向量的运算，具体过程

平面向量运算，求具体过程~

哪一步？你是说向量积公式吗

设a=（x1,y1），b=（x2,y2）。 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。a+b=( ， )。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。交换律：a+(-b)=a-b 实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。实数p和向量a的点乘乘积是一个数。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则；若a、b共线，则。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|与|a|·|b|不等价4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。 运算法则：运用三阶行列式设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a平行b〈=〉a×b=0向量的向量积运算律a×b=－b×a（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）a×（b+c）=a×b+a×c.（a+b）×c=a×c+b×c.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c混合积具有下列性质：1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK 由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程： 给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系： 证明：由混合积的性质可知 （即把c×d看成一个新的向量e，利用性质(a×b)·e=a·(b×e)）再根据二重向量积的性质可知该公式可用于证明三维的柯西不等式证明：令公式中a=c、b=d，则：设 ，那么：即　　等号成立的条件是 ，即a、b共线（ 或b=0）

向量：在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母（a、b、u、v），或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量的模

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

注：1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，。

2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。

运算

设a=（x，y），b=(x1，y1)。

加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。

a+b=(x+x1，y+y1)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

交换律：a+(-b)=a-b

数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

向量积

定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=

a b c

x1 y1 z1

x2 y2 z2

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=－b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.

（a+b）×c=a×c+b×c.

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

已知结论1：若a,b,c三个向量组有二个向量平行，则(a×b)*c=0。
已知结论2：(a×b)*c=(b×c)*a=(c×a)*b。

用分配律，原式
＝(a×b+a×c+b×b+b×c)*(c-a)
=(a×b)*c-(a×b)*a+(a×c)*c-(a×c)*a+(b×b)*c-(b×b)*a+(b×c)*c-(b×c)*a
=2-0+0-0+0-0+0-2
=0。

原式=[axb+axc+bxb+bxc](c-a)=[axb+axc+bxc](c-a)=(axb)c-(bxc)a=0

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武冈市15885173285： 向量的运算,具体过程 - ？
释金丙赛： 已知结论1:若a,b,c三个向量组有二个向量平行,则(a*b)*c=0. 已知结论2:(a*b)*c=(b*c)*a=(c*a)*b.用分配律,原式 =(a*b+a*c+b*b+b*c)*(c-a) =(a*b)*c-(a*b)*a+(a*c)*c-(a*c)*a+(b*b)*c-(b*b)*a+(b*c)*c-(b*c)*a =2-0+0-0+0-0+0-2 =0.

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武冈市15885173285： 向量要怎么运算啊 - ？
释金丙赛： a=(3,1), b=(-1,0) λa=(3λ,λ ) 2b=(-2,0) λa+b=(3λ-1,λ ) a-2b=(5,1). 因为向量λa+b与a-2b垂直 所以(λa+b)乘(a-2b)等于零, 所以=(3λ-1,λ )乘(5,1).=15λ-5+λ=16λ-5=0 ,λ=5/16

武冈市15885173285： 向量是什么?向量怎么运算? - ？
释金丙赛： 怎么说呢,向量就是这样的一种量,既有大小,又有方向 一般用一条有方向的线段,即有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 向量的大小叫做向量的模,一般用一个绝对值号表示,比如|a| 模为1的向量叫做单位向量,模为0的向量角做零向量,零向量的方向是任意的 我们涉及的都是自由向量 向量的运算有加减法、数乘、数量积、向量积、混合积等 向量可以用坐标表示.反正一两句也说不明白,如有问题,可探讨.

武冈市15885173285： 什么是向量运算 - ？
释金丙赛： 一、向量的概念 日常中我们所遇到的量可以分为两类:一类量用一个数值便可以完全表示,比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类,这一类质量称为数量(或标量);另一类量,除了要用一个数以外,还要指明它的方向才能够完全表示,...

武冈市15885173285： 向量的加减运算怎么算 - ？
释金丙赛： 向量的运算有两类,第一是几何运算,就是通过画图,平行四边形法则和三角法则.第二是坐标运算(分加法,减法和数乘,还有数量积)自己心里要有大块的框架才不至于学乱

武冈市15885173285： 如何表示和运算向量呢? - ？
释金丙赛： 1.已知向量的两个短点,用终点坐标减起点坐标计算该向量的坐标. 向量PQ=(1,2)-(2,3)=(1-2,2-3)=(-1,-1). 向量MN=(5,3)-(2,2)=(5-2,3-2)=(3,1). 2. 两个向量相加的结果=(横坐标相加,纵坐标相加) 向量PQ+向量MN=(-1,-1)+(3,1)=(-1+3,-1+1)=(2,0). 3. 两个向量相乘的结果=横坐标相乘+纵坐标相乘 向量PQ*向量MN=(-1,-1)*(3,1)=(-1)*3+(-1)*1=-4.

武冈市15885173285： 向量的基本运算 - ？
释金丙赛： 1、a,b均为向量∵ |a+b|=|a-b| ∴a⊥b a,b,a+b与a,b,a-b均构成直角三角形,斜边为5,所以|b|=4 2、a,b,c,d均为向量,a*b=2*3*cos60=2*3*1/2=3 (1)∵c∥d ∴|c*d|=0 c*d=(3a+b)*(2a+kb)=6a*a+2b*a+3ka*b+kb*b=(3k-2)a*b |c*d|=|3k-2||a*b|=0 |a*b|...

武冈市15885173285： 向量是什么,加法减法运算法则是怎么运算的. - ？
释金丙赛： 向量加减遵循平行四边形法则,三角形法则

武冈市15885173285： 高中数学向量坐标的基本运算, - ？
释金丙赛：[答案] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)设→AB=a,→BC=b,→CA=c,且→CM=3c,→CN=-2b(1)求3a+b-3c(2)求满足a=mb+nc的实数m,n(3)求M,N的坐标及向量→MN的坐标需要详细的解答过程,