等比数列。举个最简单的例子，A(n)=2^n*n；
求这个式子的和，你要做的是先将两边同乘以等比数列的公比，这样就变成了
S(n)=A(n)+ A(n-1) +A(n-2)+…+ A(2)+ A(1)= 2^n*n+2^(n-1)*(n-1)+2^(n-2)*(n-2)+…+2^1*1;(#)
2*S(n)=2*A(n)+ 2*A(n-1) +2*A(n-2)+…+ 2*A(2)+ 2*A(1)= 2^(n+1)*n+2^n*(n-1)+2^(n-1)*(n-2)+…+2^2*1;(*)
将（#）（*）式中的等差数列项相同的项相减，就会得到左边是-S(n)(一般用上面的减下面的，不容易错)，右边等于2^n+2^(n-1)+ 2^(n-2)+…+ 2^(1)-2^(n+1)*n;后来的就很简单了，这里就不再赘述。
一般情况下，考试的范围就是在这两种之中，但是也不全是，这主要还是需要积累
（***）三、数列不等式的解法（顺便说一下）
1、 裂项相消，同上
2、 放缩，这在不等式里面会有
3、 赋值法，主要是为了知道有什么规律，然后从规律入手，事半功倍。
4、 构造函数法，将数列变为函数，根据对函数性质的解析，来解题，这要在学习了导数之后才比较好用
5、 还有当出现，数列是高次项的时候，比如二次方，要做的是两边同时求对数降次求解。遇到之后你就知道了
大概数列当中一般的题目都是在这里面的，当然还是需要你做一些新题型，学习一些新方法，毕竟科学总是要进步的不是，对了忘说了，所有的这些题型当中，数学归纳法一般都可以做的出来（除了出现了一边没有变化的情况），只要你逻辑够好，不怕麻烦，用数学归纳法绝对是好的选择，这简直就是在开挂啊（往事不堪回首。。。），最后，好好学习哈

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。


且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）*项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项－首项）/公差＋1

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1时，an为常数列。 　　（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
等比数列通式
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 　　（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) 　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 　　=(a1-a1q^n)/(1-q) 　　=(a1-an*q)/(1-q) 　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
等比数列求和公式
(前提：q≠ 1) 　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)；在运用等比数列的前n相和时，一定要注意讨论公比q是否为1. 　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项。 　　等比中项公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2 　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式： 　　无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。 　　(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： 　　{an}是公比为q的等比数列 　　1.若A=a1+a2+……+an 　　B=an+1+……+a2n 　　C=a2n+1+……a3n 　　则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 　　2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 　　B=a2+a5+a8+……+a3n-1 　　C=a3+a6+a9+……+a3n 　　则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q编辑本段性质
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq； 　　(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。 　　(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 　　(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则 　　{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3… 　　{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。 　　（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。 　　（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。 　　(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 　　(8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列， 　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 　　(9)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。编辑本段求通项公式的方法
（1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an 　　构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x） 　　a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3 　　所以（a（n+1）+3）/（an+3）=2 　　∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3

教学课题： 数列的求和
备课人：王德固
教学目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列；
教学前的准备：
（1） 基本公式：
① 等差数列的前n项和公式
；
② 等比数列的前n项和公式

（2） 特殊数列求和---常用数列前n项和（记忆）

教学过程： 对于非等差数列、等比数列的特殊数列，求其前n项和的一般方法是：先求数列的通项公式，再分析数列通项公式结构的特征，然后转化为等差数列、等比数列求和或采用消项的方法求和。
知识点1：公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可）

知识点2： 分组结合法（分组求和法、拆项法）
若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
知识点3：裂项相消法 （裂项法）
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法；
知识点4：错位相减法
若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
知识点5：倒序相加法
倒序相加法是推导等差数列前n项和公式的一种方法，在今后学习“排列、组合、二项式定理”一章中还会应用到，这里不加说明。
小结：特殊数列求和的几种常用方法的说明和应用；

