高等代数线性变换

作者&投稿:大狐种 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
高等代数,线性变换~

根据你的描述是这样的

1、D T为单射,则AX=0只有零解,A可逆故T可逆。反之T可逆为双射必为单射。
2、C 由秩零定理dimN(T)+dimT(V)=dimV,T为满射则dimT(V)=dimV,所以N(T)=0,T单
反之,T单射则dimN(T)=0,故dimT(V)=dimV,又T(V)是V的子空间,所以T(V)=V,T为满射

分几步来证

记号:Eij表示(i,j)位置为1,其余为0的矩阵。

  1. D是双射(只需证单射)。

    若存在非零矩阵A使得D(A)=0,A至少有一个非零元,比如A(i,j)≠0,那么D(EpiAEjq)=0 => D(Epq)=0对所有的p和q都成立,得到D=0,矛盾。

  2. D保持秩不变,即rank(D(A))=rank(A)。

    因为关于X的方程AX=0和关于Y的方程D(A)Y=0的解有一一对应关系。

  3. D(I)=I。

    因为D(I)^2=D(I),且D(I)满秩。

  4. 存在列向量x_1,...,x_n, y_1,...,y_n, 以及常数a_ij使得D(Eij)=a_ij x_i y_j^T。

    首先,D(Eij)是秩一矩阵,所以可以写成u_ijv_ij^T的形式。

    利用D(Eij)D(Ejk)=D(Eik)得到u_ij和u_ik线性相关,所以可以把同一个i对应的所有u_ij都取成一样的x_i,引发的变化可以放到常数项a_ij里。

    类似地,对同一个j而言所有的v_ij也可以都取成同一个y_j,相应地修改一下a_ij即可。

  5. 取X=[x_1,...,x_n]和Y=[y_1,...,y_n],那么可以要求XY^T=I,这样D(Eij)=aijXEijY^T=aijXEijX^{-1}。

    首先,i≠j时y_i^T x_j=0由D(Epi)D(Ejq)=0得到。

    然后可以要求y_i^T x_i = 1,理由同上,归一化带来的影响可以扔给a_ij。

  6. 在上面的取法里必定有a_jj=1。

    因为D(Ejj)^2=D(Ejj) => a_jj=1。

  7. 在上面的取法里必定有a_ij^2=1。

    取第2类初等矩阵P=I-Eii-Ejj+Eij+Eji,那么P^2=I => D(P)^2=I => aij^2=aji^2=1。

  8. a_ij=aji。

    由D(Eij)D(Eji)=D(Eii)得到a_ija_ji=aii=1

  9. 可以要求a_1j=1。

    如果a_1j=-1,那么把x_j和y_j分别换成-x_j和-y_j,相应的a_ij也变号即可。

  10. 所有的a_ij=1。

    利用E1iEj1=Eij得a_ij=1。

至此我们证明了D(Eij)=XEijX^{-1},利用线性性质即得结论。



(1)T(X1+X2)=A(X1+X2)=AX1+AX2=T(X1)+T(X2),T(kX)=A(kX)=kAX=kT(X).
(2)将T(E11)=AE11表成xE11+yE12+zE22,即求出x,y,z。同理再求T(E12),T(E22),按定义写出线性变换的矩阵。
(3)即证T可对角化,或(2)中的矩阵可对角化。

  高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。如今大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初步 、多项式代数。

  很多人把高等代数和线性代数混为一谈,但其实高等代数是大学数学专业开设的专业课,线性代数是大学中除了数学专业以外的理科,工科和部分医科专业开设的课程。

  代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科,数学的各个分支的发生和发展,基本上都是围绕着这三大学科进行的。

  代数学与另两门学科的区别,主要在以下两点:

  首先,代数运算是有限次的,而且缺乏连续性的概念。也就是说,代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的,但是为了认识现实,有时候需要把它分成几个部分,然后分别地研究认识,再综合起来,就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段,也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系,并不能说明这时它的缺点,时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

  其次,代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外,就数学本身来说,代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念,大大地丰富了数学的许多分支,成为众多学科的共同基础。


高等代数线性变换
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