牛顿二项式公式是什么
对于牛顿非凡的发现,我们在此只能略窥一斑。我们首先介绍牛顿的第一大数学发现——二项式定理。虽然按照欧几里得或阿基米德的概念来说,这不是一条“定理”,因为牛顿没有提供完整的证明。但是,他的见识和直觉足以使他发明出这一恰当而准确的公式,并且,我们将看到,他是如何以一种最奇妙的方式应用这一公式的。
二项式定理论述了(a+b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力,便可以得到如下公式,
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
等等。对于(a+b)12,人们显然希望不必经由(a+b)十几次自乘的冗长计算,就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久,人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密,但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到,二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中,每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此,根据帕斯卡三角,下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如,表值56就等于其上左右两个数字21+35之和。
帕斯卡三角与(a+b)8展开式之间的联系是非常直接的,因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数,即
(a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3
+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行,就可以得到(a+b)12展开式中a7b5的系数为792。所以,帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究,发明了一个能够直接导出二项式系数的公式,而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且,他对模式的持续性的固有信念使他认为,能够正确推导出诸如(a+b)2或(a+b)3
这种形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题,在此还需多说一句。我们知道,在初等
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的(此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交)。牛顿写道:
项式的“指数是整数还是(比如说)分数,是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说,牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下,就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看,
出
也许,这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如,在展开(1+x)3时,
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且,由于我们的原指数是正整数3,所以,展开式到第四项结束。
但是,当指数是负数时,又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如,展开(1+x)-3,根据牛顿公式,我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止。应用负指数定义,这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项,证实
(1+3x+3x2+x3)(1+3x+6x2-10x3+15x4-……)=1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘,也就是求这无穷级数的平方,以检验这一貌似奇特的公式,其结果如下:
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道;“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如,假设我们求
现在,将等式右边的平方根代入前面标有()符号的二项展开式中的前6项,当然,此处要用29替换原公式中的x,因而,我
了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项,我们就会得到更加精确的近似值。并且,我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根,等等,
续演算。
别奇怪的。而真正令人吃惊的是,牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数,而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的,无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数,也就是我们今天所说的积分。但是,对逆流数的详尽说明属于微积分问题,超出了本书的范围。然而,我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理,并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题,但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题,他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如,我们知道,艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文,他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道:“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分,他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB,其垂直纵边为BD,设AB=x,
BD=y,并设a、b、c等为已知量,m和n为整数。则:
到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则,这一图形的面积为
按照牛顿公式,面积为12x2,对这一结果,可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2,“如果y值是由几项之和组成的,那么,其面积也同样等于每一项面积之和。”例如,他写道,曲
那么,牛顿所采用的两个工具就是:二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具,可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题,而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具,使一个古老的问题获得了全新的生命:计算π的近似值。我们在第四章的后记中,追溯了这一著名数字的某些历史,确认了某些学者,如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右,这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法,对这一古老问题进行研究,并取得了辉煌的成就。
如何将二项式展开整理
二项式定理论述了(a+b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力,便可以得到如下公式,
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
等等。对于(a+b)12,人们显然希望不必经由(a+b)十几次自乘的冗长计算,就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久,人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密,但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到,二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中,每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此,根据帕斯卡三角,下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如,表值56就等于其上左右两个数字21+35之和。
帕斯卡三角与(a+b)8展开式之间的联系是非常直接的,因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数,即
(a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3
+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行,就可以得到(a+b)12展开式中a7b5的系数为792。所以,帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究,发明了一个能够直接导出二项式系数的公式,而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且,他对模式的持续性的固有信念使他认为,能够正确推导出诸如(a+b)2或(a+b)3
