如何求解∫arctanxdx/ x²

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【求解答案】

【求解思路】

1、先用凑微分法，将dx改写成d(1/x),再用分部积分法公式，进一步计算

2、用裂变法，将1/(x(1+x²))分解成1/x-x/(1+x²)

3、用基本积分公式，求∫1/xdx，用凑微分法，求∫x/(1+x²)dx→1/2∫1/(1+x²)d(x²)

4、最后整理积分结果，并加上积分常数C

【求解过程】

【本题知识点】

1、不定积分。

设f(x)在某区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于任一x∈I，成立F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，且f(x)的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C

式中：∫——积分号，f(x)dx——被积式，f(x)——被积函数，F(x)——原函数，C——积分常数

注意：如果将求导看成一种运算，那么积分是其逆运算，也就是已知f(x)，要找一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，所以相对而言，积分比求导要困难。

2、分部积分法。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

简写形式

微分形式

3、凑微分法。凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

本题中，d(1/x)就是凑微分的形式，把(1/x)可以看成是一个新的变量。

4、本题所用的基本积分公式和微分公式。

5、裂变法。裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

常用的裂项法公式

解：用分部积分法求解。
∫arctanxdx/x²=∫arctanxd(-1/x)=-arctanx/x+∫dx/[x(1+x²)]。
而，∫dx/[x(1+x²)]=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C,
∴∫arctanxdx/x²=-arctanx/x+ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C。
供参考。

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海港区17310327346： ∫arctanxdx用分部积分法求解 - ？
晁霭潘妥：[答案] ∫ arctanx dx = x * arctanx - ∫ x d(arctanx) = x * arctanx - ∫ x/(1+x²) dx = x * arctanx - (1/2)∫ d(x²)/(1+x²) = x * arctanx - (1/2)∫ d(1+x²)/(1+x²) = x * arctanx - (1/2)ln(1+x²) + C

海港区17310327346： 一道不定积分的求解求不定积分∫ arctan√xdx详细解答~ - ？
晁霭潘妥：[答案] ∫ arctan√xdx=x arctan√x - (1/2)∫ √x/(1+x) dxlet√x = tanadx/(2√x)= (seca)^2dadx = 2tana(seca)^2da∫ √x/(1+x) dx=∫ [tana/(seca)^2] (2tana(seca)^2)da=2∫ (tana)^2 da= 2∫ [(seca)^2 -1] da=2(tana...

海港区17310327346： 请问如何解决∫arctanxdx - ？
晁霭潘妥： 首先分部积分得到 ∫arctanx dx=x *arctanx -∫x d(arctanx) 而arctanx的导数就是1/(1+x²) 所以∫x d(arctanx)=∫x/(1+x²)dx 那么再凑微分得到 ∫x/(1+x²)dx =1/2 *∫1/(1+x²)d(1+x²)=1/2 *ln(1+x²) +C

海港区17310327346： 计算不定积分∫arctan√xdx - ？
晁霭潘妥：[答案] √x=tx=t²dx=2tdt∫arctan√xdx=∫2tarctantdt=∫arctantdt²=t²arctant-∫t²/(1+t²)dt=t²arctant-∫(1+t²-1)/(1+t²)dt=t²arctant-∫1-1/(1+t²)dt=t²arctant...

海港区17310327346： ∫arctanxdx=? ？
晁霭潘妥： 解:用分部积分法 ∫arctanxdx =xarctanx-∫xd(arctanx) =xarctanx-∫xdx/(1+x²) =xarctanx-(1/2)∫d(1+x²)/(1+x²) =xarctanx-(1/2)ln(1+x²)+C

海港区17310327346： ∫arctanxdx - ？
晁霭潘妥： 原式=xarctanx-∫xdarctanx=xarctanx-∫xdx/(1+x²)=xarctanx-1/2*∫dx²/(1+x²)=xarctanx-1/2*∫d(1+x²)/(1+x²)=xarctanx-1/2*ln(1+x²)+C

海港区17310327346： 怎样用换元法求∫x arctanxdx ? - ？
晁霭潘妥： 此题不建议直接用换元法做,用分部积分法做较快.不过这里按照换元法做.令t=arctanx,x=tant 原式=∫tant*td(tant)=t(tant)^2-∫tantd(ttant)=t(tant)^2-∫tant[tant-t(sect)^2]dt=t(tant)^2-∫(tant)^2-∫tant*td(tant) 移项且两边同时除以2,原式=(1/2)t(tant)^2-(1/2)∫(tant)^2dt=(1/2)t(tant)^2-(1/2)∫(sect)^2+(1/2)∫dt=(1/2)t(tant)^2-(1/2)tant-(1/2)t+C 将t=arctanx代回上式即可.

海港区17310327346： ∫arctanxdx请说明这是用什么方法运用了哪个基本公式, - ？
晁霭潘妥：[答案] 用到求导公式:(arc tanX)`=1 /(1+X^2),用到分部积分公式:∫ u dV=u* V-∫ V * du 原式=∫arctanxdx=X*(arc tanX)- ∫ X * d(arc tanX) ---分部积分 即 原式=X*(arc tanX)- ∫ X *[ 1 /(1+X^2)] dX =X*(arc tanX)-0.5* ∫ [ 1 /(1+X^2)] d(X^2) =X*(arc tanX)-0.5* ∫ ...

海港区17310327346： ∫arctan√xdx求详解 - ？
晁霭潘妥：[答案] 原式= x arctan√x - ∫x d (arctan√x)令t=√x,则 ∫x d (arctan√x) = ∫ t^2 d (arctant) = ∫ t^2 / (1+ t^2) dt = ∫ (t^2+1-1) / (1+ t^2) dt= ∫ 1 dt - ∫ 1 / (1+ t^2) dt = t - arctan t + C将t=√x带入 =...

海港区17310327346： 用分部积分法求 ∫arctanxdx 写明白u和v是谁 谢谢大家了 - ？
晁霭潘妥： u=arctanx,v=x u'=1/(1+x^2),v'=1 原式=∫arctanx*(x)'dx=∫uv'dx=uv-∫u'vdx=xarctanx-∫[x/(1+x^2)]dx (下面使用凑微分法)=xarctanx-(1/2)∫[1/(1+x^2)]d(1+x^2)=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)+C