几何平行四边形问题

几何数学（平行四边形）~

证明：
∵四边形ABFD是平行四边形，四边形CDEB是平行四边形
∴AD平行且等于BF，CD平行且等于EB
又∵BF、BE均平行AC，且都经过B点，
∴B、E、F三点共线
（1）∵图1中，AC=AD+CD，EF=EB+BF
∴AC平行且等于EF
∴四边形AEFC是平行四边形
（2）图2中
∵AC=AD-CD，EF=BF-EB

∴AC平行且等于EF
∴四边形AEFC是平行四边形

提示：利用边角边的条件证明两个三角形DEO和三角形BF0全等。之后全等三角形，对应角相等。角OED等于角OFB。因而证明线段DE平行于BF，因为M和N分别是这两条线段的延长线上的点。所以DM平行于BN。已知平行四边形ABCD，所以线段AB平行于DC；MB平行于DN。因此四边形DMBN对边均平行。所以DMBN是平行四边形。

证明：

过A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC

因为四边形ABCD是平行四边形

所以AB＝CD，AB//CD

所以∠B＝∠DCF

因为∠AEB＝∠DFC＝90°

所以△ABE≌△DCF

所以AE＝DF，BE＝CF

在△ACE、△BDF和△ABE中根据勾股定理得：

AC^2＝AE^2＋EC^2

＝AB^2－BE^2＋（BC－BE）^2

＝AB^2－CF^2＋BC^2－2BC*BE＋BE^2

BD^2＝BF^2＋DF^2

＝（BC＋CF）^2＋AE^2

＝BC^2＋2BC*CF＋CF^2＋AB^2－BE^2

＝BC^2＋2BC*BE＋CF^2＋AB^2－BE^2

两式相加得：

AC^2＋BD^2＝2AB^2＋2BC^2

即：AC^2＋BD^2＝2(AB^2＋BC^2)

这是平行四边形的一个性质，可总结为：

“平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和”

江苏吴云超祝你学习进步

作AE⊥BC  DF⊥BC

知BE=CF   AE=DF

BD^2=(BC+CF)^2+DF^2   (1)

AC^2=(BC-BE)^2+AE^2   (2)

(1)+(2)式=2BC^2+CF^2+CF^2+BE^2+AE^2

因:CF^2+CF^2=DC^2

   BE^2+AE^2=AB^2

   AB=CD

故:BD^2+AC^2=2(AB^2+BC^2)

解法一:ABCD是平行四边形。
过A作AE垂直BC，过D作DF垂直BC于F。
那么， BE=CF，
所以EF=BC AC^2=AE^2+(BC-BE)^2
BD^2=DF^2+(BC+CF)^2
因为 AE=DF,BE=CF，
所以
AC^2+BD^2=2AE^2+2BC^2+2BE^2=2(AE^2+BE^2)+2BC^2=2AB^2+2BC^2

解法二:
AD^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*COS∠ABC ①
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*COS∠BAD ②
∵AB=AD,∠ABC+∠BAD=π
∴ ①+②得到上式
所以上式得证

没有问题~~
通过向量来证明

向量AC=向量AB+向量BC
向量BD=向量BC-向量AB

将上两式子平方相加
就得出结果了

平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，过点D作DF垂直BC延长线于点F，设高为H，AD=BC=a，AB=CD=b
AE垂直BC，DF垂直BC，易证BE=FC，
根据勾股定理，
BE^2+H^2=AB^2 FC^2+H^2=CD^2
(a-BE)^2+h^2=AC^2 a^2-2*a*BE+BE^2+H^2=a^2-2*a*BE+b^2=AC^2
(a+FC)^2+h^2=BD^2 a^2+2*a*FC+FC^2+H^2=a^2+2*a*FC+b^2=BD^2
两式相加，因为BE=FC，所以
2*（a^2+b^2）=AC^2+BD^2
即在平行四边形ABCD中，AC的平方+BD的平方=2（AB的平方+BC的平方）

没问题，参考一下

向量反应出更一般的，更本质的东西，提倡向量法

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