4大基本方法
裂项求和 倒序相加 错位相减
分组组合
① 等差数列的前n项和公式
；
② 等比数列的前n项和公式

（2） 特殊数列求和---常用数列前n项和（记忆）

教学过程： 对于非等差数列、等比数列的特殊数列，求其前n项和的一般方法是：先求数列的通项公式，再分析数列通项公式结构的特征，然后转化为等差数列、等比数列求和或采用消项的方法求和。

记熟公式，知道该用那一个

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乡宁县19741379527： 高中数学 总结数列部分 请给列个提纲 谢谢 - ？
右光替巴：[答案] 数列综合 数列作为特殊的函数,在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如,在分析数列性质时,往往都要从数列中每一项的下标分析入手,这一点,与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系,所以,数...

乡宁县19741379527： 高中数列知识点详解 - ？
右光替巴： 第一:掌握两个重要的数列:等差数列和和等比数列,重点掌握它们的性质、通项公式的求法以及n项和的求法(公式).这两个数列是常考的题型.必须要熟练掌握!第二:学会常见的数列通项公式an的求法(主要有:定义法、叠加法、曡乘法、构造数列法、猜想和数学归纳法)和n项和Sn的求法(公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等),同时要多积累和总结这方面的题型.第三:要想拿高分,还要积累一些常见的放缩公式,以便用于证明一些有关数列不等式 第一和第二是重点也是基础,一定要掌握!至于第三嘛,靠慢慢积累才行!

乡宁县19741379527： 高中数学数列总结 - ？
右光替巴： 教学课题: 数列的求和 备课人:王德固 教学目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用公式法、分组结合法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法求解一些特殊的数列; 教学前的准备:(1) 基本公式:① 等差数列的前n...

乡宁县19741379527： 高三数列专题总结？
右光替巴： 数列是高中数学的重要内容,它是学习高等数学的基础,是高考的热点问题.在高考中灵活运用通项公式、前n项和公式以及两种特殊数列的性质将是考查的重点.在数列的考查中主要体现了函数与方程、等价转化、分类讨论、归纳等数学思想...

乡宁县19741379527： 帮忙总结一下高中数列的基础知识 - ？
右光替巴： 高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算...

乡宁县19741379527： 哪个大师 能帮我归纳一下高中数列知识 高三复习了 希望能用上 给分 - ？
右光替巴： 数列知识精要 数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示....

乡宁县19741379527： 求高中数学数列求和方法总结 - ？
右光替巴： 1. 公式法:等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2等比数列求和公式:Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)2.错位相减法适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等...

乡宁县19741379527： 高中数学等差等比数列公式总结对比 - ？
右光替巴：[答案] 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示. 等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d (1) 前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2...

乡宁县19741379527： 求高中数学数列的方法总结,高手进 - ？
右光替巴： 1、判断一个数列是等差数列的方法:定义法、中项法、通项公式法、前n项和公式法; 2、判断一个数列是等比数列的方法:定义法、中项法、通项公式法; 3、数列求和的方法: 1、直接利用公式求和; 2、倒序相加法; 3、错位相减法; 4、分解转化(拆项)法; 5、裂项相消法; 6、并项法. 4、函数思想:将数列上升为特殊的函数来认识; 5、数形结合思想方法:函数的图象能直接反映数列的本质; 6、方程(组)思想:等差、等比数列中在求时,知三求二,所用的就是方程思想. 7、观察分析法:求通项公式时常用; 分类讨论法:求等比数列的前n项和公式时要考虑公比是否为1,公比是字母时要进行讨论.

乡宁县19741379527： /高考中“数列”这一章一般考什么,请给我详细的总结,最好含有例题,谢谢 - ？
右光替巴： 数列在整个高中数学中处于知识和方法的汇合点,在这个单元中显性知识包括三个概念、两种公式和一种关系(an和Sn的关系),隐性方面包括五种基本方法(观察归纳、类比联想、倒序相加、错位相减、裂项求和)和五种重要的数学思想(...