这种形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题,在此还需多说一句。我们知道,在初等
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的(此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交)。牛顿写道:
项式的“指数是整数还是(比如说)分数,是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说,牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下,就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看,
出
也许,这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如,在展开(1+x)3时,
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且,由于我们的原指数是正整数3,所以,展开式到第四项结束。
但是,当指数是负数时,又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如,展开(1+x)-3,根据牛顿公式,我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止。应用负指数定义,这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项,证实
(1+3x+3x2+x3)(1+3x+6x2-10x3+15x4-……)=1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘,也就是求这无穷级数的平方,以检验这一貌似奇特的公式,其结果如下:
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道;“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如,假设我们求
现在,将等式右边的平方根代入前面标有()符号的二项展开式中的前6项,当然,此处要用29替换原公式中的x,因而,我
了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项,我们就会得到更加精确的近似值。并且,我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根,等等,
续演算。
别奇怪的。而真正令人吃惊的是,牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数,而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的,无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数,也就是我们今天所说的积分。但是,对逆流数的详尽说明属于微积分问题,超出了本书的范围。然而,我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理,并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题,但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题,他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如,我们知道,艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文,他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道:“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分,他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB,其垂直纵边为BD,设AB=x,
BD=y,并设a、b、c等为已知量,m和n为整数。则:
到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则,这一图形的面积为
按照牛顿公式,面积为12x2,对这一结果,可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2,“如果y值是由几项之和组成的,那么,其面积也同样等于每一项面积之和。”例如,他写道,曲
那么,牛顿所采用的两个工具就是:二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具,可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题,而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具,使一个古老的问题获得了全新的生命:计算π的近似值。我们在第四章的后记中,追溯了这一著名数字的某些历史,确认了某些学者,如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右,这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法,对这一古老问题进行研究,并取得了辉煌的成就。
1665年,牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形,给出了的展开式。
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用。
1.熟练掌握二项式定理和通项公式,掌握杨辉三角的结构规律
二项式定理: 叫二项式系数(0≤r≤n).通项用tr+1表示,为展开式的第r+1项,且,
注意项的系数和二项式系数的区别.
2.掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式.
①对称性:
②增减性和最大值:先增后减
n为偶数时,中间一项的二项式系数最大,为:tn/2+1
n为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大,为:t(n+1)/2+1
3.二项式从左到右使用为展开;从右到左使用为化简,从而可用来求和或证明.掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明:n个(a+b)相乘,是从(a+b)中取一个字母a或b的积。所以(a+b)^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k),是由k个(a+b)选了a,(a的系数为n个中取k个的组合数(就是那个c右上角一个数,右下角一个数))。(n-k)个(a+b)选了b得到的(b的系数同理)。由此得到二项式定理。
二项式系数之和:
2的n次方
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方
二项式展开定理:
(a+b)^n=∑C(n,k)*a^(n-k)*b^k(从k=0加到k=n,共n+1项的和
可参考http://baike.baidu.com/view/392493.htm
二项式定理展开式公式
采用数学归纳法对二项式定理进行证明:如图:等式也成立。结论:对于任意自然数n,等式均成立。五、例题 1、某项的系数 求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题出现。2、系数最值项 3、指定项 求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行。
二项式定理展开式公式
牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理,它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法,分类了立方面曲线(两变量的三次多项式),为有限差理论作出了重大贡献,并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和(这是欧拉求和公式的一个先驱),并首次有把握地...
牛顿二项式定理是什么?
b^n[编辑本段]二项式的递推 推广公式二项式展开后各项的系数依次为:图——推广公式 其中,第1个数=1,从第2个数开始,后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为 这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.[编辑本段]加法定理 来自二项式性质 将...
一元n次方程的求根公式是什么?
根据二项式定理,多项式的n次方展开公式,如下图所示:其中二项式定理如下图所示:
二项式定理的展开式是什么?
根据此定理,可以将x+y的任意次幂展开成和的形式 其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作
什么叫做二项式
18世纪,瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。[2]定理定义 根据此定理,可以将x+y的任意次幂展开成和的形式 其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作 二项式...
多项式的n次方展开公式是什么公式?
