已知O是三角形ABC所在平面上的定点,动点P满足:
证明:
1。垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)}
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )}
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB
从而|AB|*sinB=|AC|*sinC
则-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0
从而 AP•BC=0
∴P点轨迹过三角形的垂心
2。外心
向量OP=(向量OB+向量OC)/2+λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) =-|BC|+|BC|=0 从而 向量BC与λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) 垂直
设D为BC的中点
从而 OB+OC/2=OD
设λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) =向量DPOB+OC/2+λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC))
=OD+DP=OP
得 点P在BC的垂直平分线上
∴P的轨迹过△ABC的外心。
满意请采纳。
∵ OP = OA +λ( AB + AC ),∴ AP 与 AB | AB |sinB + AC | AC |sinC 共线,∵ | AB | sinC = | AC | sinB ,∴ | AB | sinB=| AC |sinC,∴ AP 与 AB + AC 共线,∵ AB + AC 过 BC 中点D,∴P点的轨迹也过D.∴P的轨迹一定过△ABC的重心.故选B.
证明:1。垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)}
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)}
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )}
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB
从而|AB|*sinB=|AC|*sinC
则-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0
从而 AP•BC=0
∴P点轨迹过三角形的垂心
2。外心
向量OP=(向量OB+向量OC)/2+λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) =-|BC|+|BC|=0 从而 向量BC与λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) 垂直
设D为BC的中点
从而 OB+OC/2=OD
设λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC)) =向量DPOB+OC/2+λ(向量AB/(|向量AB|*cosB)+向量AC/(|向量AC|*cosC))
=OD+DP=OP
得 点P在BC的垂直平分线上
∴P的轨迹过△ABC的外心。
希望能解决您的问题。
已知O是三角形ABC的外心,AB=3,AC=4,角A=120度,则向量OA*向量BC=_百度...
向量AO*向量AC=|AO|*|AC|*cosOAC (数量积的定义)=|AO|*|AC|*[(AO^2+AC^2-OC^2)\/(2AO*AC)] (余弦定理,又O是外心所以OA=OB=OC)=| AO|*|AC|* AC^2\/(2|AO|*|AC|)=AC^2\/2=8同理,向量AO*向量AB=AB^2\/2=9\/2.所有向量OA*向...
已知点o是三角形,abc的外心ab等于3ac等于四,若存在非零实数x外,使得向 ...
x+2y=1.(3)===>8x+16y=8 .(4)由(1),(2),(3)联解消去x,y,解得a=8【(2)-(4)】即 AB*AC=8 所以 cos
已知o是三角形ABC的外心,AB=2,AC=3,X+2Y=1,若向量AO=x乘以向量AB+Y向量...
O是△ABC的外心,所以O的横坐标是3\/2,因为AO→=x•AB+y•AC,所以:3\/2=x2cosα+3y 因为x+2y=1,所以3\/2x+3y=3\/2 x2cosα+3y=3\/2x+3y 2cosα=3\/2,即:cos∠BAC=3\/4
已知O 是锐角三角形ABC三边垂直平分线的交点,角A=50度,则角BOC的度数...
解:延长AO交BC于D.∵点O在AB的垂直平分线上.∴AO=BO.同理:AO=CO.∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA.∵∠BOD=∠OAB+∠OBA,∠COD=∠OAC+∠OCA.∴∠BOD=2∠OAB,∠COD=2∠OAC.∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC.∵∠A=50°.∴∠BOC=100°....
O是三角形ABC内一点解:O是三角形ABC内一点,∠OBC=60°,∠AOC=120°...
由于OB=OB'=1得∠OBB'=30°,故∠B'BA=90°,BB'=√3 过O作OD⊥BA,垂足为D 由∠OBD=60°知BD=1\/2,OD=√3\/2 在△ODA中,AD=√(OA²-OD²)=√((√13)²-(√3\/2)²)=7\/2 BA=BD+AD=4(注意这里的AB不是最终要求的,实际上是BC,只不过旋转后...
已知o是△ABC所在平面内一点,且满足BA*OA+BC*BC=AB*OB+AC*AC(以上皆...
已知O是三角形ABC所在平面内一点 已知O是三角形ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+OB+OC=0 A.AO=OD B.OA=2OD C.OA=3OD D.2OA=OD 全部为向量
己知:点o是三角形ABC的垂心,OP垂直平面ABC 求证:PA垂直BC
因为:O是△ABC的垂心所以:直线AO⊥直线BC又因为:直线PO⊥平面ABC所以:直线PO⊥直线BC所以:直线BC⊥平面POA因为:PA在平面POA内 所以:PA⊥BC
已知O是三角形ABC外心,点D,E,F分别在线段BC,AC,AB上,使得DE⊥CO,DF⊥B...
