什么叫做二项式
什么是二项式、二项式定理
什么是二项式、二项式定理
中文名
二项式定理
外文名
binomial theorem
别名
牛顿二项式定理
主要贡献者
艾萨克·牛顿
最早研究时间
1664~1665年
快速
导航
定理定义
二项式的矩阵形式
验证推导
定理推广
定理的意义
与一元高次方程的关系
应用例子
发展简史
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”（如图1），满足了三次以上开方的需要。此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线（如图2）。
在阿拉伯，10世纪，阿尔 ·卡拉吉已经知道二项式系数表的构造方法：每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11~12世纪奥马海牙姆将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。13世纪纳绥尔丁在其《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔 ·卡西在其《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表，还给出了二项式系数表的两术书中给出了一张二项式系数表，其形状与贾宪三角一样。16世纪，许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。[2]
定理定义
根据此定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式
其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作
二项式的矩阵形式
验证推导
考虑用数学归纳法。
当 时，则
假设二项展开式在 时成立。
设 ，则有：
，（将a、b<乘入）
，（取出 的项）
，（设 ）
，（ 取出 项）
，（两者相加）
，（套用帕斯卡法则）
定理推广
牛顿广义二项式定理
二项式定理可以推广到对任意实数次幂的展开。
其中 。
牛顿二项式扩充定理
设函数
根据二项式定理，得F(x)的任意一项为：
同理，上式中的任意一项为
如此类推，我们预知最后一项存在；
那么我们得到其中
的任意一个系数为以上各式系数之积，即为：
设M=0+j+....+q+p+m，而且 项的系数为AM
当x=1时，这就是多项式定理
二项式定理推广至n为负数
二项式定理的一个常用形式为
(n>0)
考虑到组合数的性质，上式可以改写为
(n>0)
我们猜想当上式中左边的指数为负整数时，公式
依然成立，即
(n>0)
上式的正确性可以很容易地加以验证。同理，二项式定理也可以推广到非整数指数的情况。
上面的结果与牛顿二项式展开完全一致。[3]
定理的意义
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。[4] 其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等
与一元高次方程的关系
对于任意一个n次多项式，我们总可以只借助最高次项和（n－1）次项，根据二项式定理，凑出完全n次方项，其结果除了完全n次方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项、二次项、三次项等，直到（n－2）次项。特别地，对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。以最高次项系数为1的三次多项式为例，其配立方的过程如下：
由于二次以上的n次多项式（n＞2，n∈Z），在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。于是，对于二次以上的一元整式方程，我们无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式，然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。对于求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的变换，无论是求解过程，还是求根公式，其复杂程度都要比一次、二次方程高出很多。
详见：一元三次方程、一元四次方程。
应用例子
证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
比如证明 ，可以考虑恒等式 。
展开等式左边得到： 。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。
同时如果展开等式右边可以得到 。
比较两边幂次位的项的系数可以得到： 。
令 ，并注意到 即可得到所要证明的结论
证明自然数幂求和公式
公式具体内容:
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+4+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+4+5+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1+2+3+4+5+6+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n次幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。
初等代数中，二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和。[1]
二项式是仅次于单项式的最简单多项式。
中文名
二项式
外文名
binomial
地位
单项式外的最简多项式
定义
只有两项的多项式
意义
两个单项式的和
快速
导航
形式
定理
组合数
数形趣遇
运算法则
与因子相乘
二项式与因子 c 的乘法可以根据分配律计算：
两二项式相乘
两个二项式a+b与c+d的乘法可以通过两次分配律得到：
两个线性二项式ax+b与 cx+d 的乘积为：
二项式平方
二项式a+b的平方为
二项式a-b的平方为
二项式的幂
(a+b)^n的二项式a + b的n次幂可以用二项式定理或者等价的杨辉三角形展开。
二项式因式分解
二项式可以因式分解为另外两个二项式的乘积：
二项式的递推
二项式展开后各项的系数依次为：图——推广公式其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为
推广公式
这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推。
形式
线性形式
如果二项式的形式为ax+b（其中a与b是常数，x是变量），那么这个二项式是线性的。
复数形式
复数是形式为a+bi的二项式，其中i是-1的平方根。
定理
binomial theorem
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：
（其中 ）
其中，二项式系数指
等号右边的多项式叫做二项展开式。
二项展开式的通项公式为
其i项系数可表示为n取i的组合数目。
什么是二项式、二项式定理
什么叫做二项式,什么叫做二项式系数?什么叫二项式的系数
二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数），通常记为。从定义可看出二项式系数的值为整数。
二项式定理是什么?