根据二项式定理,多项式的n次方展开公式,如下图所示:其中二项式定理如下图所示:
多项式的n次方的展开式公式是什么?
根据二项式定理,多项式的n次方展开公式,如下图所示:其中二项式定理如下图所示:
二项式定理展开式公式
二项展开式公式具体呈现为:(a+b)^n = a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + b^n。其中,每一项的系数C(n,k)称为二项式系数,它们是组合数的一部分。值得注意的是,尽管中间项的系数最大,但系数最大的项并不总是位于中间位置...
二次项是什么意思
二次项定理的公式为(a+b)^n=Cn0·a^n+Cn1 ·a^n-1·b+…+Cnr·a^n-r·b^r+…+Cnn·b^n(n∈N﹢)这个公式所表示的规律叫做二次项定理,等式右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式,它一共有n+1项,其中各项系数Cnr(r=0,1,…,n)叫做展开式的二项式系数。展开式中的Cnr·a^n-...
豆弯凯伦:[答案] 应该叫牛顿二项式定理,见 它实际上就是一个收敛的无穷级数.学了高等数学或许就明白了.
颍泉区18535861530: 牛顿二项式公式是什么 - ?
豆弯凯伦: 对于牛顿非凡的发现,我们在此只能略窥一斑.我们首先介绍牛顿的第一大数学发现——二项式定理.虽然按照欧几里得或阿基米德的概念来说,这不是一条“定理”,因为牛顿没有提供完整的证明.但是,他的见识和直觉足以使他发明出这一...
颍泉区18535861530: 什么是牛顿二项公式? - ?
豆弯凯伦: 二项式定理,又称为牛顿二项式定理.它是由艾萨克·牛顿(Newton,Isaac,1642-1727)于1665年发现的. (a+b)^n=Cn^0*an+Cn^1*an-1b1+…+Cn^r*an-rbr+…+Cn^n*bn(n∈N*) 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式,其中的系数Cnr(r=0,1,……n)叫做二次项系数,式中的Cnran-rbr.叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=Cnraa-rbr
颍泉区18535861530: 牛顿二项公式及推导过程? - ?
豆弯凯伦: a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合...
颍泉区18535861530: 请问牛顿二项式是什么东西?希望有同学能回答下. - ?
豆弯凯伦:[答案] 牛顿二项式是指牛顿发现的二项式展开公式 二项式应该知道吧,如果是整数幂的话,二项式的系数是杨晖三角形中的系数,这是很早就发现的…… 牛顿把上面那个幂推广到了有理数甚至更一般地无理数,把这个作为分析学的一个成就并研究物理问...
颍泉区18535861530: 什么是二项定理 - ?
豆弯凯伦:[答案] 二项式定理,又称为牛顿二项式定理.它是由艾萨克·牛顿(Newton,Isaac,1642-1727)于1665年发现的. (a+b)^n=Cn^0*an+Cn^1*an-1b1+…+Cn^r*an-rbr+…+Cn^n*bn(n∈N*) 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开...
颍泉区18535861530: 什么是牛顿二项公式??
豆弯凯伦:二项公式就是:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数用这个公式可以把形如(a+b)^n的二项式展开,也叫做二项式定理.
颍泉区18535861530: 二次项定理展开式公式 ?
豆弯凯伦: 二次项定理展开式公式:(a+b)1=a+b.二项式定理(英语:binomialtheorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出.该定理给出两个数...
颍泉区18535861530: 牛顿二项式定理是什么,怎么证明啊 - ?
豆弯凯伦:[答案] 二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出.即(a+b)^n=a^n+C(n 1)a^(n-1)b+...+b^n1/√(1-a?/b?) =(1-a?/b?)^(-1/2)[(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)...(1/2-m]/[m(m-1)(m-2)*...*3*2*1]*(-a?/b?)^m[...
颍泉区18535861530: 牛顿二项公式及推导过程? - ?
豆弯凯伦:[答案] a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合...