举例,因为DF⊥BO,而O是ABC外心,所以∠BDF=90-∠DBO=90-(180-∠BOC)\/2=90-(180-2∠A)\/2=∠A。所以由于角度关系,三角形BDF和三角形ABC就相似咯。同理,三角形CDE和三角形ABC也是相似的。所以,BF\/BD=BC\/AB,即BF=BD×BC\/AB,同理CE=CD×BC\/AC。所以,KB²-KA²=AB×...
o是△abc三条中线的交点,且oa=3,0b=4,0c=5,求△abc的面积。
得,三角形BDM全等于三角形CDO,所以BM=CO=5。中线的交点为三角形的重心,AO:OD=2:1,所以,OM=AO=3。在三角形BOM中,OB平方+OM平方=BM平方 所以,角BOM=90度。OD=OA\/2=1.5。AD=OA+OD=4.5 三角形ABD面积=OB*AD\/2=4*4.52=9。三角形ABC面积=2*三角形ABD面积=2*9=18。
已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 求证:aOA+bOB+...
∵O是内心 ∴b\/a=AF\/BF,c\/a=AE\/CE 过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,所以四边形OMAN是平行四边形 根据平行四边形法则,得 向量OA =向量OM+向量ON =(OM\/CO)*向量CO+(ON\/BO)*向量BO =(AE\/CE)*向量CO+(AF\/BF)*向量BO =(c\/a)*...
闻超伯基:[答案] 证明: 1.垂心 OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)} ... (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0 从而 AP•BC=0 ∴P点轨迹过三角形的垂心 2.外心 向量OP=(向量OB+向量OC)/2+λ(...
金秀瑶族自治县15560545945: 已知O是三角形ABC所在平面内的一定点,动点P满足向量OP=向量OA+入[( - ?
闻超伯基: P的轨迹一定通过三角形ABC的内心.入[(向量AB/|向量AB|)+(向量AC/|向量AC|),入属于(0,+正无穷)是∠A的平分线.加OA,从A点出发的∠A的平分线.过内心.
金秀瑶族自治县15560545945: 已知O是三角形ABC所在平面内的一定点,动点P满足向量:OP=OA+入{(AB/|AB|sinB)+AC/|AC|+sinC)}入属于(0,正无穷),则动点P的轨迹一定通过... - ?
闻超伯基:[答案] OP=OA+入{(AB/|AB|sinB)+AC/|AC|sinC)}AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线研究AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC又因为|AB|sinB=|AC|sinC (不信,你画画图)所以AP与AB+AC共线AB+AC共BC中点D,所以P点的轨迹也过D重心重心...
金秀瑶族自治县15560545945: 已知O是三角形ABC所在平面上的定点 - ?
闻超伯基: 证明:1.垂心 OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)}OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)} AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)} AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)} ...
金秀瑶族自治县15560545945: 已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若,则点O是三角形ABC的[ ] - ?
闻超伯基:[选项] A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
金秀瑶族自治县15560545945: 已知O是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足 OP= OA+λ( AB |AB|sinB+ AC |AC|sinC)((λ≥0),则P点轨迹一定通过三角形ABC的() - ?
闻超伯基:[选项] A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
金秀瑶族自治县15560545945: 1.已知O是三角形ABC所在的平面上的一点,|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2 则点 O( )A.在与AB垂直的直线上.B.在角A平分线所在直线上.若是解释的好的话, - ?
闻超伯基:[答案] 用AB表示起点为A 终点为B的向量 则有:|BC|2=(BO+OC)2=|BO|2+|OC|2-2*OB*OC |CA|2=(CO+OA)2=|CO|2+|OA|2-2*OC*OA 再由已知条件可以得到:|BC|2-|OB|2=|CA|2-|OA|2 将上面得到的两个等式分别代到该式子两端 整理得:OB*OC=OA*OC 即...
金秀瑶族自治县15560545945: 点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足向量OA*向量OB=向量OB*向量OC=向量OC*向量OA,则点O是什么点? - ?
闻超伯基:[答案] 因为向量OA*向量OB=向量OB*向量OC 即向量OA*向量OB-向量OB*向量OC=0 即向量OB(向量OA-向量OC)=0 即向量OB*向量CA=0 所以向量OB垂直向量CA 同理可得:向量OC垂直向量AB 向量OA垂直向量BC 所以O点位三角形ABC的重心
金秀瑶族自治县15560545945: 已知O是三角形ABC所在平面内的一点,且满足(BA·OA)+|BC|的平方=(AB·OB)+|AC|的平方,则点O在()以上均为向量.答案是在AB边的高线上,... - ?
闻超伯基:[答案] 拆向量,凑出结果为OC·AB=0就可以了.
金秀瑶族自治县15560545945: 已知o是三角形ABC所在平面那一点,d为BC边中点,且2OA+OB+OC=0,那么A:向量AO=向量ODB:向量AO=2OD - ?
闻超伯基:[答案] 由2OA+OB+OC=0得:OB+OC=-2OA 设D是BC中点,∴OB+OC=2OD ∴-2OA=2OD 因此,A与B都不对.除非D是平行四边形COBD的一个顶点,才会有AO=OD.