二项式定理，又称为牛顿二项式定理。它是由艾萨克·牛顿（Newton，Isaac，1642-1727)于1665年发现的。(a+b)^n＝Cn^0*an+Cn^1*an-1b1+…+Cn^r*an-rbr+…+Cn^n*bn(n∈N*)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式，其中的系数Cnr(r＝0,1,……n)叫做二次项系数，...
这些数中 哪些是单项式 、多项式、二项式、整式?
整式 单项式 二项式 多项式 都是整式 ：单项式的定义：数字与字母的积的代数式叫做单项式。（单独的一个数或一个字母也叫单项式。）多项式: 若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个...
有人知道什么叫二项式定理阿?
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：其中，二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为：...其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)二项式定理(Binomial Theorem)是...
什么是二项式?不含二次项和一次项的是一项式吗?
不含二次项：所有代数式中的未知数(字母)的次数都少于或等于一次，或者说代数式中的未知数(字母)的次数在二次上的项的系数之和为0。不含一次项：代数式中的未知数(字母)的次数是一次的项的系数之和为0。二次项就是含未知数的幂是2的项，比如5X²就是一个二次项，5是二次项系数。一次...
什么叫做二项式分布?
在二项式分布、超几何分布和正态分布中，括号里面表示的字母代表了不同的含义：1. 二项式分布：- (n, k)：n 和 k 是表示二项式分布中的参数。n 表示试验的总次数，k 表示成功的次数。在二项式分布中，每次试验只有两个可能的结果，成功或失败。2. 超几何分布：- (N, K, n, k)：N、K、n ...
二项式定理
公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!\/(n-i)!i!此定理指出:1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数...
二项式定理?什么是二项式定理?
二次项定理 a+b)n次方＝C(n，0)a(n次方)+C(n，1)a（n-1次方）b（1次方）+…+C（n，r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n，n)b(n次方)(n∈N*) C(n，0)表示从n个中取0个， 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式，其中的系数Cnr(r＝0，1，……n)...
什么是二项式定理?
简单的话有时候说不清。二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：其中，二项式系数指...等号右边的多项式叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为：...其i项系数可表示为:...，即n取i的组合数目。因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)二项式...
二项式定理系数
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。在数学里，二项式系数，或组合数，是定义为形如(1+x)ⁿ展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k件的方法总数，因此也叫做组合数。从定义出发，...
塔桂均青： 在初等代数中,二项式是只有两项的多项式,即两个单项式的和.二项式是仅次于单项式的最简单多项式.
嘉祥县13573763789： 什么叫做二项式 - ？
塔桂均青： 二项式就是两个单项式的和3ab是单项式常数项也算一项
嘉祥县13573763789： 什么叫做多项式,什么叫做单项式,什么叫做二项式集合,什么叫做三项式集合. - ？
塔桂均青：[答案] 若干个单项式的和组成的式子叫做多项式(减法中有:减一个数等于加上它的相反数).多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数.数字或字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式).单项...
嘉祥县13573763789： 什么叫做二项式,什么叫做二项式系数?什么叫二项式的系数最后两问有什么不同 - ？
塔桂均青：[答案] 比如 2xy+3y 就叫2项式 然后次数最高的单项式 的系数叫做二项式的系数 2xy+3y 的系数就是2
嘉祥县13573763789： 什么叫做二项式.3ab是几项式常数项算不算一项 - ？
塔桂均青：[答案] 二项式就是两个单项式的和 3ab是单项式 常数项也算一项
嘉祥县13573763789： 二项式的科学定义是什么?？
塔桂均青： 我觉得的“项”,就好象什么“二次三项式”一样,是式子的个数.就是a.b有两个式子,就是二项式啦.
嘉祥县13573763789： 什么是2项式？
塔桂均青： 含有两个未知项(如a,b或c,d,又如x,y)之类的项
嘉祥县13573763789： 请问什么是2项式 - ？
塔桂均青： 像3a+2b就是两项式含有两项,是3a和2b,还有像4/15a-19b. x+5, 具体的清明回去上学我告诉你
嘉祥县13573763789： 二项式是什么?？
塔桂均青： 含有两个单项式的多项式
