多项式的因式分解方法有哪些?
多项式的因式分解方法共计12种,方法如下:
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解:a +4ab+4b =(a+2b)
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解:令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
多项式的因式怎么分解?
的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等...
分解因式怎么做
因式分解的方法:因式分解主要有四种方法:(1)提取公因式法。(2)运用公式法。(3)十字相乘法。(4)添项拆项分组法。其中(1)(2)种方法是比较简单的。※(1)方法只要有一双慧眼,能发现几个单项式中的公因式即可。※(2)方法主要就是要背出几个公式:如:平方差公式:a²-b...
如何将二次多项式因式分解?
二次三项式的因式分解:十字相乘法 1. 根据多项式的乘法法则我们可以得到: (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab .利用这个规律,我们可以得到分解形如 x2+px+q 的二次三项式的方法:如果可以找到两个数 a、b,使得常数项为两者的积,同时一次项系数为两者的和,即 ab=q , a+b=p ,则 x2...
因式分解技巧
⑶分组分解法 分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法 拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意...
因式分解的方法顺口溜
口诀 “第一提取公因式,两项平方差公式,三项完全平方式,四项分组要合适。首项负号要提负,某项整提莫漏1,结果必须连乘式,分解一定要彻底。”方法 1、一样地,假设多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提来括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。2、分组分解...
二次三项式因式分解公式
二次三项式因式分解的方法如下:1、如果二次三项式可以直接提取公因式,即可以找到一个公共的因数将各项整除,则先进行提取公因式。2、如果二次三项式不能直接提取公因式,则考虑使用十字相乘法、配方法或求根公式法进行因式分解。3、使用十字相乘法时,需要将二次项系数和常数项分解成两个数的积,然后...
怎样进行因式分解,有哪四种方法?
三 、配方法 一般是先把含有字母的项配成完全平方的形式,剩下常数项,然后再利用平方差公式进行因式分解。四、拆项法 将需要拆掉的项按照其余项的系数绝对值拆分。五、换元法 换元法因式分解的一般规律:将原式中相同的部分用一个字母代替,然后分解因式,最后再代入字母,即为所求。
初三数学因式分解法
因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等。把一个...
如何因式分解
8求代数的值:先因式分解在求值 方法二:公式法:1平方差公式 2完全平方公式 平方差公式:a的平方-4=(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)=a的平方-4 注意:分解的结果不能为根号,如:x的平方-7y的平方 完全平方公式:首的平方加减2*首*尾+尾的平方 特点:1必须是三项式 2有两个“项”的...
分解因式法 过程请解释
“月” 和 “目” 就是 3na、3nb 的两个长方形,写成 3na + 3nb 像 “朋” 就是两项式 如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3n ( a + b ) 的一个长方形 把 3na + 3nb 的两项式变成 3n ( a + b ) 乘积的式子就是因式分解 分解因式最简单的方法,就是提公...
骆楠复方:[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,...
北镇市13055199654: 含多项式的因式分解有几种解法啊?最好有例题 - ?
骆楠复方:[答案] 因式分解解法归纳:1.提公因式法.2.公式法.3.分组分解法.4.凑数法.[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]5.组合分解法.6.十字相乘法.7.双十字相乘法.8.配方法.9.拆项补项法.10.换元法.11.长除法.12.求根法.13.图...
北镇市13055199654: 对于复数分解因式的方法和技巧 - ?
骆楠复方:[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化...
北镇市13055199654: 怎么将任意的多项式因式分解 - ?
骆楠复方: 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多...
北镇市13055199654: 一元四次多项式的因式分解的详细方法是什么是什么 - ?
骆楠复方:[答案] 待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例如在分解x^4-x^3-5x62-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2...
北镇市13055199654: 高次多项式一般怎么因式分解 - ?
骆楠复方: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不...
北镇市13055199654: 分解因式有哪几种方法? - ?
骆楠复方:[答案] 拿到一道因式分解,在方法的选取上一般是:1.先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式;2.再看能否使用公式法;3.对于二次三项式的多项式,在不能使用公式法时要考虑十字相乘法;4.对于四项或四项以上的多项式,要考虑分组分解...
北镇市13055199654: 三阶多项式怎样因式分解 - ?
骆楠复方:[答案] 三阶多项式怎样因式分解? 对于三次或更高次的因式分解有: 基本方法)对一般的高次多项式有 配方法、公式法、换元法和分组分解法 (特殊方法)也可以用试根法(因式定理)找到因式,再用待定系数法(结合赋值法)求出待定系数,或综合除...
北镇市13055199654: 因式分解的题型 - ?
骆楠复方:[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出...
北镇市13055199654: 因式分解法解法,详细的过程 - ?
骆楠复方:[答案] 提取公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式,也可以是多项式. 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式....