勾股定理的典型例题

勾股定理典型例题及答案~

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1．中国方法

画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是

a2+b2=c2。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2．希腊方法

直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出，

△ABA’ ≌△AA’’ C。

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是，

S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：

⑴ 全等形的面积相等；

⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式，便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

第一章　勾股定理
1.1探索勾股定理
　　专题一　有关勾股定理的折叠问题
　　1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　）
　　A．3cm　　　　　B．4cm　　　　　C．5cm　　　　　D．6cm
　　2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．
3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
　　（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________MN）；
　　（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______．试证明你的猜想；
　　（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是______________．（不要求证明）

① 　 　 　 　 　 　 　　　　　　 ② 　 　 　 　 　 　 　 　　 　③
　　专题二　　勾股定理的证明
　　4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．

　　问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．
　　问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．
　　问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．
　　5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①　　 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．
　　（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
　　（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．

取斜边BC中点O，连AO，
设OC=OB=OA=1，OD=x，
BD=1-x，BD²=（1-x）²=1-2x+x²，
CD=1+x，CD²=（1+x）²=1+2x+x²，
AD²=1²+x²，2AD²=2+2x²，
∴BD²+CD²=2+2x²，
∴2AD²=BD²+CD²

题目“等于二倍AB的平方”应该是“等于二倍AD的平方”

取斜边BC中点O，连AO，
设OC=OB=OA=1，OD=x，
BD=1-x，BD2=（1-x）2=1-2x+x2，
CD=1+x，CD2=（1+x）2=1+2x+x2，
AD2=12+x2，2AD2=2+2x2，
∴BD2+CD2=2+2x2，
∴2AD2=BD2+CD

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高州市13325599888： 勾股定理的例题 - ？
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高州市13325599888： 初二上册数学第一章有关勾股定理的10道题不准超界 - ？
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高州市13325599888： 勾股定律一题:若三角形ABC的三边a,b,c 满足a的平方+b的平方+c的平方+338=10a+24b+26c,试判断三角形ABC的形状. - ？
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爰致瑞力：[答案] 初勾股定理是等几何的著名定理之一.直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积,即如果直角三角形两直角边长度为a和b,斜边长度为c,那么a^2+b^2=c^2.中国古代称直角三角形的直角边为勾和股,斜边为弦,故此定理称为勾...

高州市13325599888： 勾股定理的典型题及答案 - ？
爰致瑞力： 勾股定理的公式:a的平方+b的平方=c的平方 例题:解:设斜边长为X米 在直角三角形, 由勾股定理中可知: X的平方=9的平方+12的平方 =81+144 =255 X=15 满意吗?

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高州市13325599888： 跪求勾股定理经典难题和分类讨论习题(初二) - ？
爰致瑞力：[答案] 我是一位数学老师,我给你讲一下. 勾股定理这个东西真的是非常简单的,你以后会学到函数,你就会发现的.关键是你要活用a^2+b^2=c^2这个定理. 难题并不是它出的难,而是它考点多,如果你能将它逐个击破,那么难度就会破解了. 我相信...

高州市13325599888： 一道数学勾股定理题!一个圆柱形的封闭易拉罐,它的底面半径为4cm,高为10cm,则易拉罐内可放的搅拌棒最长可以为? - ？
爰致瑞力：[答案] 高垂直底面 底面最长的地是直径=4*2=8厘米 所以,直径,高和搅拌棒构成直角三角形,搅拌棒是斜边 所以最长=√(8²+10²)=2√41cm